4.1. Gua de trabajo para estudiar los mosaicos.Propuesta didctica En esta seccin se muestra una coleccin de mosaicos que ha sido analizado bajo la ptica de los movimientos en el plano. Algunas de las transformaciones estudiados en las secciones anteriores dejan invariante el mosaico de M.C. Escher. De un rectngulo Escher hizo surgir una rana de tal manera que muchas baldosas como ese animal pudieran rellenar el plano sin dejar huecos. Se ha diseado el applet como una animacin para comprobarlo. En la parte inferior tenemos una coleccin de interruptores que hacen aparecer las simetras del mosaico.

SECUENCIA DE TRABAJO PROPUESTA. Antes de pulsar los interruptores que hacen aparecer las simetras del mosaico, es interesante dedicar un tiempo a conseguirlas por uno mismo.Como gua de trabajo en clase se puede utilizar la siguiente secuencia de preguntas:1. Marca sobre el mosaico todas las isometras o movimientos en el plano que observes y descrbelas por escrito.a. Busca vectores de traslacin en dos direcciones diferentes.b. Si hay rotaciones, marca los centros para ver si con ellos se forma una trama de puntos, si hay simetras rotacionales de varios rdenes, utiliza colores distintos.c. Dibuja los ejes de simetra y haz una trama con las lneas.d. Busca los ejes de simetra con deslizamiento marcando los ejes y al menos uno de los vectores de traslacin paralelo a uno de los ejes.2. Observa el entramado que se genera y describe la baldosa que se encuentra en su interior. A qu tipo de polgono se llega? Describe la malla o trama oculta en la que se apoy el diseador del mosaico.3. Toma una de las baldosas y describe las instrucciones para reproducir todo el mosaico.

4.3. El nombre del grupo cristalogrfico. Este apartado es ms terico que los otros. Se puede estudiar como paso previo al anlisis de mosaicos, o bien realizar el trabajo prctico y volver a este punto ms adelante, cuando se haya adquirido suficiente experiencia.Ir a la pgina siguiente Como resumen de los apartados anteriores, podemos resear que hay cuatro isometras: los movimientos en el plano que conservan las distancias. Dos de ellas mantienen la orientacin: la traslacin y la rotacin. Las otras dos invierten la orientacin: la simetra y la simetra con deslizamiento. En matemticas se ha estudiado este tema desde la ptica de las estructuras, y se ha demostrado que hay exactamente 17 grupos llamados cristalogrficos planos. Reciben ese nombre porque surgen del trabajo de cientficos y gemetras como Fedorov, que a finales del siglo XIX estudiaban la estructura de los cristales. La estructura de grupo hace necesarias unas condiciones que ya se apuntaron en elapartado 3.6: Que la composicin de dos isometras sea tambin una isometra del grupo (ley de composicin interna). Esto en los movimientos se traduce en ideas del tipo dos simetras de ejes paralelos es igual a una traslacin de vector perpendicular a los ejes de mdulo igual al doble de la distancia que separa los ejes. Que exista un movimiento Identidad -la traslacin de vector nulo o el giro de 0-. Que cada movimiento tenga inverso, es decir, que cada isometra se pueda deshacer con otra (una traslacin con otra de vector igual pero de sentido contrario, una simetra axial con otra que tenga el mismo eje, etc.). Este trabajo es til para la catalogacin de un mosaico, porque permite diferenciar bien unos mosaicos de otros y ofrece una informacin adicional, ya que la pertenencia de un mosaico a uno de los grupos nos garantiza el conocimiento de todos los detalles del mosaico y los de cualquier otro con las mismas caractersticas. Si queremos saberlo todo de un mosaico, basta con saber cmo es la baldosa mnima que lo genera por repeticin y cules son los movimientos necesarios para componerlo. Lo primero que se hace es determinar un paralelogramo, llamado primitivo, que pueda generar el mosaico mediante dos vectores de traslacin colocados sobre sus lados (no confundir con la baldosa mnima que puede ser an ms pequea al poder utilizar isometras distintas de la traslacin). Con rectas paralelas a los lados del paralelogramo se organiza una trama. De todos los paralelogramos posibles, se toma aquel que tenga los vrtices sobre centros de rotacin de orden mximo. Si no hay centros de rotacin (orden 1), hacemos coincidir los ejes de simetra con los lados o con las diagonales. La notacin establecida por laUnin Internacional de Cristalografa (Comit Espaol), tambin conocida como notacin de Hermann-Mauguin, consta de cuatro smbolos ordenados: Smbolo 1. Es c (centrado) cuando el paralelogramo primitivo es un rombo que se puede enmarcar centrndolo en un rectngulo y p (primitivo) en cualquier otro caso. De los 17 grupos, slo dos son centrados: cm y cmm. Smbolo 2. El mayor orden de rotacin que podamos encontrar. Puede ser 1 (ngulo de 360), 2 (ngulo de 180), 3 (ngulo de 120), 4 (ngulo de 90) 6 (ngulo de 60). Cuando un mosaico tiene un centro de rotacin de un orden determinado, tambin tendr otros centros de rdenes divisores. Smbolo 3. Corresponde al tipo de simetra y puede tener dos smbolos: m (mirror = espejo) simetra especular o axial y g (glide = deslizamiento), cuando tiene simetra con deslizamiento. Smbolo 4. La misma clasificacin anterior, respecto a la presencia o no de un segundo tipo de ejes de simetra (m o g). En el siguiente diagrama se expone un algoritmo para averiguar a cul de los 17 grupos corresponde un mosaico. El nombre se encuentra en la penltima columna en color naranja. En muchas ocasiones se usa una abreviatura estndar de esta cadena de smbolos, la vemos en la ltima columna en color amarillo. En esta forma abreviada, una m o algunos dgitos no aparecen porque pueden deducirse sin posibilidad de confusin con otro grupo. Es necesario advertir que los diseos p31m y p3m1 son una excepcin a esta notacin. Para ms informacin, recomendamos una visita a la pgina de Wikipedia dedicada a los grupos cristalogrficos (en ingls)http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group. Se ha elegido un mosaico para ilustrar cada uno de los grupos cristalogrficos.http://jmora7.com/Mosaicos/index14.htm

http://jmora7.com/Mosaicos/index15.htm