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Ángel Cuizara Cordova Topografía II
P R OBL EM A S DE L O S TR E S P U N TO S
P OT H EN O T
1.- OBJETIVOS
OBJETIVO ESPECÍFICO:
El objetivo principal de esta práctica es resolver el problema de los tres puntos o problema
de Pothenot mediante el método analítico y método grafico.
OBJETIVOS SECUNDARIOS:
Obtener los datos de campo suficientes para resolver el problema de los tres puntos en
gabinete.
Determinar los angulos faltantes (X, Y, Ѳ1 y Ѳ2).
Determinar los lados AP, BP y CP.
Determinar las coordenadas de los puntos B, C y P.
Determinar mediante solución grafica el problema de Pothenot.
2.- FUNDAMENTO TEÓRICO
El problema de Pothenot también conocido como problema de tres puntos se basa en la
posición de puntos referidos a una red de triangulación.
La ventaja de resolver el problema de pothenot es que ya se tiene ángulos conocidos como
ser los lados de la red y los ángulos internos de dicha red.
Este procedimiento es aplicable especialmente cuando el punto por situar está muy alejado
de los puntos conocidos o estando cerca las medidas de las distancias a esos puntos
conocidos son difíciles de hacer o resultan imprecisas por obstáculos en el terreno.
Se entiende por problema de tres puntos o Pothenot a la forma metodológica de determinar
el posicionamiento de cualquier punto que esté dentro del área circundante del
levantamiento topográfico realizado en base a una triangulación.
Con frecuencia se presenta en los trabajos topográficos la necesidad de establecer las
coordenadas exactas de un punto en el área de levantamiento, por ello el problema de
Pothenot es útil en la resolución rápida y exacta del posicionamiento de cualquier punto.
Ángel Cuizara Cordova Topografía II
M E T O D O S D E R E S O L U C I Ó N D E L P R O B L E M A D E T R E S
P U N T O S
E x i s t e n d o s m é t o d o s :
- Solución Analítica
- Solución Grafica
a) SOLUCION ANALITICA
Es el que se utilizó en la práctica y consta de los siguientes pasos:
Se ubica los lados de apoyo de la red de triangulación que van servir para resolver el
problema, determinando los tres vértices consecutivos de apoyo.
Ubicar exactamente el punto P en la posición que se desea determinar respecto a la red de
triangulación.
Haciendo estación en el punto P y trazando alineamientos en los vértices de apoyo se
forman dos direcciones desconocidas que se denominan alfa y beta cuyos valores los
debemos determinar en campo siguiendo uno de los métodos conocidos el de reiteración y
repetición y cinco lecturas como mínimo para cada ángulo.
Se realiza el procedimiento en gabinete que consta de los siguientes puntos:
Ángel Cuizara Cordova Topografía II
El método analítico establece dos ecuaciones normales que son:
Ambas ecuaciones tienen variables conocidas y determinadas previamente como incógnitas
tienen los valores X y Y, que se obtienen de la resolución del sistema de dos ecuaciones.
Además podemos hacer una comprobación utilizando la siguiente relación:
Una vez realizado la comprobación se procede a resolver el cálculo de la distancias (AP, BP
y CP) aplicando el teorema de los senos del se tiene las siguientes relaciones.
b) SOLUCION GRAFICA
METODO GRAFICO:
Este método se lo utiliza para resolver el problema de Pothenot, mediante una grafica; este
método es mucho más directo pero menos preciso y se toma en cuenta los siguientes
aspectos para su resolución:
X + y = m
X - Y = 2 arc tag · ( )
2
Ѳ 1 + Ѳ 2 = μ
2
=
=
=
=
=
=
Ángel Cuizara Cordova Topografía II
- PARA ALFA Y BETA MENORES DE 90º (α<90º; β<90º)
-
Si α < 90º 90º – α; el punto 0 está
por debajo de la línea AB.
Si β < 90º 90º – β; el punto 0 está
por debajo de la línea BC.
Primeramente se observa si los Angulos α y β son menores a 90º, en ese caso se resta 90º - α
y 90º - β, por consiguiente se procede a trazar una línea que inicia del punto A y B y en el
otro extremo B y C, con una inclinación del Angulo obtenido de la resta de 90º - α y 90º - β
y de la intersección entre las dos rectas se obtiene un punto O que es el centro de la
circunferencia tanto para la recta AB, como para la recta BC, el punto donde se intersectan
las dos circunferencias se lo llama punto P.
Después de realizar todo este proceso se procede a determinar con un escalimetro la
distancia AP, BP y CP. Y con un transportador se hallan los angulos X, Y, Ѳ1 y Ѳ2.
- PARA ALFA Y BETA MAYORES DE 90º (α>90º; β>90º)
Si α > 90º α – 90º; el punto 0 está por
encima de la línea AB.
Si β > 90º β – 90º; el punto 0 está por
encima de la línea BC.
Primeramente se observa si los Angulos α y β son mayores a 90º, en ese caso se resta α–90º
y β–90º, por consiguiente se procede a trazar una línea que inicia del punto A y B y en el
otro extremo B y C, con una inclinación del Angulo obtenido de la resta de α–90º y β–90º y
de la intersección entre las dos rectas se obtiene un punto O que es el centro de la
circunferencia tanto para la recta AB, como para la recta BC, el punto donde se intersectan
las dos circunferencias se lo llama punto P.
Ángel Cuizara Cordova Topografía II
Después de realizar todo este proceso se procede a determinar con un escalimetro la
distancia AP, BP y CP. Y con un transportador se hallan los angulos X, Y, Ѳ1 y Ѳ2.
CASOS ESPECIALES:
Ángel Cuizara Cordova Topografía II
3.- MEMORIA DE LA PRÁCTICA
3.1 MATERIALES
Estación total Leica.
Dos prismas.
Una Brújula.
Estacas.
Tachuelas.
3.2 PROCEDIMIENTO DE LA PRÁCTICA
Ubicamos los puntos A, B, C y P.
Instalamos la estación total Leica en el punto B, para leer el Angulo μ, lecturando
cinco veces como mínimo.
Luego se procede a lectura de las distancias AB y BC, utilizando la estación total.
Cambiar la estación total al punto P para leer los angulos α y β, este procedimiento
se realiza cinco veces para cada Angulo leído.
Después se llevo a cabo el trabajo de gabinete.
3.3 TRABAJO DE GABINETE
a) Solución analítica
Datos
AB = 71,258m
BC = 45,791m
α = 49º29º19,6º
β = 28º35º29,6º
μ = 95º47º49,8º
Az AB = 183º
Incógnitas
X, Y, Ѳ1, Ѳ2
AP, BP, CP
Coordenadas
B, C y P
Ángel Cuizara Cordova Topografía II
Nº μ α β Distancia
AB (m)
Distancia
BC (m)
1 95º47º42º 49º29º47 28º32º22º 71,259 45,796
2 95º43º30º 49º28º47º 28º35º52º 71,258 45,791
3 95º50º16º 49º29º01º 28º35º57º 71,258 45,791
4 95º48º12º 49º29º22º 28º36º62º 71,26 45,788
5 95º49º29º 49º29º41º 28º37º15º 71,256 45,791
∑ 95º47º49,8º 49º29º19,6º 28º35º29,6º 71,258 45,791
m=360º - ( + + )
m = 360º - (49º29º19,6º + 28º35º29,6º + 95º47º49,8º)
m = 186º7º21º
n =
n =
n =
n = 95º43º13,57º
( ) = ( ) = = - 0º11º35,98º
X + Y = 186º7º21º
X – Y = 2 arc tag · (- 0º11º35,98º)
X + Y = 186º7º21º
X – Y = -21º53º1,14º
2X = 164º14º19,8º
X = 82º7º9,93º
X – Y = -21º53º1,14º
Y = X + 21º53º1,14º
Y = 104º0º11,07º
Ángel Cuizara Cordova Topografía II
180º = Ѳ1 + X + α
Ѳ1 = 180º - 82º7º9,93º - 49º29º19,6º
Ѳ1 = 48º23º30,47º
180º = Ѳ2 + Y + β
Ѳ2 = 180º - 104º0º11,07º - 28º35º29,6º
Ѳ2 = 47º24º19,33º
COMPROBACION
Ѳ1 + Ѳ2 = μ
48º23º30,47º + 47º24º19,33º = 95º47º49,8º
95º47º49,8º = 95º47º49,8º
b) CALCULO DE LADOS
=
= => AP = 71,258 * => AP = 70,079m
=
= => BP = 71,258 * => BP = 92,841m
=
= => CP = 45,791 * => CP = 70,439m
Ángel Cuizara Cordova Topografía II
c) CALCULO DE COORDENADAS
N = 1800
A
E = 1900
ΔN = 71,258 * cos 3º0º0º = 71,160
ΔE = 71,258 * sen 3º0º0º = 3,729
N = 1800 - 71,160 = 1728,840
B
E = 1900 - 3,729 = 1896,271
ΔN = 45,791 * sen 2º47º49,8º = 2,235
ΔE = 45,791 * cos 2º47º49,8º = 45,736
N = 1728,840 - 2,235 = 1726,605
C
E = 1896,271 - 45,736 = 1850,534
ΔN = 70,079 * sen 4º52º50º07º = 5,962
ΔE = 70,079 * cos 4º52º50º07º = 69,825
N = 1800 - 5,962 = 1794,038
P
E = 1900 - 69,825 = 1830,175
Ángel Cuizara Cordova Topografía II
5.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Podemos decir como conclusión que llegamos a resolver el problema de los tres vértices o
problema de Pothenot con gran éxito, empleando los métodos dados en clase.
Esta práctica fue de fácil aplicación y podemos decir que es una buena forma de resolver el
problema que se nos puede presentar en una red de triangulación de un proyecto, aplicando
los conceptos básicos y métodos ya vistos en anteriores prácticas tanto así como la presente
practica.
Para realizar un mejor trabajo se recomienda realizar la práctica en un terreno plano y
ubicar los puntos en lugares visibles, tratando de realizar las lecturas con la mayor precisión
posible. Teniendo en cuenta que se debe de nivelar nuestra estación correctamente y al
momento de lecturar los angulos y distancias tratar de sujetar el prisma nivelando con el ojo
de pollo.
6.- BIBLIOGRAFIA
Apuntes en clase.
http://es.wikipedia.org
www.monografias.com
Ángel Cuizara Cordova Topografía II