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3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS

SÍNTESIS DE FILTROS

Autor: PEDRO QUINTANA MORALESDto. Señales y Comunicaciones

Universidad de Las Palmas de Gran canaria

2005


3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN

• Concepto de Aproximación

• Función Característica

• Comportamientos de la Aproximación

• Aproximación de Butterworth PASO BAJO

• Aproximación de Chebychev PASO BAJO

• Aproximación de Chebychev Inverso PASO BAJO

• Aproximación de Cauer PASO BAJO

• Aproximación de Bessel PASO BAJO

• Análisis Comparativo


APROXIMACIÓN

• Función Realizable

• Especificaciones de Tolerancia

• Módulo, |H(jw)|, Atenuación, (w)

• Fase, (w), Retardo de Grupo, g(w)

|H(jw)|

w

(w)

w


APROXIMACIÓN

• Especificaciones de Atenuación

• Banda de Paso, (w) p

• Banda Atenuada, (w) a

• Banda de transición

• Discriminación, {p, a}

• Selectividad, {wp, wa}

(w)

wwawp

p

a


FUNCIÓN CARACTERÍSTICA

• Función Característica (Atenuación No Racional)

• (w) = 10 log [ 1 + F(w2) ]

•

2

2( ) 1( )

HF w

H jw



• Propiedades

•Función Racional, Real y Par en w

• No Negativa (supuesto (w)>0)

• F(w2oi) = 0, Ceros de Atenuación

• F(w2i) = , Ceros de Transmisión

• Igual Información que (w)



• Considerando woi , wi

•

• nº de C.T. = nº de C.A. = Orden del Filtro

2 2 2 2

2 2 1

2 2 2 2

1

( )( )

( )

Ln

oiiQ

pi

i

w w wF w k

w w w

ww1w02w01

F(w2)



• Comportamiento Asintótico

• W2 -> , F(w2) k2 w2 (n+2L-p-2Q)

• (w) 20 pdB/dec 6 pdB/oct , p=n+2L-p-2Q

• W2 -> 0, F(w2) k2 w2 (n-p)

• (w) 20 pdB/dec 6 pdB/oct , p=n-p


COMPORTAMIENTOS

• ¿F(w2)? para min{ E(w2) = F(w2) – Fid(w2) }

• Comportamiento Maximalmente Plano

• Minimiza E(w20) = F(w2

0)–Fid(w20) en w0

• Taylor, en la Banda de Paso

•

• Orden (n), CT (D(w)), K (Ajuste)

•

22

2

( )( ) 0 , 1,..., 1

( )o

i

o iw w

d F wF w i n

d w

22 22 ( )

( )( )

nok w w

F wD w

wwo

F(w2)


COMPORTAMIENTOS

• Comportamiento con Rizado de Amplitud Cte

• Minimiza E(w2)= F(w2)–Fid(w2) en Banda

• nº Alternancias = f(nºCT ó nºCA )

• Máximas Alternancias con raíces simples

• Aproximación Óptima y Única

• Transformada de Darlingtonw

F(w2)


APROXIMACIÓN PASO BAJO

• F(w2)

• Orden, (wl) = 10 log (1+F(wl2)) >

< i

• Constante, (wi) = 10 log (1+F(wi2)) = i

• Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1),

• CA (F(wo2)=0), CT (F(w

2)=),

• Pendiente de la Atenuación

•

2 2 2 2

2 22

2 2( ) ( ) ( )

1 ( ) 1 ( )s w s w

H HH jw H s H s

F w F s


APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH PASO BAJO

• Butterworth

• Maximalmente Plano en el Origen, ¿CA?

• Ceros de Transmisión en el Infinito

• F(w2) = (k wn)2

(w)

w



• Cálculo del Filtro de Butterworth, n y k

• Orden, (wl) = 10 log (1+F(wl2)) >

< i

•

• Discriminación,

• Selectividad,

• Constante, (wi) = 10 log (1+F(wi2)) = i

•

ln( )

ln( )d

s

kn

k

1/ 210

10

10 1

10 1

p

adk

ps

a

wk

w

10 1/ 21(10 1)

( )p

np

kw

(w)

w



• Características

• Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1)

• =>


• 20 n dB/dec, 6 n dB/oct

102

1/

10 1p

pc n

n

ww rad seg

k

2

2( )n

c

wF w

w



• Función de Transferencia

•

• Frecuencias Propias

•

•

•

2 2 2 2

2 22

2 2( ) ( ) ( )

1 ( ) 1 ( )s w s w

H HH jw H s H s

F w F s

22

21 ( ) 0 1 ;

n

ncc

s sF s s

ww

( 1) 2

2, , 0, , 1

n ij

nn is e i n

1

,0

( )( )

n n n

n n ii

HH s

s s


APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJO

• Chebychev

• RAC en Banda de Paso, ¿CA?

• Ceros de Transmisión en infinito

•

•

(w)

w

1

1

cos cos , 1

, 1

p p

np

p p

w wn

w wwC

w w wch n ch

w w

2 2 2( ) np

wF w C

w



• Polinomios de Chebychev, Cn(w)

• Cn+1(w) = 2w Cn(w) – Cn-1(w)

• Propiedades

• Función Par o Impar según sea n

• Coeficiente de wn , an = 2n-1

• Valores extremos, Cn(1) = 1

• RAC en |w| 1 , MP en |w| 1

• Raíces Simples => Máxima Alternancia

n=3

n=4

Cn(x)1

1

x



• Cálculo del Filtro de Chebychev, n y

• Orden, (wl) = 10 log (1+F(wl2)) >

< i

•

• Rizado, (wi) = 10 log (1+F(wi2)) = i

•

1

1

1

1

d

s

chk

n

chk

(w)

w

1010 1p





•



• Ceros de Atenuación, (F(w0,i2)=0)

•

11 1/c pw w ch ch rad seg

n

,

(2 1)cos , 0,..., 1

2o i p

iw w i n

n




•


•

•

•

2 2 2 2

2 22

2 2( ) ( ) ( )

1 ( ) 1 ( )s w s w

H HH jw H s H s

F w F s

2 2 21 ( ) 0 1 ;n np p

js sF s C s

w w

1,

(2 1) (2 1) 1 1( ) ( ) cos , 0,..., 1 ,

2 2n i

i is sh a sen jch a i n a sh

n n n

1

1

,0

2( )

( )

n

n n n

n n ii

HH s

s s


APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV INVERSO PASO BAJO

• Chebychev Inverso

• RAC en Banda de Atenuación, ¿CT ?

• Ceros de Atenuación en el origen

• Forma Modificada de Chebychev

• 2

2 2

1( )

an

F ww

Cw

F(w2)

w

1

1

F((1/w)2)

w

1

1 1----------F((1/w)2)

w

1

1



• Cálculo del Filtro de Chebychev Inverso, n y

• Orden, (wl) = 10 log (1+F(wl2)) >

< i

•

• Rizado, (wi) = 10 log (1+F(wi2)) = i

•

1

1

1

1d

s

chk

n

chk

10

1

10 1a

(w)

w





•



• Ceros de Transmisión, (F(w,i2)=)

•

1

/1 1

ac

ww rad seg

ch chn

, , 0,..., 1(2 1)

cos2

ai

ww i n

i

n




•


•

•

•

2 2 2 2

2 22

2 2( ) ( ) ( )

1 ( ) 1 ( )s w s w

H HH jw H s H s

F w F s

2 2 21 ( ) 0 1 an

jwF s C

s

a pi ch

i

w ws

s

( ) 12

2 2,

0 21

0

( ) ,( ) , 1

( ) ,

nEnt

n ii

nn

i ai

H k s w n parH s k

s s nw n impar


ANÁLISIS COMPARATIVO

• Complejidad

• Orden

• Cauer (óptimo)

• Chebychev

• Butterworth

But

Chd

Cau

Chi

w

(w)



• Complejidad

• Nº de Elementos

• PASIVO depende de CT:

• infinito (1)

• finito (2+1)

• ACTIVO depende CT finito o infinito



• Complejidad

• Calidad

• El Q depende de la parte resistiva



• Respuesta Temporal

• Retardo de Grupo

• La distorsión crece con:

• la pendiente y el rizado BP

• El retardo crece con:

• la atenuación (Orden)

Chi

ButCauChd

w

g(w)




• Respuesta

• al Escalón

• al Impulso

• La distorsión como en el R.G. t

r(t)

Chd, Cau

But, Chi





• Amortiguamiento

jw

s

Chi But Cau

Chd



• Butterworth

• Características transitorias aceptables

• Valores de LC prácticos y poco críticos

• Debe usarse siempre que sea posible



• Chebychev

• Rizado quita redondeo de la |H(jw)| en wp

• Menor orden que Butterworth

• Propiedades transitorias se deterioran con n

• Orden influye en la elección de Rg y Rc

• Útil cuando lo que importa es |H(jw)|



• Cauer

• Óptimo en cuanto al orden

• Requiere ajuste preciso de resonancias

• Comportamiento transitorio inaceptable

• Más componentes que Butterworth y Chebychev



• Chebychev Inverso

• Óptimo en el orden como Chebychev

• Comportamiento transitorio como Butterworth

• Número de componentes como Cauer

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