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CENTROS DE EXCELENCIA EN CIENCIAS Y MATEMÁTICAS

(AlACiMa 2- FASE 4)

Proyecto financiado por el Departamento de Educación mediante el programa: Título I Parte A

GUÍA DEL MAESTRO PATRONES Y RELACIONES

AUTORA: Yamily Colón Negrón

MATERIA: Matemáticas NIVEL: 4-6

CONCEPTO PRINCIPAL: Patrones

CONCEPTOS SECUNDARIOS: Sucesión, términos de una sucesión, regla, sucesión aritmética, sucesión creciente, sucesión decreciente. CONOCIMIENTO PREVIO: números pares, números impares, números naturales, números triangulares, números cuadrados, área de un cuadrado, perímetro, triángulo equilátero, cuadrado, unidades de medida: pulgadas, pies, yardas, pintas, tazas, horas, minutos. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Mediante las experiencias de aprendizaje, los participantes: identificarán y desarrollarán una variedad de patrones basado en una regla dada

reconocerán y modelarán patrones usando objetos concretos

usarán patrones para extender sucesiones y resolver problemas

investigarán y construirán patrones numéricos y geométricos usarán patrones para hacer generalizaciones y predicciones

escribirán una regla que generalice un patrón numérico

representarán y analizarán patrones y relaciones usando lenguaje matemático y tablas para resolver problemas

distinguirán entre un patrón numérico y uno geométrico

determinarán un patrón para el área y el perímetro de un cuadrado encontrarán un patrón útil para resolver una situación de la vida diaria

ESTÁNDARES, EXPECTATIVAS E INDICADORES POR GRADO Cuarto Grado ESTÁNDAR DE CONTENIDO 2: ÁLGEBRA El estudiante es capaz de realizar y representar operaciones numéricas que incluyen relaciones de cantidad, funciones, análisis de cambio, empleando números, letras (variables) y signos. 4.0 Reconoce, describe y amplía patrones numéricos y geométricos.

A.PR.4.4.1 Identifica patrones y relaciones mediante modelos concretos A.MO.4.4.2 Representa y analiza patrones y relaciones usando lenguaje matemático, tablas y gráficas para resolver problemas. A.PR.4.4.3 Usa patrones para hacer generalizaciones y predicciones. A.PR.4.4.4 Extiende y crea patrones de números, símbolos o figuras. A.PR.4.4.5 Reconoce y analiza patrones de figuras geométricas que aumentan el número de lados, cambian su tamaño u orientación.

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Quinto Grado ESTÁNDAR DE CONTENIDO 2: ÁLGEBRA El estudiante es capaz de realizar y representar operaciones numéricas que incluyen relaciones de cantidad, funciones, análisis de cambios, empleando números, letras (variables) y signos. 4.0 Representa, describe, analiza, amplia y generaliza patrones y relaciones usando lenguaje matemático, variables y ecuaciones en un contexto de solución de problemas.

A.PR.5.4.1 Usa patrones para hacer generalizaciones y predicciones. A.PR.5.4.2 Extiende y crea patrones con números, símbolos o figuras y sucesiones numéricas.

Sexto Grado ESTÁNDAR DE CONTENIDO 2: ÁLGEBRA El estudiante es capaz de realizar y representar operaciones numéricas que incluyen relaciones de cantidad, funciones, análisis de cambios, empleando números, letras (variables) y signos. 5.0 Representa, describe, analiza, amplia y generaliza patrones y relaciones usando lenguaje matemático, tablas, gráficas, variables y ecuaciones en un contexto de solución de problemas. 6.0 Escribe expresiones verbales como expresiones algebraicas y ecuaciones; evalúa expresiones algebraicas, resuelve ecuaciones simples y grafica e interpreta los resultados.

A.RE.6.6.4 Investiga patrones geométricos y los describe algebraicamente.

TRASFONDO Los patrones están presentes en nuestro alrededor. Podemos reconocer patrones en el pelaje de algunos animales, obras de arte, edificios, diseños de cortinas, en nuestra ropa y mucho más!!!! Muchas de las cosas que conocemos en el Universo lo hemos aprendido identificando patrones, por ejemplo, se observan patrones en las horas del día, las estaciones del año, etc. Resolver patrones puede ser algo muy divertido. En las matemáticas existen muchos patrones, uno de ellos: la secuencia de los números naturales. Pero existen muchos tipos diferentes de secuencias o sucesiones de números que poseen un patrón. Entre las sucesiones básicas se encuentran aquellas basadas en la suma de una constante para hallar los términos siguientes, y las basadas en la multiplicación, en las cuáles el siguiente número de la sucesión se obtiene multiplicando el número anterior por un número fijo. Con situaciones muy sencillas los estudiantes pueden aprender a identificar regularidades, reconocer un patrón bajo diferentes formas y usar patrones para predecir valores. El estudio de patrones que surgen de situaciones simples, con objetos concretos y luego con nociones abstractas como los números, constituyen un fundamento para los conceptos posteriores de álgebra: ecuaciones y funciones. GLOSARIO:

Patrón: es una secuencia de elementos que tienen una regla o un orden.

Sucesión: es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Términos (de una sucesión): elementos de una sucesión.

Regla (de una sucesión): determina cómo calcular el valor de cada término en una sucesión.

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Sucesión aritmética: la diferencia entre un término y el siguiente es una constante, por ejemplo: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …

Sucesión geométrica: cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo, por ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …

Número Par: cualquier entero que se pueda dividir exactamente entre 2. Todo número entero múltiplo de 2. Se representa por 2n. La última cifra será 0, 2, 4, 6, 8.

Número impar: cualquier entero que no puede ser dividido exactamente por 2. El último dígito será 1, 3, 5, 7 o 9.

Números naturales: son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del primer

conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos. Uno (1), dos (2), cinco (5)

y quince (15), por ejemplo, son números naturales. Números triangulares: el número de los puntos marcados en un esquema geométrico formado con triángulos.

Números cuadrados: número que es el producto de dos enteros idénticos. Los números cuadrados siempre se pueden representar por puntos en la forma de un cuadrado.

Área: es la medida de la superficie que ocupa una figura cerrada.

Área de un cuadrado: el área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de uno de sus lados.

Perímetro: es la medida de la longitud del contorno o borde de una figura cerrada.

Unidad cuadrada: es la unidad para medir área como metro cuadrado o pie cuadrado.

Unidades de medida: una cantidad usada como estándar de medida. Ejemplo: Unidades de tiempo son: el segundo, minuto, hora, día, semana, etc.

Triángulo equilátero: un triángulo con todos los lados de la misma longitud. Sus tres ángulos miden 60 grados. Rectángulo: es un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos. Los lados opuestos de un rectángulo son congruentes

(tienen la misma longitud) y son paralelos. Cuadrado: es un cuadrilátero con todos sus lados de la misma longitud y con todos sus ángulos rectos.

MATERIALES

Hilo de nilón (1 por capacitador)

Cuentas de colores “Kids Jewerly Pony beads” para hacer collares (45 a 50 cuentas por participante) Cordón elástico transparente para hacer collares de .5mm o hilo de nilón (3 pies de cordón por participante)

Papel cuadriculado (4 hojas por participante)

Lápices de colores (1 set por participante)

Sorbeto plástico (25 por participante)

Palillos de diente de madera resistentes Limpia pipas (5 por partipantes)

Color Coding Labels- (Negros) 3/4 diámetro (35 a 40 por participante)

Manipulativo Geofix Exploration Set (1 set)

Avatares en “cover stock” (1 copia por participante) Papel de puntos -Dot separation: ½ pulg. (1 copia por participante)

Papel Isométrico -Dot separation: ¾ pulg. (1 copia por participante)

Cartapacio “two pocket folder” (1 por participante)

Sobres de colores de 3 x 5 (4 por participante)

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Cinta métrica de plástico (1 por participante) Regla de papel “cover stock” calibrada en pulgadas (1 copia por participante)

Taza de medir, ilustrada en “cover stock”, calibrada en: onzas, tazas y pintas (1 copia por participante)

Reloj ilustrado en “cover stock” (1 copia por participante)

Tijeras (1 por participante) Pega o tape transparente

Cartas de Póker (4 cartas por participante)

Marcadores permanentes (1 set por cada grupo)

Centímetro cúbicos (1 set por capacitador)

PRE-PRUEBA

Luego del saludo inicial y la reflexión: Lo hermoso de los números, cada maestro contestará la pre prueba individualmente (20 minutos). PROCESO EDUCATIVO Luego de administrada la pre prueba y reflexionar acerca de los acuerdos de la capacitación (20 min), el capacitador motivará a los participantes a realizar una actividad sencilla de exploración. ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN El capacitador invitará a los participantes a ponerse de pie y formar un círculo de manera que todos puedan verse entre sí. Se escogerá un voluntario entre los participantes para que prepare un organizador gráfico, en un papelote o cartulina, usando las aportaciones que mencionen sus compañeros. Se explica a los participantes que se estarán arrojando una bola de hilo y la persona que la tenga dirá su nombre y aportará una idea (palabra o frase) acerca del concepto “patrón numérico”. Una vez que haya respondido, tomará una parte del hilo y sin soltarla arrojará la bola de hilo a otro participante, el cual debe decir su nombre y su aportación acerca del concepto, y así sucesivamente. El proceso se repetirá hasta que todos participen de la formación de una “telaraña conceptual”. El capacitador escuchará atento las ideas expuestas acerca de patrones numéricos, sin establecer juicios, para integrarlas en la capacitación, dando énfasis en aquellas que entienda razonable. ACTIVIDAD DE INICIO Esta actividad está diseñada para desarrollar en los maestros la capacidad de buscar patrones en nuestro alrededor, como puede ser en una prenda de vestir. Se le proveerá a cada maestro la hoja de trabajo #1 y los materiales para la actividad. Se discuten las instrucciones y se aclaran dudas al respecto. Note que en la actividad los maestros crearán el Collar 1 y el Collar 2 de manera guiada. Al hacer el Collar 3, ellos tendrán la oportunidad de crear su propio patrón. Es necesario que cada maestro justifique por escrito y luego verbalmente, sus respuestas a las preguntas de forma clara y precisa, para de este modo reforzar el vocabulario y las nociones sobre patrones que posee cada maestro a lo largo del taller. Debe proveerse el espacio para que surjan conversaciones acerca de la actividad, esto enriquece la experiencia de aprendizaje y le permite al capacitador y al maestro explorar las concepciones previas sobre el tema de patrones.

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Actividad # 1: Cuento cuentas Hoja de trabajo # 1 Materiales: 45 a 50 cuentas de dos colores distintos, 3 pies de hilo para hacer collares Objetivo: El participante reconocerá y modelará patrones usando objetos concretos. Instrucciones:

1. Escoge cuentas de dos colores distintos (ejemplo blancas y negras)

2. Utiliza 1 pie de hilo para cada collar y haz un nudo en un extremo del cordón para comenzar a colocar las cuentas,

de este modo evitarás que se te caigan.

3. Forma el primer collar con el siguiente patrón: negra-blanca-blanca, negra-blanca-blanca…(repite el patrón al

menos tres veces)

4. Luego de haber creado el collar, contesta la sección de preguntas para el Collar 1.

5. Con los mismos colores, fabrica dos collares con patrones distintos y contesta la sección de preguntas para el

Collar 2 y Collar 3.

Collar 1: Forma el siguiente patrón: negra-blanca-blanca, negra-blanca-blanca,…

a) ¿Cuál es el patrón correspondiente? Negra-blanca-blanca b) Cuál es el color que le corresponderá a la cuenta 50 de tu collar? blanca

Explica tu respuesta El patrón va de 3 en 3, 50 no es múltiplo de 3, pero 48 sí, entonces la 50 será blanca c) ¿Cuál es el color que le corresponderá a la cuenta 100 de tu collar? negra

Explica tu respuesta 100 no es divisible entre 3 pero 99 sí, entonces la 100 será negra d) ¿El collar que has fabricado posee un número par o impar de cuentas? Explica tu respuesta ________________

_________________________________________________________________________________________ Collar 2: Forma el siguiente patrón: negra-negra-blanca-blanca, negra-negra-blanca-blanca,…

a) ¿Cuál es el patrón correspondiente? Negra-negra-blanca-blanca b) ¿Cuál es el color que le corresponderá a la cuenta 50 de tu collar? negra

Explica tu respuesta El patrón va de 4 en 4, 48 es divisible entre 4, entonce la 50 será negra. c) ¿Cuál es el color que le corresponderá a la cuenta 100 de tu collar? blanca

Explica tu respuesta 100 es divisible entre 4, entonces será negra d) ¿El collar que has fabricado posee un número par o impar de cuentas? Explica tu respuesta no importa cuántas

veces lo repita el patrón tendrá un número par de cuentas.

Collar 3: ¡Adelante! Forma tu propio patrón y comparte tus respuestas con los demás compañeros.

a) ¿Cuál es el patrón correspondiente? ___________________________________________________________ b) ¿Cuál es el color que le corresponderá a la cuenta 50 de tu collar? ___________________________________

Explica tu respuesta _______________________________________________________________________ c) ¿Cuál es el color que le corresponderá a la cuenta 100 de tu collar? __________________________________

Explica tu respuesta ________________________________________________________________________ d) ¿El collar que has fabricado posee un número par o impar de cuentas? Explica tu respuesta ________________

_________________________________________________________________________________________

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DESARROLLO En el estudio de los patrones es fundamental el uso de los sentidos. Sin embargo, el sentido visual es el que con más frecuencia se utiliza para determinar el patrón de una secuencia. En las actividades que realizaremos observaremos la relación que existe entre los primeros elementos de la secuencia, sea numérica o geométrica. En una secuencia numérica nos ayudará mucho determinar qué operación matemática debemos hacer para hallar los siguientes números. Esto, realizando sumas o restas, multiplicaciones o divisiones entre los términos consecutivos de una secuencia. Si determinamos un patrón entre los términos, podemos hallar cualquier término o número que pertenezca a esa lista ordenada. En la secuencia geométrica, de igual forma se observa la relación que existe entre una figura y otra. Si hallamos un posible patrón, podemos dibujar cualquier figura que pertenezca a esa lista ordenada de figuras. Las actividades que realizaremos a continuación nos permiten identificar y desarrollar patrones, así como hacer generalizaciones para obtener una regla para solucionar problemas. La actividad a continuación permite que el participante desarrolle una estrategia para observar y deducir las figuras subsiguientes que pertenecen a una lista de figuras. Esto, observando la relación que existe a partir de dos figuras consecutivas, que siguen un posible patrón. Se le provee la Hoja de trabajo # 2, se discuten y aclaran dudas acerca de las instrucciones. El capacitador repartirá a cada participante un papel cuadriculado y lápices de colores. Es recomendable que al finalizar cada actividad se promueva la reflexión sobre cómo los maestros enseñan a sus estudiantes a entender los patrones y cómo este tipo de actividad aporta o mejora su experiencia de enseñanza-aprendizaje.

Actividad # 2: Patrones de figuras Hoja de trabajo # 2 Materiales: Papel cuadriculado, lápices de colores Objetivo: El participante usará patrones para extender sucesiones y resolver problemas. Parte I: Instrucciones:

1. En el papel cuadriculado colorea de amarillo 1 unidad cuadrada, y de color azul los otros cuadrados para formar la primera cruz.

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2. Forma la segunda cruz. Colorea de otro color los cuadrados necesarios para formar la segunda figura en forma de cruz.

3. Contesta las siguientes preguntas: a. Describe cómo se forma la segunda cruz a partir de la primera. La segunda tiene cuatro cuadrados adicionales a la primera b. En el papel cuadriculado, forma una nueva cruz añadiendo cuadrados de otro color siguiendo el patrón.

¿Cómo se forma la tercera cruz a partir de la segunda? La tercera tiene cuatro cuadrados adicionales a la segunda c. ¿Cuántas unidades cuadradas se necesitan para formar la cruz número 5? 21 unidades cuadradas d. ¿Cuántas unidades cuadradas se necesitan para formar la cruz número 10? 41 unidades cuadradas e. Ahora, cuenta las unidades cuadradas que forman cada una de las primeras cinco cruces y anótalas en la

siguiente lista: 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , … f. ¿Cuáles son los próximos cinco números que le corresponden a esta lista continuando el patrón establecido? … 25 , 29 , 33 , 37 , 41 , …

g. Explica tu estrategia para hallar el número que va en la posición número 20 sin escribir todos los números que

faltan en la lista. Comparte tu estrategia con tus compañeros. ___________________________________________________________________________________________

Parte II: Materiales: sorbetos preparados con antelación para formar el patrón Instrucciones:

1. Observa la siguiente lista ordenada de figuras.

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2. Describe en palabras o símbolos el patrón de las primeras cinco figuras. El patrón comienza con un segmento vertical, luego uno vertical y otro horizontal, luego uno vertical, dos horizontales y uno vertical formando un cuadrado….

3. Dibuja la figura que sigue en la lista.

4. Dibuja la figura que ocupa la posición número 10, sin dibujar las anteriores.

5. ¿Cuántos segmentos forman la figura que va en la posición número 20? 20 segmentos. Explica: Comenzando con la figura 1, a medida que se forma la siguiente figura se le añade un segmento.

Las actividades # 3 y # 4 se trabajarán en grupos colaborativos de tres o cuatro participantes. Luego de formar los grupos, se distribuyen los materiales y se darán instrucciones generales con respecto al manipulativo. Invítelos a trabajar en la Actividad # 3. Luego que todos hayan finalizado, promueva la discusión grupal de la actividad. Actividad # 3: ¡Mesa para cuatro, por favor! Hoja de trabajo # 3 Materiales: 5 Geofix en forma de cuadrados, “cover stock” con 25 “avatars”, tijeras Objetivo: El estudiante distinguirá entre un patrón aritmético y uno geométrico. Instrucciones:

1. Coloca uno de los Geofix que se presenta a continuación como si fuera una mesa con cuatro estudiantes sentados uno en cada lado de la mesa.

2. Conecta dos “mesas” cuadradas e invita a otros estudiantes a sentarse alrededor de la nueva mesa rectangular.

a. ¿Cuántos estudiantes (avatar) se pueden sentar alrededor de la mesa rectangular? 6 estudiantes

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3. Conecta tres “mesas” cuadradas e invita a otros estudiantes a sentarse alrededor de esta nueva mesa .

a. ¿Cuántos estudiantes (avatar) se pueden sentar alrededor de la mesa? 8 estudiantes

4. Repite el proceso con cuatro, cinco y seis mesas conectadas por un lado. Completa la siguiente tabla de valores

para los números de mesas conectadas y el número total de estudiantes correspondiente.

Cantidad de mesas conectadas ENTRADA

Cantidad total de estudiantes SALIDA

1 4

2 6

3 8

4 12

5 14

5. ¿Cuántos estudiantes se pueden sentar alrededor de 9 mesas conectadas por un lado? 20 estudiantes

6. Describe en palabras el patrón que relaciona el número de mesas conectadas, con el número de estudiantes que

pueden estar sentados alrededor de la mesa. Cada vez que se añade una mesa se pueden sentar dos estudiantes adicionales

7. Observa la lista de números de la columna derecha que representa la cantidad total de estudiantes, ¿es una sucesión creciente o decreciente? ¿Cómo lo sabes? El siguiente número es mayor que el anterior

8. Imagina que hay 24 estudiantes en tu salón de matemáticas, siguiendo el patrón estudiado: a. ¿Cuántas mesas puedes poner juntas para acomodar a un grupo de seis estudiantes? 2 mesas b. ¿Cuántos arreglos de 2 mesas conectadas necesitas para acomodar a todos los estudiantes en grupos de

seis? 4 arreglos de 2 mesas

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AVATAR para Actividad # 3: ¡Mesa para cuatro, por favor!

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Actividad # 4: ¡Un patrón cerca de ti! Hoja de trabajo # 4 Materiales: Manipulativos Geofix en forma de cuadrados (6 por pareja o grupo) Objetivo: El estudiante determinará un patrón para el área y el perímetro de un cuadrado. Instrucciones:

1. Trabaja con un compañero. 2. Comienza con un Geofix como el que se muestra a continuación y considera que la longitud de un lado es 1

unidad.

El perímetro de este cuadrado es 4 unidades. El área de este cuadrado es 1 unidad cuadrada.

3. Ahora, usa Geofix cuadrados para formar un cuadrado de 2 unidades por cada lado. ¿Cuál es el perímetro de este nuevo cuadrado? 8 unidades

4. ¿Cuál es el área del nuevo cuadrado?

4 unidades cuadradas

5. Completa la siguiente tabla formando cuadrados cada vez más grandes.

Largo de uno de los lados del cuadrado

Perímetro del cuadrado (unidades)

Área del cuadrado (unidades cuadradas)

1 4 1 2 6 4

3 8 9 4 12 16 5 14 25 6 16 36

1 unidad

1 unidad

1 unidad

1 unidad

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6. ¿Puedes encontrar un patrón en la columna que indica el perímetro del cuadrado (segunda columna)? 4n

7. ¿Puedes encontrar un patrón en la columna que indica el área del cuadrado (tercera columna)? n x n o n2

En la siguiente actividad, el participante reconocerá la diferencia entre un patrón de figuras y un patrón numérico. En la primera parte de esta actividad se introducen los conceptos propios de los patrones como lo son: sucesión y término. En la segunda parte se provee una tabla que facilita la conceptualización de estos conceptos. Ya en la última parte de la actividad se usan las frases: “el sexto término, etc.” y se describe además una sucesión aritmética, de modo que la actividad promueve entre los participantes el uso de un lenguaje común para este tema y para el desarrollo de las siguientes actividades. Actividad # 5 Patrones numéricos Hoja de trabajo # 5 Materiales: Hoja de trabajo Objetivos: El participante usará patrones para hacer generalizaciones y predicciones para deducir una regla. Parte I: Instrucciones: Lee y contesta

1. Observa el siguiente patrón numérico.

5, 10, 15, 20, 25,…

a. ¿Qué tienen en común estos números? Son divisibles por 5

2. Si se continúa la lista, ¿habrá que escribir el 86 como parte de ella? ¿Por qué?

No, 86 no es divisible por 5

3. ¿El número 100 forma parte de esta lista? ¿Por qué? Sí, 100 es divisible por 5

4. La lista 5, 10, 15, 20, 25,… presenta un patrón, esta lista ordenada es un ejemplo de una sucesión. Las sucesiones están formadas por términos. Halla una estrategia para encontrar cualquier término de la sucesión 5, 10, 15, 20, 25,…? Multiplicar 5 por un número, 5 x n, 5n

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Parte II: Instrucciones: Lee y contesta:

1. ¿Cuáles son los próximos tres términos de la sucesión?

2, 4, 6, 8, 10 , 12 , 14 , …

2. Usando la sucesión 2, 4, 6, 8, … completa la siguiente tabla:

Lugar n en la sucesión (1er.,

2do., etc.)

Término de la sucesión Proceso matemático (suma) Proceso matemático

(multiplicación)

1 2 2 2 x 1

2 4 2 + 2 2 x 2

3 6 2 + 2 + 2 2 x 3

4 8 2 + 2 + 2 + 2 2 x 4

5 10 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 x 5

6 12 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 x 6

7 14 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 x 7

8 16 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 x 8

n

2 x n

3. ¿Cuáles son los próximos tres términos de la sucesión?

1, 3, 5, 7, 9, 11 , 13 , 15 ,…

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4. Usando la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, … completa la siguiente tabla:


2do., etc.)


(multiplicación y suma)

1 1 2 – 1 (2 x 1) – 1

2 3 2 + 2 – 1 (2 x 2) – 1

3 5 2 + 2 + 2 – 1 (2 x 3) – 1

4 7 2 + 2 + 2 + 2 – 1 (2 x 4) – 1

5 9 2 + 2 + 2 + 2 + 2 – 1 (2 x 5) – 1

6 11 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 – 1 (2 x 6) – 1

7 13 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 – 1 (2 x 7) – 1

8 15 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 – 1 (2 x 8) – 1

n

(2 x n) – 1

Parte III: Instrucciones: Lee y contesta:

1. Analiza los dibujos que se muestran a continuación. Dibuja las dos figuras que continúen con el patrón

establecido.

2. Sin dibujarlo, ¿cuántos puntos tendrá el sexto término de la sucesión? 13 puntos

3. Sin dibujarlo, ¿cuántos puntos tendrá el séptimo término de la sucesión? 15 puntos

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4. ¿Es posible que una figura en esta sucesión tenga 100 puntos? ¿Por qué? No, porque es una sucesión de números impares

5. ¿A qué conjunto de números corresponde la cantidad de puntos en esta sucesión? Números impares positivos

6. Completa la tabla para encontrar la regla para esta sucesión aritmética:


2do., etc.)



1 3 2 + 1 (2 x 1) + 1

2 5 2 + 2 + 1 (2 x 2) + 1

3 7 2 + 2 + 2 + 1 (2 x 3) + 1

4 9 2 + 2 + 2 + 2 + 1 (2 x 4) + 1

5 11 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 (2 x 5) + 1

6 13 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 (2 x 6) + 1

7 15 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 (2 x 7) + 1

8 17 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 (2 x 8) + 1

n

(2 x n) + 1

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Actividad # 6 Figura cero Hoja de trabajo # 6 Instrucciones: Parte I:

1. Observa el patrón de figuras y completa la figura 5 y la figura 6 usando papel cuadriculado.

2. Completa la siguiente tabla para encontrar la regla para el área de cada figura :

Figura Área

(unidades

cuadradas)

Proceso matemático

(suma) Proceso matemático


1 3 2 + 1 (2 x 1) + 1

2 5 2 + 2 + 1 (2 x 2) + 1

3 7 2 + 2 + 2 + 1 (2 x 3) + 1

4 9 2 + 2 + 2 + 2 +1 (2 x 4) + 1

5 11 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +1 (2 x 5) + 1

6 13 2 + 2 + 2 +2 + 2 + 2 +1 (2 x 6) + 1

n (2 x n) + 1

3. Completa la siguiente tabla para encontrar la regla para el perímetro de cada figura :

Figura Perímetro

(unidades)

Proceso matemático

(suma)

Proceso matemático

(multiplicación)

1 8 2 + 6 (2 x 1) + 6

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2 10 2 + 2 + 6 (2 x 2) + 6

3 12 2 + 2 + 2 + 6 (2 x 3) + 6

4 14 2 + 2 + 2 + 2 + 6 (2 x 4) + 6

5 16 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 6 (2 x 5) + 6

6 18 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 6 (2 x 6) + 6

n (2 x n) + 6

4. ¿Cuál es el área de la figura 100? 201 unidades cuadradas

5. ¿Cuál es el perímetro de la figura 100? 206 unidades

6. ¿Cuál es el área de la figura 0? 1 unidad cuadrada

7. La figura 0, ¿forma parte del patrón? No

¿Por qué? De acuerdo con su área, el perímetro es 4, no 6

Figura 0

Parte II: Instrucciones:

1. El capacitador mostrará este patrón de figuras con colores. Observa el patrón de figura. Dibuja y colorea con lápices de colores las figuras 4, 5 y 6 en el espacio correspondiente.

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2. Completa la siguiente tabla para hallar el área de cada figura:

Figura

Cantidad de

cuadrados

Verde

Cantidad de

cuadrados

Blanco

Área (unidades cuadradas)

Proceso matemático

(suma)

Proceso

matemático

(multiplicación)

1 3 5 8 3 + 5 (3 x 1) + 5

2 6 5 11 3 + 3 + 5 (3 x 2) + 5

3 9 5 14 3 + 3 + 3 + 5 (3 x 3) + 5

4 12 5 17 3 + 3 + 3 + 3 + 5 (3 x 4) + 5

5 15 5 20 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 (3 x 5) + 5

6 18 5 23 3 + 3 + 3 + 3 + 3+ 3 + 5 (3 x 6) + 5

n (3 x n) + 5

3. ¿Cuántos cuadritos de cada color tendrá la figura 100?

4. ¿Cuál es el área de la figura 100? 305 u2

5. ¿Cuál es el área de la figura 0? 5u

6. Dibuja la figura 0.

Figura 100 Verde Blanco 300 5

AlACiMa2AlACiMa2


(AlACiMa 2- FASE 4)


Actividad # 7: Números de colores Hoja de trabajo # 7 Materiales: Papel de puntos, lápices de colores Objetivo: El estudiante investigará y construirá patrones numéricos y geométricos. Instrucciones: A continuación recibirás un papel de puntos. Parte I:

1. Selecciona un punto en el papel de puntos y haz un cerco alrededor de ese punto con un lápiz de cualquier color. (Etapa 1)

2. Con un lápiz de otro color, traza un cuadrado con los tres puntos más cercanos. (Etapa 2) 3. Traza otro cuadrado con los cinco puntos más cercanos (Etapa 3-ver ejemplo). 4. Traza los próximos cinco cuadrados añadiendo cada vez la próxima línea de puntos horizontal y vertical. 5. Completa la siguiente tabla:

6. El conjunto de números 1, 4, 9, 16,… se les llama números cuadrados. ¿Por qué crees que se les llama así? Porque forman cuadrados

7. ¿Existe algún patrón en la sucesión numérica de los números cuadrados? Sí, hay un patrón dentro del patrón

8. ¿Cuál es la regla? n x n

Etapa

Cantidad de puntos en el

interior y los bordes de la figura

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

8 64

9 81

10 100

AlACiMa2AlACiMa2


(AlACiMa 2- FASE 4)


Parte II: 1. Selecciona un punto en papel de puntos y haz un cerco alrededor de ese punto con un lápiz de cualquier color

(Etapa 1). 2. Con un lápiz de otro color, traza un triángulo con los dos puntos más cercanos (Etapa 2). 3. Traza otro triángulo con seis puntos añadiendo la próxima línea de puntos (Etapa 3-ver ejemplo). 4. Traza los próximos cinco triángulos añadiendo cada vez la próxima línea de puntos. 5. Completa la siguiente tabla:

6. El conjunto de números 1, 3, 6, 10,… se le llaman números triangulares. ¿Por qué crees que se les llama así? Porque forman triángulos

7. ¿Existe algún patrón en la sucesión numérica de los números triangulares? ¿Cuál? Sí, hay un patrón dentro del patrón

8. Describe el patrón que forma el próximo número triangular. Sumando la cantidad de puntos necesarios para forman el próximo triángulo.

Etapa

Cantidad de puntos en el

interior y los bordes de la figura

1 1

2 3

3 6

4 10

5 15

6 21

7 28

8 36

9 45

10 55

AlACiMa2AlACiMa2


(AlACiMa 2- FASE 4)


Parte III: Construyendo una escalera Instrucciones:

1. Usa los centímetros cúbicos para formar una escalera. Comienza por un escalón y continúa hasta que hayas creado cuatro escalones.

2. Contesta lo siguiente de acuerdo con el patrón de la escalera:

a. ¿Cuántos centímetros cúbicos debes añadir para formar el próximo escalón?________________ 3. Completa la tabla y contesta lo siguiente:

a. ¿Cuántos centímetros cúbicos necesitarás para construir una escalera de 10 escalones?_________ b. ¿Cuántos centímetros cúbicos necesitarás para construir una escalera de 100 escalones? _______ c. Escribe la regla para hallar la cantidad total de cubos que forman una escalera con n escalones?

Escalones Cantidad de cubos Proceso matemático

1 1

2 3

3 6

4 10

5 15

6 21

7 28

8 36

9 45

10 55

100 5055

n

AlACiMa2AlACiMa2


(AlACiMa 2- FASE 4)


Suma de Gauss:

Cuenta la historia que en el año 1787, cuando Carl Friedrich Gauss tenía apenas 10 años, un alboroto en el salón de matemáticas provocó que el maestro enojado, pidiera a los alumnos que sumaran todos los números del 1 al 100. Creyendo que el castigo sería tenerlos a todos un buen rato ocupados. A los pocos minutos, Gauss se levantó del pupitre, y le entregó el resultado de la suma al profesor: 5,050. El profesor, asombrado y seguramente creyendo que su alumno había puesto un número arbitrariamente, se dispuso él mismo a hacer la interminable suma. Al cabo de un buen rato, comprobó que, efectivamente, la suma daba como resultado 5,050. ¿Cómo hizo Gauss para resolver la suma en tan pocos minutos? Si no se tratara de un problema matemático, seguramente creeríamos que el joven niño contaba con algún tipo de poder paranormal. En efecto, el poder más brillante a veces se encuentra en la razón. Sucede que Gauss hizo lo siguiente: Como debía sumar los números del 1 al 100; Es decir: 1+2+3+4+5+6+……………..+97+98+99+100. Observó por un momento la secuencia de números y descubrió que si sumaba el primero con el último, el segundo con el anteúltimo y así sucesivamente obtenía siempre el mismo resultado: (1+100) = (2+99) = (3+98) = …. = (50+51) = 101 Luego, y como entre el número 1 y el 100 tenía 50 pares de números, solo restaba multiplicar por 50 el resultado obtenido. 50 x 101 = 5,050. Más tarde, Gauss aplicaría el mismo principio para hallar la suma de la serie geométrica y muchas otras series. Actividad # 8: El Triángulo Aritmético (Triángulo de Pascal) Hoja de trabajo # 8 Materiales: Lápices de colores Objetivo: El estudiante identificará y desarrollará una variedad de patrones. El estudiante escribirá una regla que generalice un patrón numérico. Instrucciones: A continuación se muestra un diagrama de números que forman un triángulo. Este triángulo contiene numerosos patrones. Por ejemplo, da lo mismo si una fila se lee de izquierda a derecha, que de derecha a izquierda.

AlACiMa2AlACiMa2


(AlACiMa 2- FASE 4)


Observa el diagrama y contesta lo siguiente: 1. ¿Qué procedimiento o regla usarías para añadir más filas al triángulo?

Continuar las sucesiones de 1, sumar los primeros dos números contiguos y colocar el resultado debajo

2. Usa los lápices de colores para marcar o resaltar los patrones que ves. Describe en palabras tantos patrones de este triángulo como te sea posible. ___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

3. Usando esa regla, completa el triángulo hasta llegar a la fila 9.

4. ¿Funciona la regla para hallar otras filas del triángulo? Explica: Si, funciona, sumando un par de números

contiguos y anotar el resultado debajo, en la siguiente fila

5. Suma los números de cada fila y anótalos en la siguiente tabla.

Fila 0 Fila 1 Fila 2

Fila 3 Fila 4 Fila 5 Fila 6

Fila 7

Fila 8

Fila 9

1

1 1

2

3 3

1

1

1

1

6 4

1

4 1

10 5 10 5 1

1

1 15 6 20 15 6 1

1 21 7 35 35 21 7

1 28 8 56 70 56 28

1

8 1

1 36 9 84 126

126

84 36 9 1

AlACiMa2AlACiMa2


(AlACiMa 2- FASE 4)


6. Completa la siguiente tabla usando el triángulo aritmético:

Fila

Total de la suma de los

números en la Fila

Describe el patrón como un producto de factores primos

Escribe la descripción del patrón usando

exponente

0 1

1 2 2 21

2 4 2 x 2 22

3 8 2 x 2 x 2 23

4 16 2 x 2 x 2 x 2 24

5 32 2 x 2 x 2 x 2 x 2 25

6 64 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 26

7 128 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 27

8 256 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 28

9 512 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 29

n 2n

7. ¿Puedes encontrar un patrón en la columna del total de la suma de los números en la Fila n? Explica:

Si, el 2 elevado a la fila n

AlACiMa2AlACiMa2


(AlACiMa 2- FASE 4)


Un bizcocho tarda ______________________

Si Juan tardó 1.5 horas en ir de San Juan a Arecibo. ¿Cuántos

Si Juan tardó 1.5 horas en ir de San Juan a Arecibo. ¿Cuántos minutos S

i Jua

n ta

rdó

1.5

hora

s en

ir d

e S

an

Juan

a A

reci

bo.

¿Cuá

ntos

min

utos

Actividad # 9: ¡Encuentra la regla! Hoja de trabajo # 9 Materiales: Cartapacio (two pocket folder), cinta métrica, regla de papel calibrada en pulgadas, taza de medir (ilustración en papel) calibrada en: onzas, tazas y pintas, reloj (ilustración en papel), tijeras, pega, cartas de póker. Objetivo: El estudiante representará y analizará patrones y relaciones usando lenguaje matemático y tablas para resolver problemas. Instrucciones:

1. A continuación recibirás los materiales para construir el cartapacio: ¡Encuentra la regla! 2. Usa el instrumento de medida más adecuado según cada tabla para analizar los valores en ella y completa los valores que faltan. 3. Completa, recorta y parea una o varias reglas con la tabla de valores correspondiente. 4. Resuelve cada ejercicio usando la tabla que mejor te convenga. 5. Cuando lo encuentres la solución, echa la carta de “Poker” en el sobre que le corresponde.

uno.

AlACiMa2AlACiMa2


(AlACiMa 2- FASE 4)


Materiales para la Actividad # 9: ¡Encuentra la regla! : Cartapacio (two pocket folder), 4 sobres, tablas de valores, cinta métrica, regla de papel calibrada en pulgadas, taza de medir (ilustración en papel) calibrada en: onzas, tazas y pintas, reloj (ilustración en papel), tijeras, pega, cartas de póker. Procedimiento para preparar el cartapacio: En el interior del cartapacio, pega los cuatro sobres de forma vertical uno al lado de otro, luego pega en el exterior de cada sobre una de las tablas de equivalencias. TABLAS DE VALORES DESCRIPCION DE LA REGLA

Regla: El número de __________ es igual al número de __________ multiplicado por ___


Regla: El número de __________ es igual al número de __________ dividido por ___










5

6

12

15

27

300

24

14

16

10

240

720

1,440

AlACiMa2AlACiMa2


(AlACiMa 2- FASE 4)


EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Convierte: 131 horas = _7,860_ minutos

AlACiMa2AlACiMa2


(AlACiMa 2- FASE 4)


Actividad # 10: Describe la regla Hoja de trabajo # 10 Materiales: Hoja de trabajo Objetivos: El participante usará patrones para hacer generalizaciones y predicciones para deducir una regla. Instrucciones:

En la siguiente tabla describe en palabras y símbolos la regla para cada secuencia, clasifica cada sucesión en creciente (C) o decreciente (D) y añade los próximos tres términos a cada sucesión.

Sucesión (Patrón)

Describe la regla Creciente (C) o Decreciente (D)

Próximos tres términos

en palabras en símbolo

2, 4, 6, 8, 10, … Suma 2 cada vez + 2 Creciente 12, 14, 16

1, 3, 5, 7, 9,… Suma 2 cada vez + 2 Creciente 11, 13, 15

2, 4, 8, 16, 32,… Multiplica 2

cada vez x 2 Creciente 64, 128, 256

2, 4, 8, 10, 14,… Suma 2, luego

suma 4 cada vez + 2 luego, + 4 Creciente pero no

constante 16, 20, 22

26, 31, 36, 41, 46,… Suma 5 cada vez + 5 Creciente 51, 56, 61

1, 5, 25, 125, 625,…. Multiplica 5 cada vez

x 5 Creciente 3125, 15 625, 78 125

35, 28, 21, 14, 7, … Resta 7 cada vez + 7 Decreciente 0, -7, -14

50, 45, 40, 35, 30, … Resta 5 cada vez + 5 Decreciente 25, 20, 15

128, 64, 34, 16, … Divide por 2

cada vez ÷ 2 Decreciente 8, 4, 2

33, 30, 28, 25, 23,… Resta 3, luego

resta 2 cada vez - 3 luego, - 2

Decreciente pero no constante

20, 18, 15

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(AlACiMa 2- FASE 4)


ACTIVIDAD DE CIERRE

Luego de haber trabajado varias actividades sobre patrones y hacer generalizaciones para determinar una regla

para un patrón, el participante aplicará los conceptos y estrategias adquiridas en la capacitación desarrollando una

tirilla en forma de un “mini-comic” para adivinar la regla de otro compañero (Actividad # 11). El capacitador

distribuirá una hoja con una tirilla cómica y guiará a los maestros con el siguiente diagrama, de izquierda a

derecha, para hacer el mini-comics.

http://print-cut-paste-craft.com/?page_id=43

http://print-cut-paste-craft.com/?page_id=43

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(AlACiMa 2- FASE 4)


Actividad # 11: ¿Cuál es mi regla? Hoja de trabajo # 11 Materiales: tijeras, hoja de trabajo: Mini-comic Objetivo: El estudiante usará patrones para hacer generalizaciones y predicciones para deducir una regla. Instrucciones:

1. Crea tu mini-comic siguiendo las instrucciones del capacitador. 2. Piensa en una regla numérica para que otro pueda adivinarla. Anótala en tu libreta. Busca una pareja y

comiencen a llenar tu mini-comic, sin hablar, usando como medio de comunicación el mini-comic. 3. En la última página del mini-comic deben escribir la regla y algunos valores que satisfacen la regla

numérica. 4. Ahora tu pareja debe pensar en una regla y tú tienes que adivinarla usando su mini-comic. 5. Por último, comparte tu experiencia con el grupo.

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(AlACiMa 2- FASE 4)


La siguiente actividad es un RETO MATEMATICO que promueve la aplicación de los conceptos sobre patrones numéricos que hemos estudiado. Invite a los participantes a realizar el reto de forma individual y luego, anímelos a que compartan sus estrategias de solución con el grupo. Actividad # 12: ¿Cuánto vale tu dinero? Hoja de trabajo # 12 Materiales: Hoja de trabajo de la actividad #10 Objetivo: El estudiante encontrará un patrón útil para resolver una situación la vida diaria en específico. Instrucciones: Resuelve el siguiente reto matemático y discute con tus compañero tu respuesta.

Tomado de: http://www.figurethis.org/pdf/ch/es/es_entire_set_1.pdf

Comienza: ¿Cuánto ganarías el primer día usando cada método? ¿El segundo día? ¿Cuáles serían tus ganancias totales al final del segundo día? Solución completa: Si se te pagan $20 por día por 7 días, entonces ganas $20 x 7, o sea $140. Si se te pagan $2 el primer día y tu salario se multiplica al doble cada día por los próximos 6 días, entonces ganas: $2 + $4 + $8 + $16 + $32 + $64 + $128, o sea $254. Con el segundo método ganas más dinero al final de la semana.

AlACiMa2AlACiMa2


(AlACiMa 2- FASE 4)


BIBLIOGRAFÍA:

Departamento de Educación de Puerto Rico (2007). Estándares de Contenido y Expectativas de Grado: Programa de Matemáticas. San Juan, PR: Autor.

Escareño, F., López, O. (2006). Matemáticas 1. Editorial Trillas. México, DF.

Nota: Parte de las actividades que se presentan en esta capacitación fueron modificadas o adaptadas por la Prof. Yamily Colón Negrón.

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