2-LÍMITES Y CONTINUIDAD

-Distancia entre dos números: d(a,b)=

Sea f una función a y L ℝ

0 ⟹

⟹

⟹

Propiedad-1

⟺ =L

Ejemplos:

1-f(x)= +1

=

= =1

(

=

= =5

( )

2-

= = =1

( )

3-

= 1 ⟹ ∄

“ ∀ M > > para x suficientemente próximos a a “

x=a es una asíntota vertical de f o

Ejemplos:

4- f(x)=

⟹

es una asíntota vertical

5- f(x)=

=

=+

x=0 es una asíntota vertical.

Sea b ℝ

(x)=b ⟺ “ ⇒ (x)=b ⟺ “ - ⇒

y=b es una asíntota horizontal en + ( ) (x)=b ( (x)=b)

Ejemplos:

6- f(x)=

=2

7- f(x)=

y=1 es una asíntota horizontal en

⟺ “∀ M>0 f(x)>M para x suficientemente grande en valor absoluto y positivo.”

⟺ “∀ M>0 –M> f(x) para x suficientemente grande en valor absoluto y positivo.”

⟺ “∀ M>0 f(x)>M para x suficientemente grande en valor absoluto y negativo.”

⟺ “∀ M>0 –M> f(x) para x suficientemente grande en valor absoluto y negativo

Ejemplos:

9- f(x)=1+

1+ =+

9-f(x)=

=1

=0

Ejercicios:

1-Calcula (con calculadora) los siguientes límites:

a) Si a>o

b)

c)

d)

e) f)

2-Observa la gráfica de esta función f(x) y calcula estos l ími tes.

Propiedades: a ℝ o a=

Lími te de una constante

Lími te de una suma

Lími te de un producto

Lími te de un cociente

Lími te de una potencia

Lími te de una función

g puede se r una ra í z , un l og , sen , cos , tg , e t c .

=

=(+

+ + =+

+ -(+ )=+ - ≠0

(+ )(+ )=+

(+ )/(+ )

Ejercicios:

f es continua en x=a ⟺ ⟺

a) f(x)=

No es continua en x=1

f(1) no existe , no se verifica i) , además como

. se dice que f tiene una

discontinuidad inevitable de salto infinito.

b)

Es discontinua en x=0 ya que:

≠ = 1 ⟹ ∄ No se verifica ii)

Se dice que f tiene una discontinuidad inevitable de salto finito.

c)

Es discontinua en x=0 ya que:

= = ≠ -1 No se verifica iii).

Se dice que f tiene una discontinuidad evitable.

Si ≠ ⟹

Si y son números reales pero ≠ ⟹

f tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en x=a

Si , o es ⟹f tiene una discontinuidad

inevitable de salto infinito.

f es continua en el intervalo (a,b) si es continua ∀x∈(a,b)

f es continua en el intervalo [a,b] si es continua ∀x∈(a,b) y y

Ejemplo:

f:[-1,1] ℝ g(x)=

x f(x)=

f es continua en [.1,1] y g no lo es ya que ≠

5. Operaciones con funciones continuas.

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que:

a. es continua en x=a.

b. es continua en x=a.

c. es continua en x=a si .

d. es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la

potencia).

TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a) es

continua en x=a.

6. Discontinuidades.

Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho

valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

A) Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de

estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a).

B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos

finitos) pero no coinciden.

C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser

asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

D) Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por

la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la

función en x=a al . Dicho valor es el que convierte a la función en continua.

Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en

x=a al valor .

SUMA: f(x)+ g(x)

f(x) g(x)

+ a ℝ

+

+ + IND

b ℝ

+ a+b -

-

IND - -

PRODUCTO: f(x)·g(x)

f(x) g(x) a ℝ a≠0 0 +

+ (signo dep a) IND -

b ℝ b≠0

0 IND 0 0 IND

+ - (signo dep a) IND +

COCIENTE:

f(x) g(x) a ℝ a≠0 0 +

b ℝ b≠0

0

+

EJERCICIOS LÍMITES Y CONTINUIDAD

4-Calcula los siguientes limites:

LIMITES-CONTINUIDAD II

1

-

-

1-

2-

III-CÁLCULO DE LÍMITES

1) 163 2

1

xxlim

x 2) 122

xxlim

x 3) xxlim

x

33

4)

22

2 1

ax

axaxlim

ax

5)

12

22

2

1

xx

xxlimx

6)

2

1

2

1

xxlimx

7) 12

22

2

1

xx

xxlimx

8) 44

12 xx

limx

9) 632 34

4

xx

xlimx

10) 2

2

0

96

x

xxlimx

11)

xx

xlimx 5

252

2

5

12)

xx

xxxlimx 62

22

23

13) 15

24

x

xxlimx

14) 12

32

25

x

xxlimx

15) ax

axlim

ax

16) x

xlimx

33

0

17) xxlim

x

3 2

52 18)

x

xxlimx

21

19)

xxxxlim

x 20)

42

11

2

2

x

xlimx

21) 1

12

x

xlimx

22) 3

1

3 42

1

x

x x

xlim 23)

xxxxlim

x 24)

11

1212

xx

xxlimx

25) 11

xxxlimx

26) xxxxxlimx

32221 553

27)

1

1

1

x

xxlim

x 28)

xxx

xxxlimx 63

36

2

2

29)

1

5634

23

1

xxx

xxxlimx

30)

4

3

3 3

1

x

xlimx

31) 9157

93523

23

3

xxx

xxxlimx

32) 2114

2223

34

2

xxx

xxxlimx

33) 234

234

2 44

4454

xxx

xxxxlimx

34)

122

38634

24

1

xxx

xxxlimx

35)

2

4

4

2 2

22 x

x

x

xlimx

36) 13

2

3

x

xlim

x 37)

13

2

0

x

xlimx

38) 13

2

2

x

xlimx

39) 13

2

x

xlimx

40) 13

2

x

xlimx

41) x

xxlimx 21

42) x

xxlimx 21

rep 43)

x

xxlimx 20

44)

x

xxlimx 2

45) x

xxlimx 2

46)

112

12

2

0

xx

xlimx

47) 112

12

2

1

xx

xlimx

48) 112

12

2

xx

xlimx

49) x

xlimx

sen

0 50)

x

xlimx

tg

0 51)

x

xlimx tg

sen

0

52) ax

axlim

ax

sensen 53)

h

ahalimh

coscos

0

54)

20

3cos7cos

x

xxlimx

55) 20

cos1

x

xlimx

56)

1sen

21 xlimx

57)

1sen

2xlimx

58)

x

xlim

x

6sen

2

59) x

xlimx

6sen

0 60)

x

xlimx

sen 61)

65

2sen22

xx

xlimx

62) x

xlimx 7

5tg

0

63)

4

23tg

2

2

2 x

xxlimx

64)

4

23tg2

2

2

x

xxlimx

65) 16sen

224

x

xlimx

66)

12

cos

21 x

xlimx

67)

xxlim

x

1sen 68)

xxlim

x

1sen

0 69)

x

xlimx

sen

70) xlimx

arctg

71) xlimx

arctg

72) xlimx

arcsen

73) x

xxlim

sen1

031

74) x

xxlim sen1

0

75)

x

x xlim

1sen1

76)

x

x x

xlim

sen

0 2

1

77)

h

hlimh

3log3log

0

78)

xxlim

x

31log

79) 532log62log 22

xxxxlimx

80)

2

2

0

cosln

x

xlimx

81)

2

2

0

5ln5ln

h

hlimh

82)

3ln3ln

3 x

xxlim

x

83)

x

x

x

x

x

limx 3

1log

1log

2

0

84--Dadas las funciones f(x) = k.x. Calcular:

Dadas las funciones parábola e hipérbola calcular f´(a) y f´(x) interpretación geom

HOJA-IV

PREPARANDO LAS DERIVADAS

1-Llamamos tasa de variación media (T.V.M. ) de una función y= f(x) en un intervalo

[a,b] al cociente de la variación de f (de y) entre la variación de x en el intervalo [a,b ]:

T.V.M.=

En el intervalo [x, x+h]

T.V.M.=

=

=

≡ COCIENTEINCREMENTAL

a) Calcula la T.V.M. de la función f(x)= en los intervalos:

b) Un punto se mueve en una recta según una ecuación s=s(t), llamamos velocidad

media en el intervalo [t0, t0 Δ coc :

=

(Observa que T.V.M. del espacio con respecto al

tiempo en el intervalo [t0, t0 Δ

La posición de una partícula viene dada por s(t)= , (s en metros y t en

segundos) .Calcula la velocidad media en r o

c) Interpretación geométrica: Dada una función f: [a, a+h] ℝ

En el intervalo [a,a+h] la T.V.M.=”pendiente de la recta secante que pasa por los

puntos A(a,f(a)) B(a+h,f(a+h)). geogebra\Copia de derpendnewton.ggb

Sea f la función del apartado a):

i) calcula la T.V.M. de la función en el intervalo [1 1+h].

ii)¿En qué recta se transforma la recta secante cuando h 0 (es decir B A)?

iii) Calcula M

iv) Si T.V.M. es la pendiente de la recta secante ¿A qué es igual

?

d) Si para calcular la velocidad media tomamos t cada vez más pequeños nos

aproximaríamos a la velocidad del móvil en t= ,por este motivo llamamos velocidad

instantánea de un móvil en t= a:

i) Calcular en el ejemplo del apartado b)

2-Dadas las siguientes funciones , calcular la tasa de v m

h>0

a) f(x)=

en [2 , 2+h]

b) f(x)= ln(3x-2) en [1,1+h]

c) f(x)= en [-1 -1+h]

h<0