Captulo3VECTORESMAGNITUD VECTORIALEs aquella magnitud que aparte de conocer su valor numrico y su unidad respectiva, es necesario conocer tambin la direccin y sentido para que as dicha magnitud logre estar perfectamente determinada. Veamos un ejemplo sencillo:Si una persona desea disparar una flecha al blanco, ella debe conocer la fuerza(mdulo) mnima que debe aplicar a la flecha para que sta se incruste en el tablero;pero supongamos que a dicha persona despus de conocer la distancia de ella al blanco, le tapan los ojos. Sabr a donde apuntar?, la respuesta es no, pues conocer cuanto debe tirar de la cuerda pero no sabr hacia donde. Qu falta? le falta la ubicacindel blanco (direccin y sentido). Queda demostrado entonces que la fuerza es unamagnitud vectorial, pues a parte del valor y unidad respectiva, se necesita la direccin y sentido.VECTOREs un segmento de lnea recta orientada que sirve para representar a las magnitudes vectoriales.r A = A ; se lee vector Ar A = A = A ; se lee: Mdulo del vector A

42Jorge Mendoza DueasELEMENTOS DE UN VECTOR: A) Punto de aplicacin.- Est dado por el origen del vector.D)Vectores igualesSon aquellos vectores que tienen la misma intensidad, direccin y sentido.B)Intensidad, mdulo o magnitud.- Es elvalor del vector, y generalmente, est dado en escala. ejm. 5 unidades de longitudequivale a 5 N (si se tratse de fuerza).A y B sonigualesC) D)Sentido.- Es la orientacin del vector. E) Direccin.- Est dada por la lnea de accindel vector o por todas las lneas rectas paralelas a l.Vector opuesto ( A )Se llama vector opuesto ( A ) de un vector A cuando tienen el mismo mdulo, la misma direccin, pero sentido contrario.ALGUNOS TIPOS DE VECTORES: A) Vectores colinealesSon aquellos vectores que estn contenidos en una misma lnea de accin.A, B y C son colinealesA y A son vectores opuestos entre sB)Vectores concurrentesSon aquellos vectores cuyas lneas de accin, se cortan en un solo punto.PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALARCuando un vector se multiplica por un escalar, resulta otro vector en la misma direccin y de mdulo igual a tantas veces el escalar por el mdulo del vector dado. Ejemplos.A, B y C son concurrentesC)Vectores coplanaresSon aquellos vectores que estn contenidos en un mismo plano.4 unidades 2 unidades 8 unidadesA, B y C son coplanares

Vectores43OPERACIONES VECTORIALESADICIN DE VECTORESSumar dos o ms vectores, es representarlos por uno slo llamado resultante. Este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmticaB)Mtodo del TringuloVlido slo para dos vectores concurrentes y coplanares. El mtodo es el siguiente. Seunen los dos vectores uno a continuacin del otro para luego formar un tringulo, el vector resultante se encontrar en la lnea que forma el tringulo y su punto de aplicacin concidir con el origen del primer vector.R = A+B+C+DR = A+BC)Mtodo del PolgonoVlido slo para dos o ms vectores concurrentes y coplanares. El mtodo es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuacin del otro para luego formar un polgono, el vector resultante se encontrar en la lnea que forma el polgono y su punto de aplicacin coincidir con el origen del primer vector.ADICIN DE VECTORES - MTODO GRFICO A) Mtodo del ParalelogramoEste mtodo es vlido slo para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar laresultante se une a los vectores por el origen (deslizndolos) para luego formarun paralelogramo, el vector resultante se encontrar en una de las diagonales, y su punto de aplicacin coincidir con el origen comn de los dos vectores.R = A+B+CEn el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del ltimo,el vector resultante es nulo; y al sistema se le llama polgono cerrado .R = A+BR = A+B+C+D+E=0

44 OBSERVACIONES En la adicin de vectores se cumplen varias propiedades, stas son:Jorge Mendoza DueasB)Suma de Vectores Concurrentes y CoplanaresEn este caso el mdulo de la resultante se halla mediante la siguiente frmula.Propiedad ConmutativaA+B=B+AR =A2 + B2 + 2AB cos Propiedad AsociativaA+B+C= A+B +C=A+ B+CdidiADICION DE VECTORES - MTODO ANALTICO A) Suma de Vectores ColinealesEn este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los mdulosde los vectores, teniendo en cuenta la siguiente regla de signos. La direccin del vector resultante se halla mediante la ley de senos.R A B = = sen sen sen CASO PARTICULARSi: = 90 R = A2 + B 2Ejemplo: Determinar la resultante de los siguientes vectores:Sabiendo: A = 4 ; B = 3 ; C = 3 ; D = 1 Solucin:R=A+B+C+DRESULTANTE MXIMA Y MNIMA DE DOS VECTORES Resultante MximaDos vectores tendrn una resultante mxima cuando stos se encuentren en la misma direccin y sentido ( = 0).Teniendo en cuenta la regla de signos:R = 4 3 3 + 1 R = 1El signo negativo indica que el vector est dirigido hacia la izquierda.Rmax = A + B

Vectores45D=AB D = A2 + B2 + 2AB cos 180 Result nte MnimaDos vectores tendrn una resultante mnima cuando stos se encuentren en la misma direccin; pero en sentidos contrarios ( = 180).

bgD =A2 + B2 2AB cos Rmn = A BSUSTRACCIN DE VECTORES A) Mtodo del TringuloEn este caso se unen los dos vectores por sus orgenes y luego se unen sus extremos, el vector D ser el vector diferencia.COMPONENTES DE UN VECTORSe denominan componentes de un vector a todos aquellos vectores que sumados porel mtodo del polgono, dan como resultado un determinado vector. Hay que tomar en cuenta que un vector puede tener infinitas componentes.A+B+C+D=R A ,B ,C yD son componentes del vector RCOMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTORSon aquellos vectores componentes de un vector que forman entre s un ngulo de 90.A = Ax + Ay Ax = A cos Ay = Asen D=ABD=BAB)Mtodo del ParalelogramoEn este caso se invierte el sentido del vector que est acompaado del signo negativo; y luego se sigue el mismo procedimiento para adicin de vectores por el mtodo del paralelogramo.UNITARIO VECTOR UNITARIOEs un vector cuyo mdulo es la unidad y tiene por misin indicar la direccin y sentido de un determinado vector. A dicho vector se le llama tambin versor.u=A Au = vector unitario de A

46Jorge Mendoza DueasVERSORES RECTANGULARESSon aquellos vectores unitarios que se encuentran en los ejes coordenados rectangulares.i -i j -jSUMA DE VECTORES POR EL MTODO RECTANGULARES DE COMPONENTES RECTANGULARESPara hallar la resultante por este mtodo, se sigue los siguientes pasos: 1.2.3.Sedescomponen los vectores en sus componentes rectangulares. Se halla la resultante en el eje x e y (Rx , Ry ), por el mtodo de vectores colineales. El mdulo del vector resultante se halla aplicando el teorema de Pitgoras.R = R2 + R 2 x y: : : :Vector unitario en el eje x (positivo). Vector unitario en el eje x (negativo).Vector unitario en el eje y (positivo). Vector unitario en el eje y (negativo).Ejemplo: En el sistema de vectores mostrado en la figura. Hallar el vector resultante y su mdulo. Ahora tendremos:A = Ax + Ay A = 30 B = 15C = 10A = Ax i + Ay jEjemplo de aplicacin: En el sistema mostrado en la figura, expresar el vector A entrminos de los vectores unitarios rectangulares, sabiendo que su mdulo es de 30 unidades. Solucin: Por motivos didcticos, trabajaremos con nmeros.Rx = 15cos 37 30 cos 53 = 15 A = Ax + Ay A = Ax i + Ay jt tFG 4 IJ 30FG 3IJ H 5 K H 5K FG 4 IJ + 15FG 3IJ 10 H 5 K H 5KRx = 6 (hacia la izquierda) Ry = 30sen 53 + 15sen 37 10 = 30Ry = 23 (hacia arriba)FG 3IJ H 5K F 4I A = Asen 53 = 30G J H 5KAx = A cos 53 = 30y Ax = 18 Ay = 24R = 6 i + 23 j ; Ahora: R = 62 + 232R = 23,77A = 18 i + 24 j

Ciencia Vectoresy Tecnologa47La fuerza: un vectorLa fuerza es una magnitud vectorial, por tanto se representa mediante un vector.Ahora; sumar dos o ms vectores no implica necesariamente sumar sus mdulos, ello depender de la posicin en que se encuentren. En el presente caso, los vectores fuerzas son colineales por tal razn habr que aplicar el mtodo de vectores colineales para la determinacin del vector resultante.El vector desplazamientoEl desplazamiento es un vector: Si el objetivo fuese darle a la bola amarilla con la roja, esta ltima tendra que recorrer la distancia d; sin embargo podra elegirse tambin otros caminos convenientes en cuyos casos los vectores formados seran componentes del vector d ( d1 y d2 son componentes del vector d ).El tiempo - escalarEl tiempo, es considerado como magnitud escalar, pues slo necesitamos el valor yla unidad respectiva para tener la informacin completa. En realidad la investigacin sobre el tiempo es muy compleja y falta mucho por estudiarlo. Entonces: Tendr direccin y sentido el tiempo?

48Jorge Mendoza Dueas Ciencia y TecnologaLa velocidad - un vectorPara que el avin pueda desplazarse desde el punto A hasta el B, el piloto deber conocer las coordenadas de dichos puntos ya sea va radio o va satlite, lo cierto es que la obtencin de dichos datos no es problema. Conocidas las coordenadas de A y B, es fcil determinar el vector desplazamiento por donde deber recorrer el avin ( d).dSi el piloto dirige la velocidad del avin en la direccin del desplazamiento calculado, el viento se encargar de desviarlo.Para evitar que el avin se desve, ser necesario conocer la direccin del viento y mediante el mtodo del paralelogramo determinar la direccin que hay que imprimir al aparato para que su velocidad resultante se dirija en la direccin del desplazamiento deseado.En realidad la direccin del viento puede cambiar, para lo cual el piloto deber estar alerta a ello y cambiar tambin la direccin de la velocidad del avin para as conservar la direccin de la velocidad resultante en la lnea del desplazamiento d . Estemismo principio se utiliza tambin en los barcos para la navegacin martima.