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1

.lineales

en series de potencias

( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

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2

Repaso de Series de Potencias

Recuerda de clculo que una serie depotencias en (x a) es una serie dela forma

Se dice que es unaserie de

potencias centrada ena.

+++=

=

2

2100

)()()( axcaxccaxcn

n

n

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3

La serie converge

si existe el siguiente lmite de las sumas

parciales: Intervalo de convergencia

Es el conjunto de nmeros realesxointeralo para los que la serie conerge!

Radio de convergenciaSi R es el radio de conergencia" la seriede potencias conerge para #x a#< R $dierge para #x a#> R. Si R % & la serieconerge solo para x % a! ' si la serieconerge para todo x" entonces escriimosR % )!

= = N

n

n

nNNN axcxS 0 )(lim)(lim

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Ch5_4

Convergencia absoluta*entro de su interalo de conergencia" unaserie de potencias conerge asolutamente! Es

decir" la siguiente serie conerge:

Prueba de convergencia (criterio del

cociente) Suponiendo cn&para todon" $

Si L + 1"la serie conerge asolutamente, si L- 1"la serie dierge, $ si L % 1"el criterio no esconclu$ente!

= 0 |)(|n nn axc

Lc

c

axaxc

axc

n

n

nnn

n

n

n ==

+

++

1

1

1

lim||)(

)(

lim

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.

Funcin analtica en un punto/na funci0n f(x) es analtica en un puntoa, si se puede representar mediante unaserie de potencias en (x a)con un radio

de conergencia positio! or ejemplo:

++=

+=+++=

!6!4!21cos

!5!3sin,

!2!11

642

532

xxxx

xxxx

xxex

Una serie de potencias dene una !uncin cu$o dominio es el interalo de conergencia de laserie" donde es continua" deriale e integrale:

)1()(",)('2

2

1

1

=

= ==

n

n

n

n xnnxyxnxy

==

0)(

n

n

nxcxy

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"rit#$tica de series de potencias

as series de potencias se puedencominar mediante operaciones desuma" resta" multiplicaci0n $ diisi0n!

++=

+ ++ ++ +++=

+

+++++=

303

24

1

12

1

120

1

6

1

6

1

2

1

6

1)1()1(

5040120624621

sin

532

5432

753432

xxxx

xxxxx

xxxx

xxxx

xe

x

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7/45Ch5_7

Escriir comouna sola serie de potencias (i!e!" ajo el mismosumatorio4!

Solucinrimero" uscamos que amos sumatorios comiencen porla misma potencia:

56ora cuando sustituimos el primer alor de n en amossumatorios" las series comien7an potenciasx1! 8aciendolos camios de ndice k = n 9 2para la primera serie $ k= n 1para la segunda serie:

=+

= +

01

22

)1(n

nnn

nn xcxcnn

=

=

=

=

++ ++=+2 0 3 0

120

2

12 )1(12)1(n n n n

n

n

n

n

n

n

n

n xcxcnnxcxcxcnn

=

=+ ++++

1 1122 )1)(2(2

k k

kk

kk xcxckkc

=+ ++++= 1

122 ])1)(2[(2k

k

kk xcckkc

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;

Supongamos la E* lineal

que podemos escriir como

0)()()( 012 =++ yxayxayxa

0)()( =++

yxQyxPy

Se dice que un puntox&es unpunto ordinario o regu

de la E* si P(x) $ Q(x)son analticas enx&; es decir siadmiten desarrollos en serie de potencias alrededor de

/n punto que no es un punto ordinario es unpunto

singular.

DEFINICIN

Si P(x) $ Q(x) son cocientes de polinomios: P(x) =a1(x4

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=

>ada una de las dos soluciones linealmenteindependientes en serie de potencias conergerpor lo #enosdentro del interalo de?nido por #x x< R, donde Res la distancia desdex& 6astael punto singular ms pr0ximo de la E*@!

Six = x&es un punto ordinario o regular" siempre es

posile 6allar dos soluciones linealmente independiente

en forma de series de potencias centradas enx:

TEOREMAExistencia de solucionesen series de potencias

= = 0 0 )(n nn xxcy

ordinarios

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1&

Resoler

SolucinAo tenemos puntos singulares! odemos uscar

soluci0n en serie alrededor de cualquier punto porquetodos son regulares! En particular" lo 6aremos parax= .

$

Sustitu$endo en la E* otenemos:

0" =+xyy

== 0)( nn

nxcxy

== 2 2)1()(" n nnxcnnxy

=

+

=

=

=

+=

+=+

0

1

2

2

2 0

2

)1(

)1(

n

nn

n

nn

n n

n

n

n

n

xcxnnc

xcxxnncxyy

P(x) % &" Q(x) % x

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11

@tuimos esta suma de series en elejercicio anterior

ara que la identidad se cumpla esnecesario que todos los coe?cientes sean

cero: 2c2% &, c2% & $

uesto que (k 14(k 24 &" otenemosla siguiente relaci0n de recurrencia:

= + =++++=+ 1 122 0])2)(1[(2 kk

kk xcckkcxyy

,3,2,1,0)2)(1( 12 ==+++ + kcckk kk

,3,2,1,

)2)(1(

12 =

++

= + k

kk

cc kk

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12

Bomando alores de C $ recordando que c2%

&:,1=k

32

03

cc =

,2=k43

14

cc =

,3=k 054

25 ==

cc

,4=k0

36

6532

1

65c

cc

==

,5=k 147 76431

76ccc

==

,6=k 0875

8 ==

c

c

,7=k0

69

986532

1

98c

c

c

==

,8=k 17

101097643

1

109c

c

c

==

,9=k 011108

11 ==

c

c

(....)

,3,2,1,)2)(1(

12 =++

= + kkk

cc kk

Observa qe !odos "os #oe$i#ie%!es de&e%de% o de #0, o de #'.

e he#ho, si #0 #'%o qeda% i%de!ermi%ados es qe hemos

me!ido "a *amba e% a"*+% si!io.

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13

Entonces las dos soluciones linealmente independientesen serie de potencias son:

)()(....07643

65320

43320)(

110071

604130100

xycxycxc

xc

xc

xc

xccxcxyn

n

n

+=+++

++

++== =

=

+

+

+=

++=

1

13

1074

1

)13)(3(43

)1(

1097643

1

7643

1

43

11)(

k

kk

xkk

x

xxxxy

=

+=

++=

1

3

9630

)3)(13(32

)1(1

9865321

65321

3211)(

k

kk

xkk

xxxxy

es!ra so"#i-% era

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1D

@sera que si 6acemos primero c&% 1 $ c1% &"(recordando que en este caso particular adems c2%&4"

otenemos directamente los coe?cientes del desarrollo

de $&(x4! ' 6aciendo c&% & $ c1% 1" otenemosdirectamente los coe?cientes del desarrollo de $1(x4!

Repite el clculo anterior desde el principio" utili7andoesta estrategia!

,3,2,1,)2)(1(

12 =++

= + kkk

cc kk

/a %a ma%era a"*o me%os !rabaosa de rea"izar e"

#1"#"o a%!erior &ara e%#o%!rar "os #oe$i#ie%!es e% "a

re"a#i-% de re#rre%#ia

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1.

Si 6acemos primero c&% 1 $ c1% &" (con c2% &4:

,3,2,1,)2)(1(

12 =++

= + kkk

cc kk

,1=k32

13 =c

,2=k 04=c

,3=k 054

25 ==

cc

,4=k6532

1

65

36 ==

cc

,5=k 07=c

=

+=

++=

1

3

963

0

)3)(13(32

)1(1

986532

1

6532

1

32

11)(

k

kk

xkk

xxxxy

(...)

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1

Si 6acemos a6ora c&% & $ c1% 1" otenemos:

,3,2,1,)2)(1(

12 =++

= + kkk

cc kk

,1=k 03=c

,2=k4

3

14 =c

,3=k 054

25 ==

cc

,4=k 065

36 ==

c

c

,5=k7643

1

76

4

7 ==

cc

(....)

=

+

+

+=

++=

1

13

1074

1

)13)(3(43

)1(

10976431

76431

4311)(

k

kk

xkk

x

xxxxy

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1

Resoler

Solucinuesto quex2 1 % &"x = i" Fi son puntossingulares" la soluci0n en serie de potenciascentrada en & conerger al menos para #x#

+ 1!/sando la soluci0n en forma en serie depotencia de!, !" e!#$

0'")1( 2 =++ yxyyx

=

=

=

=

=

=

=

++=

++

012

2

2

2 01

122

)1()1(

)1()1(

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n n

nn

n

nn

nn

xcxncxcnnxcnn

xcxncxxcnnx

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1;

nk

n

nn

nk

n

nn

nk

n

nn

nk

n

nn

xcxncxcnn

xcnnxcxcxcxcxc

=

=

=

=

=

=

=

=

++

+++=

22

2

4

2

2113

00

02

)1(

)1(62

= +

=+

=++++++=

++++++=

22302

2

2302

0])1)(2()1)(1[(62

])1)(2()1([62

k

k

kk

k

kkkkk

xckkckkxccc

xckcckkckkxccc

Primero ha#emos qe !odos "os sma!orios #omie%#e% &or "a &o!e%#ia m1s

a"!a, qe e% es!e #aso es 2, se&aramos "os !3rmi%os 4sobra%!es4

Ahora rei%deamos

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1=

*e lo anterior" tenemos 2c2 c&% &" c3% &" $

5s que c2% c&

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2&

!!! $ as

sucesiamente!

04068 !42

531

8642

53

8

5cccc

===

0

9

679 == cc

050810 !52

7531

108642

753

10

7cccc

===

)()(

!52

7531

!42

531

!32

31

!22

1

2

11

1100

1

10

5

8

4

6

3

4

2

2

0

10

10

9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

210

xycxyc

xcxxxxxc

xcxcxcxcxc

xcxcxcxcxccy

+=

+

+++=

++++++

+++++=

1||,!2

)32(531)1(

2

11)( 2

2

12

0 ompruea que en este caso amas racesproducen el mismo conjunto de coe?cientes! Enotras palaras" que s0lo otenemos una soluci0nen serie

0" =+yxy

...

122)!1(!

)1()(

321

0

1 +++=

+

= +

=

xx

xx

nn

xy n

n

n

P>0mo otener la segunda soluci0nQ

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42/45

D2

=

+

=

+ ==0

2

0

121 )()(

n

rn

n

n

rn

n xbxyxcxy

P>0mo otener la segunda soluci0nQ8a$ que distinguir tres casos:(14 Si r1" r2son distintas $ la diferencia r1 r2no es un

entero positio" entonces existen dos solucioneslinealmente independientes de la ecuaci0n de la forma :

(24 Si r19 r2% +,donde + es un entero positio"

entonces existen dos soluciones linealmenteindependientes de la ecuaci0n de la forma :

0,ln)()(

0,)(

0

0

12

0

0

1

2

1

+=

=

=

+

=

+

bxbxxCyxy

cxcxy

n

rn

n

n

rnn

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43/45

D3

(34 Si r1%r2, entonces existen dos solucioneslinealmente independientes de la ecuaci0n de laforma:

ln)()(

0,)(

0

12

0

0

1

2

1

=

+

=

+

+=

=

n

rn

n

n

rn

n

xbxxyxy

cxcxy

Si $a conocemos una soluci0n!1" lasegunda puede otenerse de lasiguiente manera

eamos un ejemplo!

=

)(212

1

dxy

eyxy

Pdx

0"

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DD

8allar la soluci0n general de

Solucin 8aamos 6allado una soluci0n:

0" =+yxy

...122)!1(!

)1()(

32

1

0

1 +++=+= +

= xxxx

nnxy n

n

n

++++=

++++=

++=

++++

=

=

dxxxx

x

xy

dxxxx

xy

xxxx

dxxy

xxxx

dxxydx

xy

exyxy

dx

2

1

21

54321

2

432

12

1

0

12

144

19

12

7ln

1)(

72

19

12

711)(

12

7

12

5)(

1441

121

21

)()]([

)()(

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45/45

++++=

2

112 144

19

12

71

)(ln)()( xxxxyxxyxy

6e $i%a"me%!e %os &ro&or#io%a #omo so"#i-%

Para ver m1s eem&"os rese"!os de!a""es de es!a

+"!ima &ar!e, #o%s"!a "os a&%!es de 7ose O"arrea e%

8o"#io%esseries.&d$.