171794631-Trabajo-de-Columnas-Resistencia-de-Materiales-II.pdf

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COLUMNAS

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE ING. CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO:

- Resistencia de Materiales II

DOCENTE:

- Ing. Omar Coronado Zuloeta.

ALUMNO:

- Jesús Miguel Oliva Mera

CÓDIGO:

105167-C

Lambayeque, 22 de julio del 2013

[COLUMNAS] RESISTENCIA DE MATERIALES II

COLUMNAS Página 2

Tabla de contenido

1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 3

2 Definiciones ...................................................................................................................... 4

2.1 Columna. ..................................................................................................................................... 4 2.1.1 Columnas Largas: .......................................................................................................................................... 4 2.1.2 Columnas Intermedias: ................................................................................................................................. 4

2.2 Comportamiento ......................................................................................................................... 5

2.3 Carga crítica ................................................................................................................................ 6

2.4 Excentricidad .............................................................................................................................. 7

2.5 Longitud efectiva ........................................................................................................................ 8

3 Fórmula de Euler para columnas largas o muy esbeltas ...................................................... 9

3.1 LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER ................................................................................ 10

4 Columnas de Longitud intermedia, Formulas empíricas .................................................... 12

4.1 Otros métodos para columnas intermedias. ............................................................................. 13 4.1.1 Método de T.H. Johnson. ............................................................................................................................ 13 4.1.2 Método de Rankine-Gordon. ...................................................................................................................... 14 4.1.3 Método de Ros-Brunner. ............................................................................................................................ 16 4.1.4 Método de Desarrollo del cómputo a partir de Käpplein (1998). ............................................................... 18 4.1.5 Método de Fórmula de Tredgold ................................................................................................................ 19 4.1.6 Método de Fórmula de Ostenfeld ............................................................................................................... 19 4.1.7 Fórmula de la Asociación Americana de Ingenieros de Ferrocarriles ......................................................... 20 4.1.8 Fórmula del Column Research Council (CRC) .............................................................................................. 20 4.1.9 Formula Del Structural Stability Research Council (SSRC) ........................................................................... 20 4.1.10 Método AISC. ......................................................................................................................................... 21

5 COLUMNAS CARGADAS EXCENTRICAMENTE .................................................................... 23

5.1 La fórmula de la Secante ........................................................................................................... 24

6 PREDIMENCIONAMIENTO DE COLUMNAS ........................................................................ 27

6.1 Columna de Madera .................................................................................................................. 27 6.1.1 Método para predimensionar columna de madera .................................................................................... 27

6.2 Columna de Acero ..................................................................................................................... 28 6.2.1 Sección de la columna ................................................................................................................................. 29 6.2.2 Método para predimensionar la columna de acero ................................................................................... 29

6.3 Columna de Concreto Armado .................................................................................................. 30 6.3.1 Método para predimensionar columnas de concreto armado ................................................................... 31 6.3.2 Conocido Pu ................................................................................................................................................. 31 6.3.3 Conocido Pu y Mu ....................................................................................................................................... 33

7 Ejercicios de Reforzamiento ............................................................................................. 34

8 BIBLIOGRAFÍA.......................................................................................................... 38


COLUMNAS Página 3

1 INTRODUCCIÓN

Una columna en ingeniería estructural es un elemento estructural que transmite, a

través de compresión, el peso de la estructura sobre otros elementos estructurales

que se encuentran debajo. Estas pueden ser diseñadas para resistir las fuerzas

laterales del viento o de los movimientos sísmicos. Las columnas son

frecuentemente usadas para soportar vigas o arcos sobre los cuales las partes

superiores de las paredes o techos descansan. Las primeras columnas eran

construidas de piedras, sacadas de una pieza simple de roca,

usualmente rotándolas sobre un aparato parecido a un torno. Otras fueron creadas

de múltiples secciones de roca, pegadas con mortero o en seco. Las columnas

modernas son construidas de acero, concreto vertido o prefabricado, o de ladrillo.

Luego pueden ser revestidas en una cubierta arquitectónica o dejadas sin cubrir.

En el presente trabajo abordaremos la clasificación y métodos para dimensionar

una columna, como vimos en el párrafo anterior este elemento estructural cumple

un rol fundamental en edificaciones, es por eso que este modesto trabajo va

evocado para a difundir algunos conceptos y metodología de desarrollo de los

mismos.

Esperando que este trabajo sea del agrado del lector, así también como parte de su

aprendizaje o reforzamiento de lo que a continuación se verá.


COLUMNAS Página 4

Columnas

2 Definiciones

2.1 Columna.

La columna es un elemento sometido principalmente a compresión, por lo tanto el

diseño está basado en la fuerza interna, conjuntamente debido a las condiciones

propias de las columnas, también se diseñan para flexión de tal forma que la

combinación así generada se denomina flexocompresión.

Según el uso actual de la columna como elemento de un pórtico, no

necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la

compresión es el principal factor que determina el comportamiento del elemento. Es

por ello que el predimensionado de columnas consiste en determinar las

dimensiones que sean capaces de resistir la compresión que se aplica sobre el

elemento así como una flexión que aparece en el diseño debido a diversos factores.

Cabe destacar que la resistencia de la columna disminuye debido a efectos de

geometría, lo cuales influyen en el tipo de falla. Las columnas en este trabajo la

dividiremos en:

2.1.1 Columnas Largas: Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor de 10 veces la menor

dimensión transversal y su esbeltez mecánica se mayor igual a 100.

2.1.2 Columnas Intermedias: Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor a 10 veces la

menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica se encuentre entre 30 y 100.

En algunos casos las columnas cortas también forman parte de esta clasificación

(se dice columna corta cuando no cumple que su longitud es mayor a 10 veces la

menor dimensión transversal).

La diferencia entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento,

las columnas largas se rompen por pandeo o flexión lateral; las intermedias, por


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una combinación de aplastamiento y pandeo, y las columnas cortas, por

aplastamiento.

2.2 Comportamiento

Dentro de los requisitos fundamentales de una estructura o elemento

estructural están: equilibrio, resistencia, funcionalidad y estabilidad. En una columna

se puede llegar a una condición inestable antes de alcanzar la deformación máxima

permitida o el esfuerzo máximo. El fenómeno de inestabilidad se refiere al pandeo

lateral, el cual es una deflexión que ocurre en la columna (véase Figura 3); cuando

aparece incrementa el momento flector aplicado sobre el elemento, el aumento de

la deflexión agranda la magnitud del momento flector, creciendo así la curvatura de

la columna hasta la falla; este caso se considera inestable. Por ello la resistencia de

la columna sometida a compresión tiene dos límites, el de resistencia para columnas

cortas y el de estabilidad para columnas largas (véase Figura 1). La estabilidad es

así el nuevo parámetro que define además de la resistencia y la rigidez.

Figura 1. Disminución del esfuerzo de

trabajo a compresión según la esbeltez de

la columna. (Timoshenko y Young, 2000, p.

282)


COLUMNAS Página 6

2.3 Carga crítica

La deformación de la columna varía según ciertas magnitudes de cargas, para

valores de P bajos se acorta la columna, al aumentar la magnitud cesa el

acortamiento y aparece la deflexión lateral. Existe una carga límite que separa estos

dos tipos de configuraciones y se conoce como carga crítica Pcr (véase Figura 2).

Los factores que influyen en la magnitud de la carga crítica son la longitud de la

columna, las condiciones de los extremos y la sección transversal de la columna.

Estos factores se conjugan en la relación de esbeltez o coeficiente de esbeltez, el

cual es el parámetro que mide la resistencia de la columna. De esta forma para

aumentar la resistencia de la columna se debe buscar la sección que tenga el radio

de giro más grande posible, o una longitud que sea menor, ya que de ambas formas

se reduce la esbeltez y aumenta el esfuerzo crítico.


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2.4 Excentricidad

Cuando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice

que la carga es excéntrica y genera un momento adicional que disminuye la

resistencia del elemento, de igual forma, al aparecer un momento en los extremos

de la columna debido a varios factores, hace que la carga no actúe en el centroide

de la columna (véase Figura 4). Esta relación del momento respecto a la carga axial

se puede expresar en unidades de distancia según la propiedad del momento3, la

distancia se denomina excentricidad. Cuando la excentricidad es pequeña la flexión

es despreciable y cuando la excentricidad es grande aumenta los efectos de flexión

sobre la columna.


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2.5 Longitud efectiva

La longitud efectiva combina la longitud real con el factor defijación de extremos; Lt

= KL fue deducida para el caso de una columna con extremos articulados, o libres

de girar. En otras palabras. L en la ecuación representa la distancia no soportada

entre los puntos con momento cero. Si la columna que soportada en otras formas,

la fórmula de Euler se puede usar para determinar la carga crítica, siempre que ‘L”

represente la distancia entre puntos con momento cero. A esta distancia se le llama

longitud efectiva de la columna, Le. Es obvio que para una columna con extremos,

pero en figura (5-d). Para la columna con un extremo fijo y uno empotrado que se

analizó arriba, se encontró que la curva de deflexión fue la mitad de la de una

columna con sus extremos articulados, cuya longitudes 2L y así tenemos más

ejemplos con sus valores de longitud efectiva.

Para calcular la longitud efectiva se usaran las siguientes relaciones:

a. Columnas con extremos de pasador: Le=KL= 1.0(L) = L

b. Columnas con extremos fijos: Le=KL = 0,65(L)

c. Columnas con extremos libres: L,=KL = 2.10(L)

d. Columnas con pasadores fijos y el otro fijo: L,=KL=0.80(L)


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3 Fórmula de Euler para columnas largas o muy esbeltas

La fórmula de Euler es válida solamente para columnas largas y calcula lo que se

conoce como "carga critica de pandeo", esta es la última carga que puede soportar

por columnas largas, es decir, la carga presente en el instante del colapso.

La columna articulada en sus extremos, inicialmente recta homogénea, de sección

transversal constante en toda su longitud se comporta elásticamente.

Puede tener dos posiciones de equilibrio: recta o ligeramente deformada.

Se aplica una fuerza horizontal Q para y de

esto podemos inferir lo siguiente:

0CorteM M Py

De la ecuación de la elástica 2

2

d y M Py

dx EI EI

se obtiene.

2

20

d y Py

dx EI

Haciendo que 2 Pk

EI se escribe

2

2

20

d yk y

dx

Es una ecuación diferencial de segundo Orden

cuya solución es

cos( ) ( )y A kx Bsen kx

Aplicando las condiciones de frontera tenemos

que, x=0, y=0 que sustituyendo en la ecuación

0 cos(0) (0)A Bsen

0A

Para x=L, y=0 por lo tanto

0 (0)Bsen

B no puede ser 0 así que, sen KL = 0


COLUMNAS Página 10

La solución general seria:

kL n

P n

EI L

2 2

2

n EIP

L

Donde n describe todos los modos de pandeo, pero generalmente se toma n = 1,

resultando la fórmula:

2

2

EIP

L

3.1 LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER

Una columna tiende a pandearse siempre en la dirección en la cual es más flexible.

Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el valor de l en la

fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La

tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de

inercia mínimo de la sección recta.

La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir cl

pandeo no depende dc la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del

módulo elástico.

Por este motivo. Dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta

resistencia y otra de acero suave, se pandearan bajo la misma carga crítica, ya que

aunque sus resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo módulo

elástico. Así, pues, para aumentar la resistencia al pandeo, interesa aumentar lo

más posible el momento dc inercia de la sección. Para un área dada, el material

debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad y de tal manera

que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo

más parecidos posible. (Recuérdese el ejemplo clásico de la columna hueca de

sección circular.)


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Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el

pandeo no debe exceder al límite de proporcionalidad. Para determinar este

esfuerzo, se sustituye en la fórmula el momento de inercia (por Ar2, donde A es el

área dc la sección recta y r el radio de giro mínimo’. Para el caso fundamental se

tiene:

2

2

P E

A Lr

El valor P/A es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, y se

llama esfuerzo crítico. Su límite superior es el esfuerzo en el límite de

proporcionalidad. La relación L/r se llama esbeltez mecánica, o simplemente

esbeltez, de la columna. Como una columna cargada axialmente tiende a pandearse

respecto del eje I mínimo, para hallar la esbeltez de una columna se divide la

longitud equivalente o efectiva entre el radio de giro mínimo de la sección recta.

Por conveniencia, se definen como columnas largas o muy esbeltas aquellas a las

que se puede aplicar la fórmula de Euler. La esbeltez mínima, que fija el límite

inferior de aplicación de La fórmula dc Euler, se obtiene sustituyendo en la ecuación

los valores conocidos de límite de proporcionalidad y del módulo elástico de cada

material. Así, pues, el límite mínimo de La esbeltez varía con el material y también

con los diferentes tipos dentro de cada material.


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Por debajo de este valor, como se indica en la figura 6, en la parte punteada de La

curva de Euler el esfuerzo que daría la carga de Euler excederla al límite de

proporcionalidad, por Lo que para L/r < 100 la fórmula de Euler no es aplicable, y

hay que considerar corno esfuerzo crítico el [imite de proporcionalidad. La curva

muestra también que el esfuerzo critico en una columna disminuye rápidamente

cuando aumenta la esbeltez, por lo que al proyectar una pieza de este tipo, conviene

que la esbeltez sea la menor posible.

Finalmente se debe observar que la fórmula de Euler da la carga crítica y no la carga

de trabajo. Por ello es preciso dividir la carga crítica entre el correspondiente factor

de seguridad, que suele ser de 2 a 3 según el material y las circunstancias, para

obtener el valor de la carga admisible.

4 Columnas de Longitud intermedia, Formulas empíricas Lo visto anteriormente es aplicable para columnas del cual la esbeltez mecánica

sea mayor que el valor para el que el esfuerzo medio alcance el límite de

proporcionalidad.

A continuación veremos un gráfico para ver la zona de las columnas intermedios en

relación a las

columnas largas

y cortas


COLUMNAS Página 13

Se han desarrollado muchas fórmulas empíricas para las columnas intermedias de

acero, por ser un material muy empleado en las estructuras. Se examinan en primer

lugar, y luego se verá la aplicación a otros materiales. En uno de los métodos

propuestos el de “la teoría del doble módulo” se generaliza la aplicación de la

fórmula de Euler a las columnas intermedias, con esfuerzos sobre el límite de

proporcionalidad, sustituyendo el módulo elástico constante E por un módulo

reducido E , es decir,

2

2

P E

A Lr

El módulo reducido E , que también se llama módulo de tangente o tangencial, es

la pendiente de la tangente al diagrama de esfuerzo-deformación en el punto que

corresponde al esfuerzo medio en la columna. Esta fórmula proporciona una curva

que empalma las dos gráficas representativas dc las columnas cortas y largas.

Aunque este método es empírico, ya que la fórmula de Euler se basa en la

proporcionalidad esfuerzo-deformación, los ensayos reales demuestran una gran

concordancia con la curva teórica.

4.1 Otros métodos para columnas intermedias.

4.1.1 Método de T.H. Johnson.

Este método consiste en ajustar una recta a los valores medios de la serie de

numerosos ensayos graficando los valores de P/A así poder encontrar el valor de

rotura por pandeo, generando una ecuación de la siguiente forma:

P LC

A r


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En donde es el valor para L/r = 0

Así Tetmajer y Bauschinger ensayaron en acero estructural encontrando la

expresión

330 1.45P L

A r

110 0.483P L

A r

Afectado con un factor de seguridad de 3

4.1.2 Método de Rankine-Gordon.

Gordon sugirió una fórmula empírica para los elementos comprimidos basada en

datos experimentales. Rankine modificó la fórmula de Gordon. La demostración

siguiente desarrolla el razonamiento para esta fórmula.

FE = Carga crítica de Euler.

2

2

EIP

L

y se aplica a los puntales

FU =Última carga compresiva = (σU·A) y se aplica a las columnas.

σU = última tensión de compresión.

A = área de la sección.

Rankine sugirió que una columna cargada falla en su parte intermedia debido a la

compresión y al pandeo en más o menos grados.

De acuerdo con datos experimentales, se encuentra que una predicción razonable

de la carga crítica es dada por la fórmula siguiente.

1 1R

E U

FF F

Que arreglándola queda

E U

R

E U

F FF

F F


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RF = Carga crítica de Rankine

Sabemos que:

U UF A

2

2E

EIF

L

Entonces:

2

22

2

UR

U

A EAF

EAL Ar L

r

De esta manera haciendo acomodos:

2

1

UP

A Lr

Donde la forma muy utilizada de esta expresión, que se ha llamado Rankine-

Gordon, es:

𝑃

𝐴=

124

1 +1

18𝑥103 (𝐿

𝑟)

2 𝑀𝑃𝑎

Donde detallaremos a

continuación un gráfico de

comparación entre Euler y

Rankine.


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4.1.3 Método de Ros-Brunner.

El método Ros-Brunner (1926) es el utilizado como base de cálculo del método que

se utiliza en el presente proyecto de Käpplein. Es una base estructural a la que

Käpplein le incorporó el análisis térmico. La base de cálculo es la misma que el

anterior sobre la carga crítica de Euler pero en sus cálculos tiene en cuenta además

la excentricidad. Ésta tiene en cuenta la provocada por la desviación entre la pared

interna y externa de la columna y además la excentricidad del centro de la columna

respecto a los extremos (pandeo inicial). A partir de ahí elaboró una serie de gráficos

adimensionales para el cálculo de las columnas.

La figura anterior muestra un ejemplo de uno de los gráficos de Ros-Brunner.

Tienen en cuenta los siguientes parámetros:

1- la relación entre el espesor de la columna y su diámetro exterior. El ejemplo

de la figura anterior tm/da= 0.1


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2- la esbeltez reducida D

O

R

E

donde los parámetros son:

a. λ = esbeltez mecánica de la columna y se calcula mediante la fórmula:

L

i Donde L es la longitud física de la columna e i (radio de giro)

Siendo I y A el momento de inercia y el área de la sección transversal

respectivamente.

b. RD es la capacidad última a compresión del material.

c. E0 es el módulo de elasticidad del material.

3- σkr es el valor de la tensión admisible, es el valor que buscamos a partir de

RD teniendo en cuenta las disminuciones por esbeltez reducida y por

excentricidades referidas.

4- m es el valor de la excentricidad referida de la columna. Se calcula mediante

la siguiente expresión:

em

k

, donde 1 2e e e y 1

2

e iD De t

siendo eD y iD el

diámetro exterior e interior respectivamente y tmin el espesor mínimo de la

sección; y e2 es la desviación de la pared exterior de la columna en su

longitud media respecto a los extremos. (Puede interpretarse como pandeo

inicial)

Wk

A Donde W es el módulo resistente de la sección y A es el área de la

sección. Sabiendo que el módulo resistente es igual al momento de inercia

dividido por el radio, la fórmula anterior queda simplificada a la siguiente

expresión

2 2

8

e i

e

D Dk

D


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4.1.4 Método de Desarrollo del cómputo a partir de Käpplein (1998).

La base de la prueba de cómputo de la capacidad de carga de las columnas de

fundición a temperatura ambiente se basa en la teoría a partir de Ros/ Brunner

(1926). Para su uso práctico se desarrolló un diagrama adimensional de la

capacidad de tensión portante. Para poder utilizar el procedimiento a partir de Ros/

Brunner, es necesario conocer la curva tensión-deformación. La capacidad de carga

a temperatura ambiente será proporcional a temperaturas más altas. Igualmente los

coeficientes relativamente altos de una aleación de fundición gris van acompañado

a la temperatura ambiente también de rigideces superiores en temperaturas altas.

Mediante probetas se realizaron ensayos de tensión deformación en función de

diferentes temperaturas realizados en pruebas de laboratorio y se obtuvo la

siguiente gráfica:


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4.1.5 Método de Fórmula de Tredgold

Es una de las más antiguas. Se la conoce desde 1886. Fue adoptada por Gordon

para representar los resultados experimentales de Hodgkinson, si bien

posteriormente fue modificada por Rankine. La tensión media compresora

σU admitida, según este autor, deberá ser:

Siendo a y b dos constantes, función del material utilizado. El Instituto Americano

para la Construcción en Acero en 1928 la expresó así:

4.1.6 Método de Fórmula de Ostenfeld

Data de 1898. La Fatiga Crítica para el acero de construcción, según este autor,

se expresa así:

Esta parábola es tangente a la curva de Euler en λ = 122,5 y da lugar a

Los coeficientes de seguridad a adoptar, según

Ostenfeld, se sitúan entre 2.5 y 3


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4.1.7 Fórmula de la Asociación Americana de Ingenieros de Ferrocarriles

En este caso, las fórmulas se refieren a la Fatiga admitida σU.

4.1.8 Fórmula del Column Research Council (CRC)

Aplicable solamente para barras y columnas de acero. En todo lo que

sigue, σCR representa el valor límite o "Crítico" de la tensión media P/A.

Se define a: que, según esta organización, fija el límite entre el

pandeo elástico e inelástico.

Según el valor de λ de la columna de acero se aplicará:

4.1.9 Formula Del Structural Stability Research Council (SSRC)

Este organismo propuso en 1976, como consecuencia de sus resultados

experimentales, un conjunto de fórmulas distintas, según material, tipo de perfil y

proceso de fabricación. De entre todas ellas, la más utilizada para construcciones

de acero es la denominada nº 2.

Definiendo a se aplican las siguientes reglas:


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4.1.10 Método AISC.

El AISC’ (American Institute of Steel Construction) define el límite entre columnas

intermedias y largas como el valor de la relación de esbeltez Cc dado por

22c

PC

EC

Donde E es el módulo de elasticidad (200 GPa para la mayoría de los tipos de acero)

y PC es el esfuerzo en el pun lo de cedencia para el tipo particular de acero

empleado. Para columnas dc longitud efectiva L, y radio dc giro mínimo r, cl AISC

especifica que para L/r>Cc, el esfuerzo de trabajo T , está dado por

2

2

12

23

T

e

E

Lr

(Nótese que ésta es la fórmula de Euler con un factor de seguridad de 23/12 =1.92.)

Para Le/r < Cr, el AISC especifica la fórmula parabólica donde el factor de seguridad,

FS, está dado por


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3

3

35

3 8 8

e e

c c

L Lr r

FSC C

Obsérvese que el factor de seguridad es 1 .92 cuando Le/r = c y disminuye al

aumentar la relación de esbeltez. La T variación de con Le/r para diferentes tipos

de acero se muestra


COLUMNAS Página 23

5 COLUMNAS CARGADAS EXCENTRICAMENTE

Las columnas se suelen diseñar para soportar cargas axiales, y las fórmulas que se

han expuesto lo han sido con este criterio. Sin embargo, en ocasiones las columnas

pueden estar sometidas a cargas con una determinada excentricidad, por ejemplo,

cuando se remacha una viga al ala de una columna en la estructura de un edificio.

La fórmula de la secante que se estudia lo veremos a continuación es especialmente

adecuada para tales casos, pero su aplicación numérica es tan engorrosa que suele

emplearse con frecuencia el procedimiento simplificado que se indica a continuación

Se estudia la columna excéntricamente cargada como si fuera, en lo que se refiere

a los esfuerzos, un elemento Corto cargado excéntricamente. Pero para eliminar la

posibilidad del pandeo, de manera que pueda despreciarse el efecto de la flexión

en el brazo de momento de la fuerza o carga excéntrica, se limita el esfuerzo

máximo de compresión a la carga unitaria calculada con una cualquiera de las

fórmulas expuestas en las secciones anteriores.

Aplicando este procedimiento a la columna, que soporta una carga axial P0 y una

carga P con excentricidad e, el criterio de dimensionado debe ser:

𝜎 ≥Σ𝑃

𝐴+

𝑀𝑐

𝐼=

𝑃𝑜 + 𝑃

𝐴 +

𝑃𝑒

𝑆

En donde 𝜎 es la carga unitaria de seguridad, calculada por una de las fórmulas

dadas de las columnas (tomando como radio de giro para la determinación de la

esbeltez siempre el menor, aunque la excentricidad no sea en esa dirección), l

momento de inercia correspondiente al eje con respecto al que se produce la flexión

(eje X-X en la Fig. 11) y S el módulo resistente respecto del mismo eje.

Los modernos criterios de diseño han refinado el planteamiento de máximo esfuerzo

para incluir los momentos, llamados secundarios, que se introducen debido a la

deflexión del eje neutro (el llamado efecto P-ô). Estos efectos toman la forma, muy


COLUMNAS Página 24

frecuentemente, de ecuaciones de interacción, que intentan sopesar la importancia

relativa del esfuerzo axial y del esfuerzo por flexión.

5.1 La fórmula de la Secante

La fórmula de Euler fue deducida suponiendo que la carga P siempre seaplica

pasando por el centroide del área transversal de la columna, y que iacolumna es

perfectamente recta. En realidad esto no es realista, ya quelas columnas fabricadas

nunca son perfectamente rectas, ni la aplicación de la carga se conoce con gran

exactitud. Entonces, en realidad las columnas nunca se pandean de repente; más

bien comienza a doblarse, aunque siempre en forma muy insignificante,

inmediatamente después de aplicarla carga. El resultado es que el criterio real para

aplicación de la carga se limita ya sea a una deflexión especificada de la columna,

o no permitiendo que el esfuerzo máximo en la columna rebase un valor admisible.

Para estudiar este efecto aplicaremos la carga P a la columna, a una corta distancia

excéntrica e del centroide de la sección transversal. Esta carga en la columna es

equivalente. Estáticamente a la carga axial P y a un momento de flexión M’= Pe.


COLUMNAS Página 25

Como se ve, en ambos casos los extremos A y B están soportados de modo que

son libres de girar (están articulados). Como antes, sólo se considerarán pendientes

y deflexiones pequeñas, y que el comportamiento del material es elástico lineal.

Además, que el plano x-v es plano de simetría para el área transversal.

De acuerdo con el diagrama de cuerpo Libre de la sección arbitraria, el momento

interno en la columna es

( )M P e v

Se puede considerar que

estas columnas de

madera están articuladas

en su base y empotradas

en las vigas en sus

extremos superiores. La

flexión de las vigas hará

que las columnas estén

cargadas excéntricamente

En consecuencia la

deflexión es

2

2( )

d vEI P e v

dx .

De la ecuación diferencial de 2do grado resolvemos y tenemos:

1 2( ) cos( )P P

v C sen x C x eEI EI

Utilizamos las condiciones de frontera y obtenemos

2C e y 1

1 cos Pe LEI

CPsen L

EI

Resolviendo obtenemos que la curva de deflexión de la siguiente manera:


COLUMNAS Página 26

tan cos 12

LP P Pv e sen x xEI EI EI

Debido a la simetría cuando x= L/2 obtenemos el valor

máximo.

max sec 12

LPv eEI

El esfuerzo máximo se puede hallar al tener en cuenta que se debe tanto a la carga axial como al momento. El momento máximo está en el centro de la columna

max( )M P e v

. .sec2

LPM P eEI

El esfuerzo máximo es de compresión y su valor es

.P M cM

A I

max

. .sec

2

P P e c LPEIA I

Como el radio de giro es 2 /r I A y de esto podemos

deducir la fórmula de la secante:

max 2

.1 sec

2

P e c L PEAA r


COLUMNAS Página 27

6 PREDIMENCIONAMIENTO DE COLUMNAS

6.1 Columna de Madera

Las columnas de madera pueden ser de varios tipos: maciza, ensamblada,

compuesta y laminadas unidas con pegamento. De este tipo de columnas la

maciza es la más empleada, las demás son formadas por varios elementos.

6.1.1 Método para predimensionar columna de madera

La ecuación de análisis se realiza según los esfuerzos y se expresa de forma

simple tal como lo indica la Ecuación 3 (Parker y Ambrose, 1995).

𝑓𝑎

𝐹𝑎+

𝑓𝑏

𝐹𝑏≤ 1

Donde:

𝑓𝑎 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙. 𝑓𝑎 =𝑃

𝐴

𝐹𝑎 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖ò𝑛. 𝐹𝑎 = 𝐹𝑐∗𝐶𝑝

𝑓𝑏 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛, 𝑓𝑏 =𝑀

𝑆

𝐹𝑏 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

𝐹𝑐 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑎 𝑣𝑒𝑡𝑎

𝐶𝑝 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑔ú𝑛: 𝐶𝑝 = 𝑚 − √𝑚2 − 𝑛

Donde:

𝑚 =1 +

𝐹𝑐𝐸

𝐹𝑐∗

2𝑐

𝑛 =

𝐹𝑐𝐸

𝐹𝑐∗

𝑐


COLUMNAS Página 28

𝐹𝑐𝐸 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛𝑑𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑠𝑒𝑔ú𝑛 ∶ 𝐹𝑐𝐸 =𝐾𝑐𝐸𝐸

(𝐿

𝑑)

2

Donde: 𝐾𝑐𝐸=0,3 madera clasificada; 0,418 madera unida con pegamento;

E = módulo de elasticidad;

L = longitud sin arriostrar;

d = menor dimensión de la sección transversal.

𝑐 =0,8 madera aserrada; 0,85 secciones circulares; 0,9 madera laminada con pegamento;

6.2 Columna de Acero

El diseño de las columnas de acero se basa en la desigualdad de la ecuación del diseño

por estados límites y se presenta en la forma indicada en la ecuación (*). La esencia de la

ecuación es que la suma de los efectos de las cargas divididas entre la resistencia

minorada debe ser menor o igual a la unidad (Segui, 2000).

Σ𝛾𝑖𝑄𝑖

𝜙𝑅𝑛 ≤ 1

Donde:

Σ𝛾𝑖𝑄𝑖 = Suma de los efectos de cargas;

𝜙𝑅𝑛 = Resistencia disminuida de la columna

Perfiles usados para columnas

Secciones transversales típicas de columnas de acero (McCormac, 1996, p.99)


COLUMNAS Página 29

Secciones transversales típicas de columnas de acero (McCormac, 1996, p.99)

6.2.1 Sección de la columna La resistencia correspondiente a cualquier modo de pandeo no puede desarrollarse si los

elementos de la sección transversal son tan delgados que se presenta un pandeo local. Por

lo tanto existe una clasificación de las secciones transversales según los valores límite de

las razones ancho-espesor y se clasifican como compactas, no compactas o esbeltas.

En general, dentro de los límites de los márgenes disponibles y teniendo en cuenta

las limitaciones por espesor, el diseñador usa una sección con el radio de giro más

grande posible, reduciendo así la relación de esbeltez e incrementando el esfuerzo

crítico. (Galambos, Lin, y Johnston, 1999; Segui, 2000)

6.2.2 Método para predimensionar la columna de acero Para perfiles que no se encuentren en las tablas de cargas para columnas debe usarse un

procedimiento de tanteos. El procedimiento general es suponer un perfil y luego calcular su

resistencia de diseño. Si la resistencia

es muy pequeña (insegura) o demasiado grande (antieconómica), deberá hacerse

otro tanteo. Un enfoque sistemático para hacer la selección de tanteo es como sigue:

− Seleccionar un perfil de tanteo.

− Calcular Fcr y øc Pn para el perfil de tanteo.


COLUMNAS Página 30

− Revisar con la fórmula de interacción, si la resistencia de diseño es muy cercana al

valor requerido puede ensayarse el siguiente tamaño tabulado. De otra manera,

repetir todo el procedimiento. (Segui, 2000)

Si: 𝑃𝑢

𝜙𝑐𝑃𝑛≥ 0,2 =>

𝑃𝑢

𝜙𝑐𝑃𝑛+

8

9(

𝑀𝑢

𝜙𝑏𝑀𝑛) ≤ 1

Si: 𝑃𝑢

𝜙𝑐𝑃𝑛< 0,2 =>

𝑃𝑢

2𝜙𝑐𝑃𝑛+ (

𝑀𝑢

𝜙𝑏𝑀𝑛) ≤ 1

Donde:

𝑃𝑢 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎;

𝑃𝑛 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛𝑑𝑒𝑜, 𝜙𝑐𝑃𝑛 = 𝜙𝑐𝐹𝑐𝑟𝐴;

𝑀𝑢 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜;

𝑀𝑛 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝜙𝑏𝑀𝑛 = 𝜙𝑏𝐹𝑦𝑍 ;

𝐹𝑦 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜;

𝐹𝑐𝑟 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛𝑑𝑒𝑜;

𝜙 = 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝜙𝑐 = 0,85; 𝜙𝑏 = 0,90 .

6.3 Columna de Concreto Armado

Las columnas de concreto armado pueden ser de tres tipos que son:

− Elemento reforzados con barras longitudinales y zunchos.

− Elementos reforzados con barras longitudinales y estribos,

− Elementos reforzados con tubos de acero estructural, con o sin barras

longitudinales, además de diferentes tipos de refuerzo transversal

Para las columnas de concreto armado, la cuantía de acero 4 oscila entre 1 y 8% con un

mínimo de 4 barras longitudinales (Nilson y Winter, 1994).


COLUMNAS Página 31

Tipos de columnas de concreto armado. (Nilson y Winter, 1994, p.20; McCormac, 1996, p.479)

6.3.1 Método para predimensionar columnas de concreto armado Existen dos tipos de métodos para predimensionar las columnas de concreto armado,

el primero es una aproximación, ya que se basa en la carga axial únicamente,

debido a que esta carga es fácil de obtener por métodos aproximados para cálculos

preliminares de pórticos. El segundo método es más preciso y está basado en la carga

axial y el momento flector conocido, valores que son los necesarios para diseñar una

columna.

6.3.2 Conocido Pu Existen una gran variedad de fórmulas para predimensionar columnas con Pu conocido,

solo se presenta dos tipos.

Método sugerido por Nilson y Winter

Las dimensiones de las columnas se controlan principalmente por cargas axiales, aunque

la presencia de momento incrementa el área necesaria. Para columnas interiores,

donde el incremento de momento no es apreciable un aumento del 10% puede ser

suficiente, mientras que para columnas exteriores un incremento del 50% del área sería

apropiado (Nilson y Winter, 1994).


COLUMNAS Página 32

Método sugerido por Arnal y Epelboim

El área de concreto armado puede estimarse por la fórmula (Arnal, y Epelboim, 1985)

𝐴𝑐 =𝑃𝑢

𝛼𝜙𝑓𝑐∗

Donde:

Ac = Area de la columna,

= Factor según la posición de la columna indicada en la tabla siguiente

Tabla de Factores 𝜶 según la ubicación de la columna

Tipo de columna 𝜶

Esquina 0,20

Borde 0,25

Central 0,28

Diagrama de interacción para la resistencia nominal de una columna (Nilson y Winter, 1994, p.244)


COLUMNAS Página 33

6.3.3 Conocido Pu y Mu

Este método está basado en el empleo de ábacos basados en diagramas de interacción de

resistencia que definen la combinación de carga axial y momento flector de falla para una

columna determinada, con un intervalo completo de excentricidades desde cero hasta

infinito. Los pasos para obtener las dimensiones

Son:

a) Calcular la excentricidad 𝑒 𝑒 =𝑀𝑢

𝑃𝑢;

b) Seleccionar la cuantía de acero ρ=[0,02; 0,03] y calcular 𝜔 =𝜌𝑓𝑦

0.85𝑓𝑐∗

c) escoger un valor tentativo para h o D y escoger el ábaco con 𝑦 =ℎ−2𝑟

ℎ o 𝑦 =

𝐷−2𝑟

𝐷

d) calcular el valor 𝑒

ℎ o

𝑒

𝐷 con el valor de h o D del paso anterior y trazar una

línea radial que represente este valor 𝑒

ℎ 𝑜

𝑒

𝐷=

𝜇

𝑣

e) donde corta la línea radial 𝑒

ℎ o

𝑒

𝐷 con la curva ω leer el correspondiente ν;

f) calcular el área requerida Ag con 𝐴𝑔 =𝑃𝑢

𝜙0.85𝑓𝑐′𝑣

g) Calcular 𝑏 =𝐴𝑔

ℎ 𝑜 𝐷 = √

4𝐴𝑔

𝜋

h) Si es necesario revisar el valor tentativo de h para obtener una sección bien

proporcionada 𝑏

ℎ = [0,6;1]o si es el mismo valor para D (Nilson y Winter, 1994).

Dimensiones mínimas de una columna de concreto armado

20x20 o 30x30 para zona sísmica.


COLUMNAS Página 34

7 Ejercicios de Reforzamiento

Ejercicio 1

Escoger el perfil W más ligero para una columna de 8m de longitud con extremos

empotrados que ha de soportar una carga de 270 kN con un coeficiente de

seguridad de 2,5. El límite de proporcionalidad es de 200MPa y E= 200 GPa.

Resolución:

Tenemos una carga crítica de Euler de 270 kN. Además:

𝐿𝑒 =𝐿

2=

8

2= 4𝑚 (𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜)

𝐹𝛿 = 2.5

E = 200 GPa

Dónde la carga de trabajo es 2,5(270) = 675

𝐼 ≥𝑃𝐿2

𝐸𝜋2 =

(675𝑥103)(4)2

(200𝑥109)𝜋2= 5,47𝑥10−6𝑚4 ≥ 5,47𝑥106𝑚𝑚4

𝑟 ≤𝐿

100=

4000

100= 40𝑚𝑚

Escogemos W200 x 36:

𝐼 = 7,64𝑥106𝑚𝑚4

𝑟 = 40,9 𝑚𝑚

Considerando el límite de proporcionalidad:

𝐴 ≥675𝑥103

200𝑥106= 3375𝑥10−3𝑚2 => 𝐴 ≥ 3375𝑚𝑚2

Escogemos un W200 x 36:

𝐴 = 4580 𝑚𝑚2

𝑟 = 40,9𝑚𝑚

.: Seleccionamos un perfil W200 x 36


COLUMNAS Página 35

Ejercicio 2

Cuatro ángulos de 100x100x10mm se unen mediante placas en celosía para formar

una sección compuesta, como se indica en la figura. Aplicando las especificaciones

de la AISC, con σPC=290MPa, determinar la longitud máxima que puede tener si

ha de soportar una carga de 500kN. ¿Cuál debe ser la longitud libre entre ángulos,

de manera que su esbeltez sea, como máximo, igual a las tres cuartas partes de la

correspondiente a la sección compuesta?

Resolución:

Tenemos los datos:

P=550 kN

σpc=290 MPa

L= ?

Para el ángulo: (de tabla)

A’=1920 mm2

r’=20,4mm

l’=177x106mm6

x’=28,2mm

Para la sección compuesta:

I=Σ(Ii + Aidi2) y di = s – x = 125 – 28,2

di= 96,8mm

250mm

250mm

L100x100x10

S

X

100

X


COLUMNAS Página 36

I=4(1,77x106 + 1920x96,82) = 4(19,76x106)

A= ΣAi =4A’ = 4(1920) = 7680 mm2

𝑟 = √𝐼

𝐴= √

4𝑥19,76𝑥106

4(1920)= 101𝑚𝑚

La relación de esbeltez límite es:

𝐶𝑐 = √2𝜋2𝐸

𝜎𝑝𝑐= √

2𝜋2(200𝑥109)

290𝑥106= 117

Asumimos:

a) L=Le (extremos articulados)

b) Le/r > Cc

Entonces, aplicando:

𝜎 =𝑃

𝐴=

12𝜋2𝐸

23 (𝐿𝑒

𝑟)

2 => 𝐿𝑒

𝑟= √

12𝜋2𝐸

23(𝑃

𝐴)

Reemplazando valores obtenidos:

𝐿𝑒

𝑟= √

12𝜋2(200𝑥109)

23(500𝑥103

7680𝑥10−6)= 125,8

Cumple b) Le/r = 125,8 > Cc =117

L = Le = 125,8(101) => L=12,7

Para obtener la separación libre entre ángulos:

𝐿′

𝑟′=

3

4(

𝐿𝑒

𝑟) =

3

4(125,8) = 94,35

De donde: L’ = 94,35(30,4) = 2,8m

Verificamos que el esfuerzo σmáx > σaplicado

𝐹𝑠 =5

3+

3 (𝐿𝑒

𝑟)

8𝐶𝑐−

(𝐿′

𝑟′)3

8𝐶𝑐3 = 1,9

𝜎𝑇 = [1 −(

𝐿′

𝑟′)2

2𝐶𝑐2]𝜎𝑝𝑐

𝐹𝑠 => 𝜎𝑇 = [1 −

(94,35)2

2(117)2]

290𝑥106

1,9= 103 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 =𝑃

𝐴=

500𝑥103

7680𝑥10−6= 65 < 𝜎𝑇


COLUMNAS Página 37

Ejercicio 3

Un perfil W360x134 va emplearse como columna con una longitud de 9m. La

columna soporta una carga axial de 260 kN y una excentricidad de 360kN, que

actúa sobre el eje Y. Determinar la excentricidad máxima de carga de 360kN

usando el método del máximo esfuerzo y la fórmula lineal de la ecuación:

𝑃

𝐴= 110 − 0.483 (

𝐿

𝑟)

Resolución:

De la tabla, las propiedades del perfil W360x124 son:

A= 17 100mm2

Sx= 2330x103mm3

ry= 94mm

Además: L=9m

Se tiene una relación de esbeltez de: 𝐿

𝑟=

9000

94 = 95,7 => 30<

𝐿

𝑟 <120

Podemos aplicar la fórmula lineal:

𝜙𝑇 = 110 − 0,483 (𝐿

𝑟) = 110 − 0,483(95,7) = 63,7 𝑀𝑃𝑎

Para calcular la excentricidad usamos el criterio del máximo esfuerzo:

𝜙 =Σ𝑃

𝐴+

𝑀

𝑆 => 63,7𝑥106 =

260𝑥103+360𝑥103

17100𝑥10−6 +𝑒(360𝑥103)

2330𝑥10−6

De donde: 𝑒 = 0,178𝑚 => 𝒆 = 𝟏𝟕𝟖𝒎𝒎


COLUMNAS Página 38

8 BIBLIOGRAFÍA

Machanics Of Materials - R.C. Hibbeler

Resistencia de Materiales Aplicada - Robert L. Mott

Resistencia de Materiales - Pytel - Singer

Resistencia de Materiales - James M. Gere

Mecánica de Materiales – Timoshenko

diseño de estructuras de acero - Mccormac

http://www.efn.unc.edu.ar/departamentos/estruct/mec1_ic/cap9.pdf

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COLUMNAS

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75

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