Accion de Einstein-Hilbert´
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Acci´ on de Einstein-Hilbert J UAN J OS ´ E F ERN ´ ANDEZ M ORALES Resumen La acci ´ on es una magnitud f´ ısica que surge con la formulaci´ on de la mec´ anica anal´ ıtica del siglo XVIII y el principio de Hamilton, postulado que se mantiene vigente en la mec´ anica relativista. Este p´ oster contiene dos partes: en la primera se introduce al lector en el estudio de esta magnitud y sus posibles aplicaciones, y en la segunda se describe la acci´ on de Einstein-Hilbert y la obtenci ´ on de las ecuaciones de campo de Einstein. La acci ´ on En F´ ısica, la acci ´ on (S ) se expresa como un funcional que define el producto de la energ´ ıa y el tiempo emplea- dos en un cierto proceso. Por tanto, se puede deducir que las unidades de la acci´ on son [Energ ´ ia] · [tiempo], en el Sistema Internacional de Unidades (J · s). S AB = Z B A (E c - E p )dt (1) Expresi´ on com ´ un de la acci ´ on en mec´ anica cl´ asica de un sistema conservativo donde E c y E p representan la energ´ ıa cin´ etica y la energ´ ıa potencial respectivamente. Observaci´ on: La constante de Planck (h ’ 6,62607015 · 10 -34 J · s) presenta las mismas unidades que la acci´ on, por eso el lector se puede encontrar que a esta constante tambi´ en se le denomina como ✭✭cuanto de acci´ on✮✮ o ✭✭unidad natural de la acci´ on✮✮. La acci ´ on como funcional Un funcional se puede definir de varias formas, normalmente depende del campo de las matem´ aticas en el el que se le est´ e haciendo uso, para este trabajo resulta suficiente si se describe como una funci´ on (F ) cuyo argumento es otra funci´ on (f ), y se denota como: F : D f → D F f 7→F [f ] Donde D f y D F son los dominios de f y de F respectivamente. Nuestra magnitud escalar se encuentra dentro de un subconjunto de funcionales reales que se caracterizan por estar expresados con una integral. Al integrando de la acci´ on se le denomina lagrangiano (L) cuando el integrador es temporal o densidad lagrangiana (L) cuando el integrador es espacio-temporal [3][6]. S [q(·)] = Z T L (q(t),∂ t q(t),t) dt (2) S [φ(·)] = Z M L(φ(x),∂φ(x),∂∂φ(x), x)d 4 x (3) Donde q =(q 1 , ··· ,q N ) son las coordenadas generalizadas, donde d 4 x = dxdydzd(ct). Observaci´ on: Si se compara la ecuaci´ on (2) con la (1) se puede observar que el lagrangiano de un sistema cl´ asico conservativo viene dado por la diferencia de las energ´ ıas cin´ etica y potencial (L cl ´ asico = E c - E p ). Principio de m´ ınima... de Hamilton El principio de Hamilton, o principio de acci´ on estacionaria, es un postulado que relaciona la acci´ on con la din´ amica de un sistema f´ ısico, y afirma que la trayectoria que describen los cuerpos es aquella que hace la acci´ on invariante. Matem´ aticamente el principio se puede expresar como: δS =0 (4) El c´ alculo variacional es el campo de las matem´ aticas que aborda esta tipolog´ ıa de problemas, las solucio- nes denominadas ecuaciones de Euler-Lagrange resultan ser, a su vez, las expresiones del movimiento de los cuerpos que conforman el sistema f´ ısico. Se aplica el principio a las ecuaciones (2) y (3): 0= δ Z T L (q(t),∂ t q(t),t) dt → d dt ∂L ∂ (∂ t q i ) - ∂L ∂q i =0 (5) 0= δ Z M L(φ(x),∂φ(x),∂∂φ(x))d 4 x → ∂ μ ∂ L ∂ (∂ μ φ) - ∂ L ∂φ =0 (6) Cuidado: en la expresi´ on (6) se emplea la notaci ´ on de Einstein, convenio que se emplea de aqu´ ı en adelante. Acci´ on del Universo Se suele describir la acci ´ on del universo (S ) como suma de la acci ´ on de Einstein-Hilbert (S EH ), la acci ´ on cosmol ´ ogica (S cosmo ) y la acci ´ on material (S matter ). Acci´ on de Einstein-Hilbert Se propone que la acci´ on relacionada con la din´ amica de la gravedad tiene que presentar una densidad la- grangiana escalar que est´ e relacionada con la curvatura, en este caso del espacio tiempo [1][4]. La acci´ on de Einstein-Hilbert satisface estos criterios y se describe como: S EH = c 4 16πG Z d 4 x √ -gg μν R μν (7) Donde c y G son las constantes de la velocidad de la luz y de la gravitaci´ on universal respectivamente, necesa- rias para mantener las unidades, g es el determinante del tensor m´ etrico, g μν es el tensor m´ etrico contravariante y R μν es el Tensor de Ricci. Al aplicar el principio de acci´ on estacionaria se queda la variaci´ on de un producto de tres t´ erminos ( √ -g , g μν , R μν ). La variaci´ on del primero se obtiene con la f´ ormula de Jacobi para la derivada de un determinante (δ √ -g = -1 2 √ -gg μν δg μν ) y al ´ ultimo, si se integra tras emplear la identidad de Palatini [4] se obtiene un t´ ermino de frontera que no afecta a las expresiones del movimiento, por lo que se puede obviar. δS EH = Z d 4 x √ -g -1 2 g μν R μν g μν + R μν δg μν =0 (8) Si se emplea el lema fundamental del c´ alculo variacional y se sustituye la contracci´ on g μν R μν por el Escalar de Ricci (R) queda: R μν - 1 2 Rg μν =0 (9) Al t´ ermino de la izquierda se le conoce como Tensor de Einstein (E μν ) y las soluciones a esta ecuaci´ on son las denominadas ecuaciones de Einstein en el vac´ ıo (R μν = 0) [2]. Acci´ on cosmol ´ ogica La acci´ on cosmol´ ogica se propone con el fin de modificar la expresi´ on (9), para eso se le a˜ nade la constante cosmol´ ogica (Λ) a la integral [5]. Se puede observar que su variaci´ on solo depende de una componente ya conocida ( √ -g ): S cosmo = c 4 16πG Z d 4 x √ -g (-2Λ) (10) Esta modificaci´ on consigue un t´ ermino extra (Λg μν ) en las ecuaciones de evoluci´ on, el signo de este par´ ame- tro resulta crucial para definir la evoluci´ on del universo; actualmente las observaciones astron´ omicas acotan la constante a un valor positivo pero menor o igual que 10 46 km -2 por lo que actualmente se afirma una expansi ´ on acelerada del universo. Acci´ on material Finalmente, la acci´ on material trata de la resultante del conjunto de acciones de campos cl´ asicos (ejemplo: la acci´ on del campo electromagn´ etico (S Maxwell ): S matter = Z d 4 x √ -g L matter (11) La variaci´ on de esta acci´ on depender´ a de la forma de la densidad lagrangiana (L matter ), an´ alogo a la expre- si´ on (3), pero se puede asegurar que su variaci´ on tiene que tener la forma de un tensor variante (para mantener el comportamiento escalar de la acci ´ on) al que se denominar´ a Tensor energ´ ıa-impulso (T μν ) [1]. δS matter = Z d 4 x √ -g -1 2 T μν δg μν (12) Ecuaciones de campo de Einstein Con el principio de Hamilton se puede obtener las ecuaciones de campo de Einstein, ´ estas describen la geometr´ ıa del espacio-tiempo debido a la materia que se encuentra en ´ el. S = Z d 4 x √ -g " c 4 16πG ( g μν R μν - 2Λ ) + L matter # → δS = Z d 4 x √ -g " c 4 16πG R μν - 1 2 Rg μν +Λg μν - 1 2 T μν # δg μν =0 c 4 16πG R μν - 1 2 Rg μν +Λg μν - 1 2 T μν =0 ↔ R μν - 1 2 Rg μν + Λg μν = 8π G c 4 T μν Referencias [1] Anthony Zee. Einstein Gravity in a Nutshell. (PRINCETON UNIVERSITY PRESS), 2013. Chapter VI. [2] Fernando H. P´ erez Hern´ andez. Relatividad General. 2019. Chapter VI. [3] Rodolfo Alexander Fiaz Sanchez. Mec´ anica Anal´ ıtica: Notas de Clase 2012. Chapter XVIII. [4] Javier Garcia (Canal de Youtube). 54 - Curso de Relatividad General [Acci´ on Hilbert Einstein 3], 2019. [5] Hanoch Gutfreund y J ¨ urgen Renn. El camino hacia la relatividad. (PRINCETON UNIVERSITY PRESS), 2017. [6] L.D. Landau y E. M. Liftshitz Mec´ anica Volumen 1. (EDITORIAL REVERT ´ E), 1994.
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Accion de Einstein-HilbertJUAN JOSE FERNANDEZ MORALES
Resumen
La accion es una magnitud fısica que surge con la formulacion de la mecanica analıtica del siglo XVIII y el principio de Hamilton, postulado que semantiene vigente en la mecanica relativista. Este poster contiene dos partes: en la primera se introduce al lector en el estudio de esta magnitud y sus
posibles aplicaciones, y en la segunda se describe la accion de Einstein-Hilbert y la obtencion de las ecuaciones de campo de Einstein.
La accionEn Fısica, la accion (S) se expresa como un funcional que define el producto de la energıa y el tiempo emplea-dos en un cierto proceso. Por tanto, se puede deducir que las unidades de la accion son [Energia] · [tiempo],en el Sistema Internacional de Unidades (J · s).
SAB =
∫ B
A(Ec − Ep)dt (1)
Expresion comun de la accion en mecanica clasica de un sistema conservativo dondeEc y Ep representan la energıa cinetica y la energıa potencial respectivamente.
Observacion: La constante de Planck (h ' 6,62607015 · 10−34J · s) presenta las mismas unidades que laaccion, por eso el lector se puede encontrar que a esta constante tambien se le denomina como ((cuanto deaccion)) o ((unidad natural de la accion)).
La accion como funcionalUn funcional se puede definir de varias formas, normalmente depende del campo de las matematicas en elel que se le este haciendo uso, para este trabajo resulta suficiente si se describe como una funcion (F) cuyoargumento es otra funcion (f ), y se denota como:
F : Df → DFf 7→ F [f ]
Donde Df y DF son los dominios de f y de F respectivamente.Nuestra magnitud escalar se encuentra dentro de un subconjunto de funcionales reales que se caracterizanpor estar expresados con una integral. Al integrando de la accion se le denomina lagrangiano (L) cuando elintegrador es temporal o densidad lagrangiana (L) cuando el integrador es espacio-temporal [3][6].
S[q(·)] =
∫TL (q(t), ∂tq(t), t) dt (2)
S[φ(·)] =
∫ML(φ(x), ∂φ(x), ∂∂φ(x), x)d4x (3)
Donde q = (q1, · · · , qN ) son las coordenadas generalizadas, donde d4x = dxdydzd(ct).
Observacion: Si se compara la ecuacion (2) con la (1) se puede observar que el lagrangiano de un sistemaclasico conservativo viene dado por la diferencia de las energıas cinetica y potencial (Lclasico = Ec − Ep).
Principio de mınima... de Hamilton
El principio de Hamilton, o principio de accion estacionaria, es un postulado que relaciona la accion con ladinamica de un sistema fısico, y afirma que la trayectoria que describen los cuerpos es aquella que hace laaccion invariante. Matematicamente el principio se puede expresar como:
δS = 0 (4)
El calculo variacional es el campo de las matematicas que aborda esta tipologıa de problemas, las solucio-nes denominadas ecuaciones de Euler-Lagrange resultan ser, a su vez, las expresiones del movimiento de loscuerpos que conforman el sistema fısico. Se aplica el principio a las ecuaciones (2) y (3):
0 = δ
∫TL (q(t), ∂tq(t), t) dt→ d
dt
(∂L
∂(∂tqi)
)− ∂L
∂qi= 0 (5)
0 = δ
∫ML(φ(x), ∂φ(x), ∂∂φ(x))d4x→ ∂µ
(∂L
∂(∂µφ)
)− ∂L∂φ
= 0 (6)
Cuidado: en la expresion (6) se emplea la notacion de Einstein, convenio que se emplea de aquı en adelante.
Accion del Universo
Se suele describir la accion del universo (S) como suma de la accion de Einstein-Hilbert (SEH), la accion cosmologica (Scosmo) y la accion material (Smatter).
Accion de Einstein-HilbertSe propone que la accion relacionada con la dinamica de la gravedad tiene que presentar una densidad la-grangiana escalar que este relacionada con la curvatura, en este caso del espacio tiempo [1][4]. La accion deEinstein-Hilbert satisface estos criterios y se describe como:
SEH =c4
16πG
∫d4x√−ggµνRµν (7)
Donde c y G son las constantes de la velocidad de la luz y de la gravitacion universal respectivamente, necesa-rias para mantener las unidades, g es el determinante del tensor metrico, gµν es el tensor metrico contravariantey Rµν es el Tensor de Ricci.
Al aplicar el principio de accion estacionaria se queda la variacion de un producto de tres terminos (√−g,
gµν, Rµν). La variacion del primero se obtiene con la formula de Jacobi para la derivada de un determinante(δ√−g = −1
2
√−ggµνδgµν) y al ultimo, si se integra tras emplear la identidad de Palatini [4] se obtiene un
termino de frontera que no afecta a las expresiones del movimiento, por lo que se puede obviar.
δSEH =
∫d4x√−g(−1
2gµνRµνgµν + Rµν
)δgµν = 0 (8)
Si se emplea el lema fundamental del calculo variacional y se sustituye la contraccion gµνRµν por el Escalarde Ricci (R) queda:
Rµν −1
2Rgµν = 0 (9)
Al termino de la izquierda se le conoce como Tensor de Einstein (Eµν) y las soluciones a esta ecuacion sonlas denominadas ecuaciones de Einstein en el vacıo (Rµν = 0) [2].
Accion cosmologicaLa accion cosmologica se propone con el fin de modificar la expresion (9), para eso se le anade la constantecosmologica (Λ) a la integral [5]. Se puede observar que su variacion solo depende de una componente yaconocida (
√−g):
Scosmo =c4
16πG
∫d4x√−g (−2Λ) (10)
Esta modificacion consigue un termino extra (Λgµν) en las ecuaciones de evolucion, el signo de este parame-tro resulta crucial para definir la evolucion del universo; actualmente las observaciones astronomicas acotan laconstante a un valor positivo pero menor o igual que 1046km−2 por lo que actualmente se afirma una expansionacelerada del universo.
Accion materialFinalmente, la accion material trata de la resultante del conjunto de acciones de campos clasicos (ejemplo: laaccion del campo electromagnetico (SMaxwell):
Smatter =
∫d4x√−gLmatter (11)
La variacion de esta accion dependera de la forma de la densidad lagrangiana (Lmatter), analogo a la expre-sion (3), pero se puede asegurar que su variacion tiene que tener la forma de un tensor variante (para mantenerel comportamiento escalar de la accion) al que se denominara Tensor energıa-impulso (Tµν) [1].
δSmatter =
∫d4x√−g−1
2Tµνδg
µν (12)
Ecuaciones de campo de EinsteinCon el principio de Hamilton se puede obtener las ecuaciones de campo de Einstein, estas describen la geometrıa del espacio-tiempo debido a la materia que se encuentra en el.
S =
∫d4x√−g
[c4
16πG
(gµνRµν − 2Λ
)+ Lmatter
]→ δS =
∫d4x√−g
[c4
16πG
(Rµν −
1
2Rgµν + Λgµν
)− 1
2Tµν
]δgµν = 0
c4
16πG
(Rµν −
1
2Rgµν + Λgµν
)− 1
2Tµν = 0↔ Rµν −
1
2Rgµν + Λgµν =
8πG
c4Tµν
Referencias[1] Anthony Zee. Einstein Gravity in a Nutshell. (PRINCETON UNIVERSITY PRESS), 2013. Chapter VI.
[2] Fernando H. Perez Hernandez. Relatividad General. 2019. Chapter VI.
[3] Rodolfo Alexander Fiaz Sanchez. Mecanica Analıtica: Notas de Clase 2012. Chapter XVIII.
[4] Javier Garcia (Canal de Youtube). 54 - Curso de Relatividad General [Accion Hilbert Einstein 3], 2019.
[5] Hanoch Gutfreund y Jurgen Renn. El camino hacia la relatividad. (PRINCETON UNIVERSITY PRESS), 2017.
[6] L.D. Landau y E. M. Liftshitz Mecanica Volumen 1. (EDITORIAL REVERTE), 1994.
