22valores Extremos Condicionados Metodo de Lagrange

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGEIERIA CALCULO VECTORIAL FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA VALORES EXTREMOS CONDICIONADOS

Rosa ique Alvarez 129

VALORES EXTREMOS CONDICIONADOS METODO DE LAGRANGE

INTRODUCCION En esta seccin estudiaremos el mtodo para hallar los valores extremos de una funcin sujeto a condiciones o restricciones. Muchos de los problemas de la vida real, especialmente en economa son de este ltimo tipo. Por ejemplo, un fabricante puede querer maximizar sus utilidades, pero es probable que tenga restricciones por la cantidad de materia prima disponible, la cantidad de mano de obra, etc. Interpretacin Geomtrica del Mtodo de Lagrange Consideremos primero el caso en que queremos maximizar o minimizar f (x, y) sujeto a la condicin g(x, y) =0

Las curvas de nivel de f son las curvas f (x, y) = k en la que k es constante para k = 200, 300,., 700. La grfica de la condicin g(x, y) =0 es tambin una curva. Para maximizar f sujeta a la condicin g(x, y) =0 se debe encontrar la curva de nivel con la mxima k posible que intercepte a la curva condicin. Por geometra, es evidente en la figura que dicha curva de nivel es tangente a la curva condicin en el punto P0 y, por lo tanto, que el valor mximo de f sujeto a la condicin g(x, y) =0 es f (P0). El otro punto de tangencia P1 da el valor mnimo f (P1) de f sujeta a la condicin g(x, y) =0.

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El mtodo de Lagrange proporciona un recurso algebraico para encontrar los puntos P0 y P1. Dado que en dichos puntos la curva de nivel y la curva condicin son tangentes, las dos rectas tienen una perpendicular comn. Pero en cualquier punto de una curva de nivel, el vector f es perpendicular a la curva de nivel y en forma similar g es perpendicular a la curva condicin. Por lo tanto, f y g son paralelas en P0 as como en P1; es decir,

)()()()( 111000 PgPfPgPf l=l= y Para algunos nmeros no nulos 0 y 1. Admitimos que la argumentacin recin expuesta sirve da argumento para maximizar o minimizar f (x, y, z) sujeto a la condicin g(x, y, z) =0. Simplemente consideremos superficies de nivel en lugar de curvas de nivel. En efecto, el resultado es vlido para cualquier nmero de variables. METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (una condicin) TEOREMA 1: Para maximizar o minimizar f (P) sujeta a una condicin g(P) =0, resulvase el sistema de ecuaciones

0)(y)()( == PgPgPf l para P y . Cada uno de dichos puntos P es un punto crtico del problema de extremo condicionado y el se le conoce con el nombre de multiplicador de Lagrange. Considerando z = f (x, y) y g (x, y) = 0 el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, queda descrito por el siguiente sistema

=

=

=

0),( yxg

yg

yf

xg

xf

l

l




EJEMPLO 1 Cul es el rea mxima que puede tener un rectngulo si la longitud de su diagonal es 2? Funcin Objetivo : f (x, y) = x y Funcin rea Condicin : g(x, y) = x2 + y2 4 = 0 Longitud diagonal

2

(x , y)

y

x

En trminos geomtricos, en el Ejemplo 1 se pide el punto ms alto de la curva C




[ ]

==

=

senttztsenty

txC

cos42/,02

cos2: p

que se encuentra sobre la funcin rea f (x, y) = x y y directamente arriba de la curva condicin x2 + y2 = 4.

Ecuaciones de Lagrange llegan a ser,

)2,2(),();,(),( yxyxgxyyxf ==

),(),( yxgyxf = l

=+

==

4

)2()2(

22 yx

yxxy

ll

Resolviendo el sistema en forma simultnea, obtenemos: x = y = 2, y = . Concluimos que el rectngulo de mxima rea con diagonal 2 es el cuadrado cuyos lados miden 2. Su rea es 2.




EJEMPLO 2 Se trata de montar un radiotelescopio en un planeta recin descubierto. Para minimizar la interferencia se desea emplazarlo donde el campo magntico del planeta sea ms dbil. El planeta es esfrico, con radio de seis unidades. La fuerza del campo magntico viene dada por

M(x, y, z)=6x y 2 + x z + 60

basndose en un sistema coordenado cuyo origen est en el centro del planeta. Donde habr de ubicar el radiotelescopio? Solucin: Funcin Objetivo: M(x, y, z)=6x y 2 + x z + 60 Condicin: x2 + y2 + z2 = 36 Usando el mtodo de Lagrange formamos el siguiente sistema

=++

==-=+

)4(36

)3(2)2(22)1(26

222 zyx

zxyyxz

lll

Considerando la ecuacin (2) obtenemos dos casos:

( ) ( )01010)1(2 =--==+ yyy lll

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

1

2

3

4

X

Y

Curvas de Nive l de la funcion Are a: f(x, y)=xy

k=1

k=2

k=3

k=4

(sqrt(2) ,sqrt(2))

Curva de Nivel Maximo

Curva Condicin




Caso I: Reemplazamos = -1 y la ecuacin (3) en (1) tenemos 6 + z = 4 z z = 2, adems obtenemos x = - 4. Sustituyendo z = 2 y x = - 4 en (4) encontramos y = 4 Formamos el primer punto crtico: P1 (- 4, 4, 2) Evaluamos la funcin objetivo en P1: M(P1) = 12 Valor extremo Caso II: ( )01 =-l y De las ecuaciones (1) y (3) despejamos para obtener

22 622

6 zzxz

xxz

+==+

reemplazando y = 0 y el valor de x2 en la ecuacin (4) tenemos: z = -6 z = 3. Para z = - 6 e y = 0 se tiene x = 0 P2 (0, 0, - 6) y M(P2) = 60 Valor Extremo Para z = 3 e y = 0 se tiene x = 3 3 P3(3 3, 0, 3) y M(P3) = 106,76 Valor Extremo P4(- 3 3, 0, 3) y M(P4) = 13,23 Valor Extremo Conclusiones: P1 (- 4, 4, 2) M(P1) = 12 Mnima interferencia P2 (0, 0, - 6) M(P2) = 60 P3(3 3, 0, 3) M(P3) = 106,76 Mxima interferencia P4(- 3 3, 0, 3) M(P4) = 13,23 Finalmente ordenando los valores obtenidos concluimos que el Radiotelescopio ubicado en el punto P1 tendra la mnima interferencia.

( )01 -= yl




EJEMPLO 3 Sea f (x, y) = x2 + 2 x y + y2. Encontrar el mximo y el mnimo absoluto de f en la regin cerrada y acotada R = {(x, y) | x2 + y2 8}. Funcin Objetivo: f (x, y) = x2 + 2 x y + y2 Condicin: R = {(x, y) | x2 + y2 8} Solucin: Consideremos R = R1 U R2, donde

{ } { }8),(;8),( 222221 =+=



Parte II. Funcin Objetivo: f (x, y) = x2 + 2 x y + y2 Condicin: R2 = {(x, y) | x2 + y2 = 8} Usamos el mtodo de los Multiplicadores de Lagrange

=+

=+=+

)3(8

)2(222)1(222

22 yx

yyxxyx

ll

Considerando las ecuaciones (1) y (2) se tiene que: x = y = 0. Caso 1: Si x = y Reemplazando x = y en la ecuacin (3) obtenemos x = 2, luego y = 2 Formamos los puntos crticos P1 (2, 2) y P2 (- 2, -2) donde ocurrirn los valores extremos f (P1) = f (P2) = 16. Caso 2: Si = 0 (no debe considerarse porque debe ser diferente de cero) Considerando la Parte I y Parte II, tenemos los siguientes valores extremos: Mnimo absoluto: f (x,- x) = 0 para -2 x 2. Mximo absoluto: f (P1) = f (P2) = 16

MAXIMO

P1(2, 2)

P2(-2, -2)

(-2, 2)

(2, -2)

MAXIMO

MINIMO

y = - x




Grfica de la Superficie

EJEMPLO 4 Calcular la distancia ms corta del plano 2x + 3y + z = 4 al origen. Considere la funcin d(0P) que define la distancia del origen del sistema de coordenadas a un punto P(x, y, z) del plano 2x + 3y + z = 4. Funcin Objetivo: d 2 (0P) = x2 + y2 + z2 Funcin distancia cuadrado Condicin: 2x + 3y + z = 4 Plano Usamos el mtodo de los multiplicadores de Lagrange

( ) ( )

=++

-++=

432

432)0(2

zyx

zyxPd l




formamos un sistema de ecuaciones

=++

==

==

==

)4(432)3(2)2(32)1(22

2123

zyxzzyyxx

ll

ll

ll

sustituyendo (1), (2), (3) en (4) obtenemos = 4/7 para luego obtener los valores de x = 4/7, y = 6/7, z = 2/7. Considerando el resultado anterior tenemos el punto crtico: P (4/7, 6/7, 2/7), evaluamos en la funcin objetivo d 2 (0P) = 56/49. Para calcular la distancia sacamos la raz cuadrada a la funcin objetivo, es decir

( ) ( ) ( ) ( ) 07,1140 722

722

762

74 ==++=Pd

La distancia ms corta entre el origen y el plano es 1,07 unidades de longitud. Nota: Las superficies de nivel de la funcin objetivo d2(0P) son esferas. Elegimos aquella que sea tangente a la plano 2x + 3y + z = 4 en el punto P (4/7, 6/7, 2/7), la misma debe tener centro en el origen y radio 07,1

7142

==R .


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