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8/17/2019 8. transferencia

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FUNDAMENTOS DE ASTRONAUTICA

MARIA CECÍLIA ZANARDI

UFABC – 2014

VIII. TRANSFERÊNCIA DE ÓRBITAS E ENCONTRO DE VEÍCULOS

ESPACIAIS

1. Considerações Iniciais

A questão da transferência de órbita se resume em transladarmos um veículoespacial de um ponto para outro do espaço em órbitas diferentes.

Uma transferência de órbita torna-se necessária, quando na injeção de satélite

em órbita ocorrem erros nos parâmetros normais da órbita do satélite, que fazem com

que ele se encontre em uma trajetória diferente da pré-estabelecida.

Outras vezes, a transferência pode estar prevista na própria missão, pois o fato

de se colocar um satélite em uma órbita intermediária e depois colocá-lo na desejada émais fácil do que se tentar colocar o satélite diretamente na trajetória pretendida. Por

exemplo: para a injeção em órbita de um satélite norte-americano no Equador, lança-se

primeiro o satélite em uma órbita intermediária e quando este cruza o Equador é

realizada a transferência.

Existe um grande interesse prático para que se utilize a menor quantidade de

combustível possível nestas transferências. A otimização das manobras de transferência

de órbitas se baseia no gasto mínimo de combustível ou no tempo mínimo de duração

da transferência. Analisaremos aqui apenas o caso de gasto mínimo de combustível.

As transferências aqui analisadas serão do tipo de HOLMANN, que se

caracterizam por ocorrerem no apogeu e perigeu das órbitas consideradas e por serem

transferências ótimas para dois incrementos de velocidades, ou seja, de mínima energia.

O problema de transferência de órbitas é, na realidade, tri-dimensional. No

entanto, algumas simplificações são possíveis quando as órbitas (inicial e final) se


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2

encontram no mesmo plano (órbitas coplanares). Portanto, analisaremos primeiramente

as transferências coplanares e, após, estendermos a análise para o caso geral.

Consideraremos aqui apenas órbitas concêntricas, ou seja, o centro de atração será

sempre a Terra.

Por fim, os motores a serem usados para efetuar a transferência de órbita serão

assumidos de curta duração (instantâneos), de modo que poderemos ignorar a variação

do vetor posição do veículo espacial com relação ao centro da Terra, durante as

eventuais mudanças de direção e magnitude da velocidade.

No final deste capítulo faremos alguns comentários a respeito do encontro

(RENDEZVOUS) de veículos espaciais.

2. Velocidade no apogeu e perigeu da órbita

Neste estudo utilizaremos transferências do tipo HOLMANN, nas quais os

incrementos de velocidade são dados no perigeu e apogeu das órbitas consideradas. Para

se calcular este incremento é necessário conhecer o valor da velocidade nestes pontos.

2.1. Velocidade no Perigeu

Já foi visto, nos capítulos V e VI, as seguintes relações de geometria da elipse:

(1) . /

No perigeu temos que e portanto de (3) teremos:

.

/


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3

De onde,

Das relações (1) e (2) obtemos:

Substituindo (4) em (5) temos:

( )

Utilizando (1) e (2) podemos também obter que:

2.2. Velocidade no Apogeu

Para determinar a velocidade no apogeu, vamos lembrar que durante a fase em

vôo livre o momento angular se conserva e que no apogeu e perigeu temos:

De onde:

Substituindo em (6) e (7) obtemos:


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4

e

2.3. Velocidade Circular

Em algumas das transferências a serem analisadas uma das trajetórias será

circular, assim sendo é bom lembrar que se o veículo se encontra em órbita circular,

temos que:

3.

Órbitas Concêntricas, Coplanares e Circulares

A transferência ótima entre órbitas circulares coplanares, como mostrado por

Holmann, é uma semi-elipse que tangencia com seu apogeu e perigeu as duas órbitas

circulares. Este tipo de transferência é obtido de modo mais econômico dando ao

veículo um impulso em cada ápice da trajetória de transferência.

A elipse de transferência é mostrada na figura abaixo, onde os impulsos ocorrem

nos pontos A e B.


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No ponto A da órbita interna (1) a velocidade do satélite é aumentadatangencialmente de um , entrando o satélite em uma órbita elíptica (t) tal que o seuapogeu coincida com o ponto B da órbita externa (2), onde um outro impulso tangencial

ajustará o satélite à órbita final. Temos então que:

Utilizando as relações (7), (10) e (11), obtemos de (12) e (13):

+


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6

+ Pelas expressões (14) e (15) observamos que nos dois pontos A e B são

necessários um aumento de velocidade. O incremento total de velocidade é dado por:

|| Para obtermos o consumo de propelente necessário para a transferência,

podemos utilizar a equação de TSIOLKOVSKY, apresentada no capítulo V:

Onde:

= Velocidade Final da queima do combustível = Velocidade Inicial do satélite

= Impulso específico

= Aceleração da gravidade na superfície da Terra = Massa Inicial do satélite = Massa Final da queimaAssim temos que:

Como a massa de propelente é dada por:

Então:

. /


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7

Onde é dado em (16).O tempo total gasto para ir da órbita (1) para órbita (2) é igual à metade do

período T da elipse de transferência e dado por:

Mas sabemos que:

Logo:

4. Órbitas circular e elíptica coplanares e concêntricas

A transferência entre uma órbita circular (1) para uma elíptica (2), deexcentricidade e semi-eixo maior , situadas no mesmo plano está esquematizadana figura abaixo.


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Os impulsos serão aplicados nos pontos A e B, com o ponto B coincidente com

o perigeu da órbita elíptica (2). Temos, portanto para a elipse de transferência (t):

Com as relações (6), (9) e (11) temos:

+ +

Do mesmo modo que no caso anterior, serão necessários aumentos de

velocidades nos pontos A e B, o incremento total de velocidade e o gasto decombustível são obtidos por (16) e (18) respectivamente, com e dados por (21)e (22).

O tempo gasto durante a transferência, em analogia com o item 3, é dado por:

5. Transferências entre órbitas elípticas, coplanares e coaxiais

Como no caso discutido anteriormente, a trajetória de mínima energia entre duas

órbitas elípticas é também uma elipse que as tangencia, como mostra a figura a seguir,

com o primeiro impulso ocorrendo no perigeu da elipse interna (1) e o segundo impulso

ocorrendo no apogeu da elipse externa (2).


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9

Para a elipse de transferência temos:

E utilizando as expressões da velocidade no perigeu e apogeu, temos:

+

+ Notamos aqui, que:

a) e então b)

e então


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10

c) Logo são necessários aumentos de velocidade nos pontos A e B.

O propelente necessário para efetuar a transferência e o incremento total de

velocidade são dados por (24) e (25).

O tempo de duração da transferência será:

6. Órbitas Elípticas, Coplanares não coaxiais

Podemos ter situações em que o plano das duas órbitas é o mesmo, mas as duas

elipses não se encontram com os eixos alinhados. Analisaremos dois casos, o primeiro

em que as duas elipses tem a mesma dimensão e o segundo em que as dimensões são

diferentes.

6.1.

Órbitas da mesma dimensão

Esta transferência está esquematizada na figura abaixo e a técnica utilizada para

se efetuar a transferência é aplicar no apogeu da órbita inicial (1) um impulso , porém em sentido contrário à velocidade, o que faz com que o satélite entre na órbita

(2).


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O raio da circunferência de transferência é e portanto:

Ou seja:

, - O incremento total de velocidade é dado por:

O gasto de propelente é dado por (16), com obtido de (28), e o tempo deduração da transferência será:

Isso pois o período da órbita circular é dado por:

6.2. Órbitas Elípticas de Diferentes Dimensões

Neste caso, a transferência deverá ser efetuada com 3 impulsos, em duas partes

distantes;

a) Para iniciar o processo de transferência, colocamos o satélite numa órbita

coaxial com a órbita desejada, através de uma órbita circular de raio b) Usamos então uma elipse de transferência para alcançar a elipse (2)

desejada. As possibilidades para se efetuar esta transferência são muitas e depende

dos parâmetros nominais de cada órbita.

Por exemplo, se temos , então uma sugestão seria fazer:


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13

O incremento total será dado por:

|| || O gasto total de combustível é dado por (16), onde é determinado por (33).O tempo de duração da transferência será:

√

√

7. Órbitas não coplanares, circulares, de mesma dimensão.

O caso mais simples de transferência não coplanar é aquele onde apenas a

inclinação da órbita existente é alterada.

Se a órbita inicial e final são inclinadas uma com relação à outra de um ângulo , como mostra a figura a seguir, então para efetuarmos a transferência se faznecessário a rotação do vetor velocidade de um ângulo , sem mudar, no entanto, suamagnitude.


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Para realizarmos essa manobra, uma velocidade incremental deve serimposta sobre o veículo, com o empuxo (impulsivo) orientado de um ângulo comrelação a órbita inicial, como mostra a figura abaixo:

Então:

Sabemos que existe uma relação entre altitude e energia necessária para se

executar a transferência. Na órbita circular, a velocidade diminui com altitude e portanto

a energia cinética necessária é tanto menor quanto maior a altitude. Contudo, a energia

potencial necessária aumenta com a altitude. Portanto, existe uma altitude ótima na quala soma dessas duas energias é mínima.

A idéia, portanto é primeiro colocar o satélite em uma elipse de transferência

antes de dar o impulso para alteração do plano. Assim, primeiramente é dado um

incremento de velocidade na órbita circular (1) para o satélite entrar na elipse detransferência. Quando o satélite chegar ao apogeu desta elipse, o incremento paramudança de plano é realizado. Este incremento

só gira o vetor velocidade no

apogeu, com seu módulo permanecendo constante, de tal modo que o satélite alcança o


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15

perigeu da elipse de transferência com a velocidade original , no sentido contrário aodado no início da transferência, para recolocar o satélite na órbita circular (2).

Assim para elipse de transferência temos o raio do perigeu igual ao raio de

circunferência e o raio do apogeu precisa ser determinado (sendo que ).Os incrementos de velocidade serão:

Ou ainda:

[

]

[

]

É necessário, portanto determinar o raio do apogeu. Para isto vamos utilizar oincremento total de velocidade :


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|| Ou seja

* * 0 * 1 Isso, pois (37) e (38) podem ser re-escritas como:

* *

* * * * Diferenciando a expressão (39) com relação a , obtemos:

* * *

A transferência ótima ocorrerá quando a energia gasta for mínima, isto é,quando:

Assim da equação (40) temos:

* De onde

Da expressão (41), podemos ver que

quando

e

quando

. Dessas observações temos, que não é conveniente utilizar esta técnica de


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17

transferência quando a mudança de inclinação da órbita for menor que 39° e nem maior

que 60°.

Fora deste intervalo, a manobra de transferência é feita simplesmente mudando a

inclinação do plano do movimento, no ponto de intersecção das duas órbitas.

8. Órbitas Circulares não coplanares de diferentes raios

A técnica utilizada, neste caso é similar a discutida no item anterior, com

exceção que no apogeu da elipse de transferência um incremento adicional de

velocidade é necessário para que o satélite tenha altitude do perigeu coincidente com aaltitude da órbita circular final.

Utilizamos, portanto duas elipses de transferência:


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Para iniciar a manobra de transferência, ao satélite é dado um incremento de

velocidade para colocá-lo na primeira elipse. Este incremento é dado por:

. ⁄

⁄/

./ 0 . /1

No apogeu desta elipse é necessário aplicar dois novos incrementos de

velocidade, o primeiro, , para girar o vetor velocidade de um ângulo , sem mudara magnitude:

* 0

.

/1 Ou ainda:


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. / 0 . /1

Quando a inclinação requerida da órbita for alcançada, o módulo da velocidade

deve ser aumentado de modo tal que aumente o eixo maior da elipse e isto faz com que

a altitude do perigeu da segunda elipse alinhe-se com altitude da órbita final. Este

segundo incremento é dado por:

. ⁄ /

. ⁄ /

Ou ainda:

. / 0 . /1

. / 0 . /1

Com satélite na segunda elipse de transferência e no plano da órbita circular (2),

quando ele atingir o perigeu desta segunda elipse, outro incremento de velocidade é dado para que entre na órbita circular (2), ou seja:

0 1 0 . /1

O incremento total de velocidade é dado por:

|| que com as expressões (42), (43), (44) e (45) nos leva à:


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20

01 0 . /1

. / *

./

0 . /1

. / Diferenciando a equação (46) com respeito à temos:

2 . /3 2 . / 3

2 . /3

. / Se igualarmos a expressão (47) à zero, obtemos o valor de

para o qual temoso mínimo valor de , ou seja o mínimo gasto de combustível e de energia.

A fim de ilustrar o intervalo de valores de inclinação orbital para as quais évantajoso o uso deste método de transferência, construiu-se o gráfico (dado a seguir) de

. Podemos notar que:a) Se

cresce então o limite inferior de para este método diminui; b) Se

aumenta, o intervalo de diminui, ou seja, para altos valores de o intervalo de para o qual o método é aplicável é muito pequeno;c) Se então recaímos no caso do item 7, com na faixa de 39° à

60°;

d) Em casos em que tende para o infinito, a trajetória requerida seria

uma parábola, portanto impraticável.

Quando a inclinação

, entre os planos, está fora do intervalo determinado por

, a transferência deve ser através de uma mudança entre duas órbitas circulares


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de diferentes dimensões (estudada no item 3) e uma mudança no plano entre duas

órbitas circulares de mesma dimensão (item 7).

Variação de Mudança de Inclinação Orbital para Transferência ótima entre órbitas

circulares de diferentes raios (Ball & Orbone)

9.

Órbitas Elípticas, não coplanares, de mesma dimensão

Quando as órbitas são elípticas, mas não coplanares temos três casos a serem

considerados:

a) O caso mais simples é quando a linha axial (eixo principal da elipse) das

duas elipses são coincidentes com a intersecção dos planos.

b) Quando apenas a linha axial de uma das elipses coincide com a

intersecção dos planos.


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c) Quando a linha axial das duas elipses não coincide com a intersecção dos

planos.

Um estudo para se minimizar a energia gasta nas transferências, pode ser

realizado em cada caso, do mesmo modo que no item anterior, através da análise da

variação do incremento total de velocidade com o raio do apogeu da elipse de

transferência.

No entanto, aqui daremos apenas exemplos de como estas transferências

poderiam ser feitas, sem nos preocuparmos com o consumo de energia.

9.1. Órbitas Elípticas não Coplanares, Coaxiais, com a linha axial coincidente

com a intersecção dos planos orbitais.

Uma idéia seria apenas aplicar o incremento para alterar o plano orbital, noapogeu da órbita inicial. Ou seja:

9.2. Órbitas Elípticas não coplanares, mas com a linha axial de uma das elipses

coincidente com a intersecção dos planos.

Neste caso é necessário, além da alteração do plano, a partir da órbita inicial,

também alterar a linha axial.

Consideremos que primeiramente foi feita uma alteração no plano, a partir do

apogeu da órbita inicial (1) com dado por:

Após a inclinação da órbita ter sido alcançada, um incremento de velocidade para corrigir a linha axial se faz necessário, utilizando uma circunferência de

transferência de raio , isto é:


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Para o satélite permanecer na órbita (2), quando ele atingir a linha axial de (2) é

necessário aplicar um segundo incremento

, contrário ao primeiro de modo tal que o

incremento total de velocidade é dado por:

|| ||

9.3. Órbitas elípticas não coplanares, com as linhas axiais não coincidentes com a

intersecção dos planos

Agora, primeiramente é necessário colocar o satélite na linha de intersecção dos

planos com um incremento de velocidade no apogeu da 1ª elipse:

Quando o satélite atingir a linha de intersecção dos planos um impulso paraalteração dos planos deve ser dado:

Com a alteração de plano realizada, o satélite continua na órbita circular de

transferência e ao atingir a linha axial dada segunda órbita, um incremento , opostoao anterior, deve ser aplicado para o satélite entrar na órbita 2.

O incremento total de velocidade será:

|| ||

10. Órbitas Elípticas, não coplanares, de diferentes dimensões

Este é o caso mais geral, onde as órbitas são elípticas, de diferentes dimensões

em planos com diferentes inclinações e com os eixos axiais não coincidentes com a

intersecção dos planos.


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Aqui teremos que efetuar várias etapas de transferências:

1) Colocar a linha axial da órbita (1) no plano de intersecção dos planos.

Para isso, no apogeu da órbita (1) damos um incremento , colocando osatélite em uma órbita circular de raio :

Quando o satélite atingir a intersecção dos planos, este incremento deve ser

retirado.

2) Mudança de Planos

Ao atingir a intersecção dos planos, um outro incremento pode ser dado paraalterar o plano, ou seja:

Onde é a inclinação entre os planos.

3) Alteração na dimensão da órbita

Com a alteração de plano realizada, o satélite continuará em uma elipse de

dimensões iguais à (1), mas no plano da órbita (2). Quando alcançar o perigeu desta

elipse, então podemos das um incremento para alteração de dimensões, através de umaelipse de transferência, tal que:

(Para

)

Os incrementos serão:


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Existem outras possibilidades de transferências que podem ser realizadas,

dependendo de quais parâmetros sejam considerados mais importantes (menor gasto de

combustível ou menos tempo).

11. Encontro de Veículos Espaciais

11.1. Introdução

Neste item estudaremos o problema de encontro (rendezvous) entre dois

veículos espaciais, no qual é necessário que o instante de suas chegadas em um ponto

pré-determinado do espaço seja o mesmo para os dois veículos considerados.Chamaremos de “interceptador” o veículo a ser transferido e de “alvo” o veículo a ser

interceptado.

Analisaremos aqui as técnicas que devem ser aplicadas no caso particular de

encontro de veículos que estejam inicialmente em órbitas circulares, não coplanares e de

raios diferentes, com a restrição de que o veículo alvo está orbitando em uma órbita

mais alta que a do veículo interceptor. As técnicas necessárias para outros casos deverão

acompanhar o estudo de transferência estudado nos itens anteriores, tomando-se o

cuidado para que os dois veículos espaciais estejam no mesmo ponto do espaço em um

mesmo instante de tempo.

Há várias maneiras de se completar essa manobra de encontro entre dois

veículos e aqui analisaremos três métodos que, segundo Ball & Osborne, são os mais

adequados. A escolha do método a ser aplicado dependerá das circunstâncias

particulares envolvidas.

11.2. Método Direto Interno

Suponhamos que o veículo alvo esteja em uma órbita circular de raio , sendoque a órbita está inclinada de um ângulo com relação a órbita do interceptador.


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Quando o interceptor cruzar a linha dos nodos (interseção entre os dois planos

orbitais), este receberá um impulso para girar seu vetor velocidade e colocá-lo no plano

da órbita do veículo alvo, de tal forma que ambas as órbitas se tornem coplanares.

A fase seguinte inicia-se no ponto A, onde o alvo até adiantado do interceptador

de um ângulo pré-determinado , como mostra a figura abaixo:

No ponto A, o interceptador recebe um incremento impulsional de velocidades,

que causa a entrada na elipse de transferência (t), a fim de atingir o ponto B no mesmo

instante que o alvo.

Para completar o “rendezvous”, a velocidade do interceptador deve agora ser

aumentada, a fim de possibilitar a entrada na órbita do veículo alvo, igualando assimsuas velocidades.

O incremento total de velocidade será então:

|| Onde :


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Para viajar de A para B, o interceptador descreve uma semi-elipse t, sendo que o

tempo gasto para tal é dado pela expressão:

√

*

O tempo correspondente para o veículo alvo se mover radianos é: √

A fim de que ambos os veículos se encontrem em B no mesmo instante,

devemos ter:

Portanto substituindo (53) e (54) em (55), obtemos:

{

[

*]

}

O valor de θ dado em (56), é o valor necessário para dar início ao processo de

transferência que levará ao “Rendezvous” entre dois veículos.

11.3. Métodos Direto Externo

O “Rendezvous” descrito por este método é similar ao processo de transferência descrito no item 8.


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Quando o interceptador cruza a linha dos nodos em A, sua velocidade é

impulsivamente aumentada para colocá-lo em uma primeira elipse de transferência ()com o apogeu em C (ver figura baixo).

No ponto C, as órbitas do alvo e do interceptador são alinhadas e a velocidade

deste é incrementada para colocá-lo na segunda elipse de transferência (

), cujo

perigeu é o próprio ponto de “rendezvous” B. Por fim, em B, o interceptador é posto naórbita circular final e o “rendezvous” é completado. Quando a manobra é iniciada, o

alvo está atrasado com respeito ao interceptador de um ângulo , como mostra a figuraà seguir.


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O incremento total de velocidade requerido para completar o processo é:

|| || || || Onde:

O tempo total gasto para o interceptador ir de A até B é dado por:

√ * * O alvo para chegar no ponto B dispende um tempo:

√

Para que se dê o “rendezvous”, os tempos expressos pelas equações (57) e (58)

devem ser iguais, de modo que o valor do ângulo para se iniciar o processo é dado por:

* *


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O valor ótimo de pode ser obtido por um processo similar ao apresentado noitem 8 e como já foi discutido anteriormente, este processo é valido apenas para .

11.4. Método Indireto

Este método é chamado indireto pois utiliza uma órbita intermediária entre o

alvo e o interceptador, na qual o interceptador permanece até que o alvo se encontre na

posição correta para o rendezvous se inicie.

Um incremento impulsivo de velocidade é dado ao interceptador no ponto A(ver figura abaixo), sobre a linha dos nodos, para colocá-lo numa órbita elíptica de

transferência e no apogeu (B) desta é feita a correção dos planos e dado umincremento de velocidade para o interceptador entra em uma órbita circular

intermediária, coplanar com a trajetória do alvo.

Nesta órbita intermediária o interceptador esperará o veículo alvo até estarem

defasados de um ângulo , quando então o redezvous é completado por meio de umasegunda elipse de transferência , como descrito no Método Direto Interno.


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O incremento de velocidade total requerido para redezvous é:

|| || || || || Sendo:


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O ângulo que irá determinar a posição relativa entre o alvo e o interceptor é

obtido igualando o tempo gasto pelo interceptador ir de C à D com o tempo gasto pelo

alvo ir de E à D, ou seja:

0 . /1

Este método apresenta uma maior precisão que os outros dois anteriores, pois o

processo de “rendezvous” é associado apenas à 2ª fase da transferência entre as duas

órbitas, sendo que a órbita intermediária já é coplanar com a órbita do alvo. O valor de é escolhido de modo que a precisão do estágio final seja a melhor possível. Outravantagem deste método sobre os demais é que os erros introduzidos para se atingir a

órbita intermediária podem ser avaliados e corrigidos para se atingir a órbita

intermediaria podem ser avaliados e corrigidos enquanto o interceptador aguarda a

posição para entrar na elipse de transferência (atrasado de com respeito ao alvo).Além disso, este princípio de órbita intermediaria pode ser estendido aos casos

em que temos limitações de ângulos, como visto no item 8. A decisão de usá-lo ou não,

depende de cada caso em particular e de suas alternativas.

11.5. Comentários Finais sobre o Problema de “Rendezvous”.

O problema de “rendezvous” se resume em obter os tempos gastos pelos dois

veículos para atingirem um determinado ponto na órbita original do veículo alvo. Comoo tempo gasto para o veículo alvo atingir o ponto de encontro é função do ângulo de

defasagem entre ele e o interceptador, temos daí a condição de início do conjunto de

manobras. Nosso objetivo então, é determinar o ângulo inicial e o incremento total develocidade que proporcione o “rendezvous” completo, com o qual podemos obter o

peso total do propelente consumido utilizando a eq. (18).


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