3.3.4_Divisibilidad

8/18/2019 3.3.4_Divisibilidad

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U n i v e r s i d a d A u t ó n o m a d e Y u c a t á nD i r e c c i ó n G e n e r a l d e D e s a r r o l l o A c a d é m i c o

C o o r d i n a c i ó n G e n e r a l d e E d u c a c i ó n M e d i a S u p e r i o rB a c h i l l e r a t o e n L í n e a

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DEL LENGUAJE COMÚN AL ALGEBRAICO 200

FUENTE: Unidad 2 DIVISIBILIDAD. En: Peraza, J., Pinzón, J., Salazar, J. Matemáticas 1, Álgebra,UADY, México, (2001).

UNIDAD 2

DIVISIBILIDAD

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

Al finalizar la unidad el alumno calculará el MCD y MCM de números para la solución deejercicios que involucren situaciones de la vida real.

CONTENIDO DE LA UNIDAD:

2.1

NÚMERO PRIMO Y NÚMERO COMPUESTO2.2

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

2.3

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE NÚMEROS

ACTIVIDAD 2.1Escribe en orden los primeros 50 números naturales.Borra el número 1. Ahora encierra el 2 en un círculo y a partir de éste, saltando de dos en dos,marca con una línea inclinada a la derecha (/) los números que encuentres.

¿Cuál es el menor número, mayor que 2, que no has marcado? Enciérralo en un círculo ya partir de este número, saltando de tres en tres, marca con una línea inclinada a la izquierda(\) los números que encuentres.

¿Cuál es el menor número, mayor que 3 que no marcaste? Enciérralo en un círculo y apartir de este número, saltando de cinco en cinco marca con una línea horizontal (-) losnúmeros que encuentres.

¿Cuál es el menor número mayor que 5 que no marcaste? Enciérralo en un círculo y apartir de este número, saltando de siete en siete, marca con una línea vertical (|) los númerosque encuentres.

Este procedimiento puede continuar pero ¿qué números no marcaste? Enlista losnúmeros que no hayas marcado, junto con los que están dentro de un círculo.


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2.1. NÚMERO PRIMO Y NÚMERO COMPUESTO.

Seguramente tu lista anterior es: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47. Aestos números se les llama primos y a los que marcaste, se les llama compuestos.Observa las diferencias entre dos números como el 42 y el 5. El 42 tiene tres marcas: cuandosaltaste de dos en dos (2 x 21 = 42); cuando saltaste de tres en tres (3 x 14 = 42) y cuando

saltaste de siete en siete (7 x 6 = 42). Así decimos que 42 es múltiplo de 2, 3 y 7, entre otros, porque también lo es de 1, 6, 14, 21 ¡y...42! Esto significa que 42 se puede dividir exactamenteentre 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42.

Un número compuesto, como el 42 del ejemplo anterior, se define como el número quepuede ser dividido exactamente entre 1, él mismo y otros divisores, es decir, el número quetiene más de dos divisores.

El número 5 se puede indicar como el producto de 1 x 5, por lo que solo tiene dosdivisores. Lo mismo sucede con los demás números primos. Número primo es el entero, mayorque1, que solo tiene dos divisores: 1 y él mismo.

ACTIVIDAD 2.2Piensa en un grupo de 10 amigos. Si los pones en dos filas con igual número de personas¿cuántas columnas obtienes?¿Puedes formarlos en tres filas con igual número de personas?Si los pones en cinco filas con igual número de personas ¿cuántas columnas se forman?

Ahora el grupo de amigos aumenta a 21. ¿Cómo los ordenarías en filas con igual número depersonas que tengan dos o más amigos?

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA.

Observa los casos anteriores; si tienes 10 amigos y los pones en filas de dos, obtienescinco columnas; si los formas en filas de cinco obtienes dos columnas.Con 21 amigos, si los formas en filas de tres obtienes siete columnas, mientras que si los formasen siete filas obtienes tres columnas.

Como puedes notar, los números 10 y 21, que son compuestos, pueden expresarse como elproducto de los números primos 2 x 5 y 3 x 7, respectivamente, en cualquier orden. Esto lopodemos expresar en el siguiente diagrama:

10 21

2 5 3 7

Con esta idea ¿cómo podemos expresar el número 30 como producto de númerosprimos?


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Para empezar, 30 puede expresarse como el producto 2 x 15, donde 2 es número primoy 15, que es compuesto, a su vez puede expresarse como el producto 3 x 5; tanto 3 como 5 sonnúmeros primos. Representando lo anterior en un diagrama:

30

2 15

2 3 5

Por lo tanto, 30 puede expresarse como el producto 2 x 3 x 5, donde todos los factoresson números primos. Esta característica es propia de los números compuestos.

Todo número compuesto puede representarse como el producto de números primos;esta expresión es única, independientemente del orden de los factores. Esto es lo queestablece el Teorema fundamental de la Aritmética. Consideremos otro ejemplo; expresemos210 empleando un diagrama como los anteriores, conocido como “diagrama de árbol”:

Analicemos los diagramas. Hay varias formas de obtener 210 mediante el producto dedos cantidades. El de la izquierda muestra que 210 = 5 x 42; 42 a su vez se expresa como 7 x 6 yéste último, a su vez, como 2 x 3. En el diagrama de la derecha 210 = 14 x 15; 14 es el producto

de 2 x 7, por último, 15 es producto 3 x 5. En ambos casos se llega al mismo resultado: 210 = 2 x3 x 5 x 7.Generalmente se usan dos métodos para encontrar los factores primos de cualquier

número compuesto. Uno de ellos es el que se utilizó en el ejemplo anterior, que consiste enencontrar dos factores fácilmente reconocibles y luego expresar nuevamente con otrosproductos, aquellos factores que sean números compuestos.

210

42

210

14 155

6 7

7

7

5

5

5

2

2

3

3

210 = 2 x 3 x 5 x 7


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La otra manera consiste en dividir el número compuesto dado entre su menor factor odivisor primo posible. Si el cociente obtenido es un número compuesto, se divide éste entre sumenor factor primo posible. Se continúa este procedimiento hasta obtener un cociente que seanúmero primo.

Por ejemplo, para expresar o descomponer 20 en factores primos, dividimos primero

entre 2 que es su menor divisor primo: 20 2 = 10. Como 10 es compuesto lo dividimos entre 2,que es su menor factor y obtenemos 5. Como 5 es primo, finaliza el proceso. Así:

20 = 2 x 2 x 5

En la práctica, las sucesivas divisiones y cocientes se disponen en columnas separadaspor una línea vertical:

20 210 25 51

Como ejemplo, descompondremos 210 utilizando el mismo procedimiento

210 2105 335 57 71

210 = 2 x 3 x 5 x 7

Para facilitar la búsqueda de factores es útil recordar los criterios de divisibilidad, ya queéstos nos permiten reconocer cuándo un número es divisible entre otro:

Un número es divisible entre 2 cuando termina en cero o en cifra par; ejemplos 30, 126

Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3; ejemplo 321

Un número es divisible entre 4 cuando el número formado por las dos últimas cifras sonceros o múltiplos de 4; ejemplos 600, 2 016

Un número es divisible entre 5 si la última cifra es cero o 5; ejemplos 20, 125

Un número es divisible entre 6 si lo es entre 2 y 3; ejemplos 24, 720

Un número es divisible entre 7 si separando la última cifra, multiplicándola por 2 y restandoeste producto al número que se formó con las cifras que quedaron, repitiendo este procesoel número de veces necesario hasta obtener como diferencia cero o un múltiplo de 7.


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Ejemplo para saber si 2 058 es divisible entre 7 separamos el 8 lo multiplicamos por 2 y elresultado se lo restamos a 205 y nos queda 189; nuevamente separamos el 9 lomultiplicamos por 2 y el resultado se lo restamos a 18 y nos queda cero. Por lo tantoconcluimos que 2 058 es divisible entre 7

Un número es divisible entre 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo

de 8; ejemplos 5 000, 6 064 Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9; ejemplo 4 581

Un número es divisible entre 10 cuando la última cifra es cero; ejemplo 210

ACTIVIDAD 2.3.1Se desean entregar 45 globos y 60 chocolates a un cierto número de niños, de manera quecada uno reciba un número exacto de globos y chocolates. ¿Cuál es el mayor número deniños que pueden recibir un número exacto de ambos obsequios?Para resolver este problema pensemos ¿a cuántos niños se les puede dar un número exactode globos?

¿A cuántos niños se les puede dar un número exacto de chocolates?¿Hay números comunes en ambas respuestas? ¿Cuáles son?¿Cuál es el mayor de estos números comunes?

1.2 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.

En el ejemplo anterior los 45 globos se pueden repartir exactamente entre 3, 5, 9, 15 o45 niños. Los 60 chocolates se pueden repartir exactamente entre 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 30 o 60niños. Los 45 globos y los 60 chocolates se pueden repartir exactamente entre 3, 5 o 15 niños.Entonces la mayor cantidad de niños que puede recibir un número exacto de ambos obsequioses 15.

En nuestro ejemplo, 3, 5 y 15 son los divisores comunes de 45 y 60. Al mayor de ellos, 15,

se le da el nombre de máximo común divisor (mcd).El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que los divide a

todos exactamente.Para calcular el mcd de dos o más cantidades, se descomponen cada una de ellas en sus

factores primos; y se multiplican los factores primos comunes tomados con el menor número deveces que aparecen.

Como ejemplo calculemos el mcd de los números 60, 84 y 120.Primero hallamos los factores primos de cada número dado:

60 2 84 2 120 2

30 2 42 2 60 215 3 21 3 30 25 5 7 7 15 31 1 5 5

160 = 2 x 2 x 3 x 5 84 = 2 x 2 x 3 x 7 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5


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Luego observamos que los factores comunes son dos factores 2 y un factor 3.Por último, calculamos el mcd con el producto 2 x 2 x 3 = 12El resultado se escribe mcd (60, 84, 120) = 12

Muchos problemas cotidianos se pueden resolver hallando el mcd de dos o más

números; su enunciado suele ser sencillo, pero hay que tener el cuidado de interpretarloscorrectamente para resolverlos. Como ejemplo resolveremos el siguiente problema.

Se quiere enlosar con cierto número de losetas cuadradas, enteras e iguales, unentrepaño de cocina de forma rectangular de 45 cm de largo y 36 cm de ancho. Además se pideque la loseta que se emplee, tenga el tamaño de su lado lo mayor posible.

Analizando el problema, sabemos que el número de losetas usadas para cubrir elentrepaño tiene que ser un número entero, y por lo tanto, el tamaño del lado de la loseta debecaber un número entero de veces en el largo del piso rectangular y también debe caber unnúmero entero de veces en el ancho. Dicho de otra forma, el tamaño del lado de la loseta es undivisor de 45 y también es un divisor de 36; esto significa que el tamaño del lado de la loseta esun divisor común de 45 y 36.

Además como el tamaño del lado de la loseta debe ser el mayor posible, entonces estelado debe ser el máximo común divisor de 45 y 36. Calculando dicho mcd:

45 3 36 215 3 18 25 5 9 31 3 3

1

45 = 3 x 3 x 5 36 = 2 x 2 x 3 x 3

El mcd de 45 y 36 es 3 x 3 = 9, por lo que el tamaño del lado de la loseta es 9 cm.

Con el dato anterior ¿cuántas losetas se necesitan para cubrir el entrepaño?

ACTIVIDAD 2.3.2Los autobuses hacia Cancún salen cada 2 horas y hacia Campeche cada 3 horas. Si a lascero horas (media noche) sale un autobús a cada una de estas ciudades ¿a qué otrashoras vuelven a salir juntos? ¿Cuál es el tiempo mínimo, a partir de las cero horas, paraque salgan juntos otra vez?

45 cm

36 cmLoseta

cuadrad


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Para contestar estas preguntas te sugerimos registrar los horarios de cada salida deambas rutas, en una tabla como la siguiente:

HORARIOS DE SALIDAS

HACIA CANCÚN HACIA CAMPECHE

0 02 3

4 6

Al llenar la tabla anterior, en la primera columna obtuviste los múltiplos de 2 y en lasegunda, los múltiplos de 3. ¿Cuáles son los números coincidentes en ambas columnas?Estos números, 6, 12 y 18 son llamados múltiplos comunes de 2 y 3..Observa que de estos múltiplos comunes, 6 es el menor de ellos. A este valor se le da elnombre de mínimo común múltiplo (mcm).El mínimo común múltiplo de dos o más números s el menor número que es múltiplo de

cada uno de ellos.Para calcular el mcm de dos o más cantidades, se descompone cada una de ellas en sus

factores primos y se multiplican los factores primos comunes y no comunes, tomados con elmayor número de veces que aparecen.

Como ejemplo calculemos el mcm de los números 60, 84 y 120.Primero hallamos los factores primos de cada número dado:

60 2 36 2 120 230 2 18 2 60 215 3 9 3 30 25 5 3 3 15 31 1 5 5

1

60 = 2 x 2 x 3 x 5 84 = 2 x 2 x 3 x 3 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5

Luego observamos que los factores comunes son 2 y 3; el no común es 5. De loscomunes, el mayor número de veces que el factor 2 aparece es tres; el factor 3 aparece dosveces. El actor 5 solo aparece una vez.

Por último, calculamos el mcm con el producto 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 360El resultado se escribe mcm (60, 36, 120) = 360


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Tomando en cuenta el problema planteado en la actividad 2.3.2. la solución está encalcular el mcm de 2 y 3.

mcm (2, 3) = 6Como puedes notar, el mcm es útil en la resolución de problemas.Otro ejemplo de una situación que involucre el cálculo del mcm lo encontramos en el

siguiente problema.Isabel está planeando una fiesta en la cual espera 16, 24 o 12 invitados. Dado que ella no

está segura del número de invitados y quiere que cada invitado tenga disponible un númeroigual de refrescos, ¿cuál es la menor cantidad de refrescos que debe encargar para que no hayasobrantes?

Puesto que el número de refrescos buscado debe repartirse exactamente entre cada unode los posibles invitados, esta cantidad de refrescos debe ser un múltiplo del número deinvitados; además, como debe ser la menor cantidad, tiene que ser el mcm de los tres númerosde invitados posibles.

12 2 24 2 16 26 2 12 2 8 23 3 6 2 4 21 3 3 2 2

1 1

12 = 2 x 2 x 3 24 = 2 x 2 x 2 x 3 16 = 2 x 2 x 2 x 2

El mcm de 12, 16 y 24 es: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 48, Esto quiere decir que la menor cantidad de

refrescos que Isabel debe comprar es 48.

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