FactorizaciónScherzer

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Raúl Alberto Scherzer GarzaAlcalde 582 Guadalajara, Jalisco, México

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La factorización o escríbelo como una multiplicación

Factor común,factorización por agrupación y

por fórmula.

Las ocho factorizaciones básicas.

Se inventaron como un procedimiento para convertir las sumas y restas de polinomios

en productos o multiplicaciones.

Las ocho factorizaciones.

Factor común.

Porfórmula

Por agrupación.

Diferencia de cuadrados x2 − y2 = (x + y)(x − y)

Diferencia de cubos x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2)Suma de cubos x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)

Trinomio cuadrado perfecto.Trinomio de la forma x2 + bx + c.Trinomio de la forma ax2 + bx + c.

FACTOR COMÚN

Factorización por término o factor común.

Las reglas para encontrar el factor común son:

1) Se toma del polinomio la literal o letra que se repita en todos los términos pero que sea la de menor exponente.

2) Se toma, si existe, el divisor mayor diferente de 1 que divida a todos los coeficientes o números del polinomio.

3) Con los elementos tomados en el paso 1 y 2 formamos el que llamaremos el término o factor común, luego dividiremos al polinomio entre el factor común y el resultado de la división será el otro factor.

Factorización por término o factor común.

1) a2 + ab =2) b + b2 =3) x2 + x =4) 3a3 − a2 =5) x3 − 4x4 =6) 5m2 + 15m3 =7) ab − bc =8) x2y + x2z =9) 2a2x + 6ax2 =10)9a3x2 − 18ax3 =

a(a + b)b(1 + b)xa2 (3a − 1)x3 (1 − 4x)

5m2(1 + 3m)b(a − c)x2 (y + z)

2ax (a + 3x)9ax2 (a2 − 2x)

(x + 1)

Ejemplos donde el factor común es un polinomio.

a(x+1) + b(x+1) = (x+1)(a+b)

x(a+1) − 3(a+1) = (a+1)(x−3)

2(x−1) + y(x−1) = (x−1)(2+y)

m(a−b) + (a−b)n = (a−b)(m+n)

2x(n−1) − 3y(n−1) = (n−1)(2x−3y)

a(n+2) + n+2 = (n+2)(a+1)a(n+2) + 1(n+2) =

a2+1 − b(a2+1) = (a2+1)(1−b)1(a2+1) − b(a2+1) =

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN

Factorización por agrupación.

Factorizara2 + ab + ax + bxa(a + b) + x(a + b) = (a + b)(a + x)

Factorizaram − bm + an − bnm(a − b) + n(a − b) =(a − b)(m + n)

Factorizarax − 2bx − 2ay + 4byx(a − 2b) − 2y(a − 2b) = (a − 2b)(x − 2y)

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULADIFERENCIA DE CUADRADOS.

Diferencia de cuadrados.Factorizar.x2 − y2 = (x + y)(x − y)

36x4 − 49x10 = (6x2 + 7x5)(6x2 − 7x5)

16a2 − 25b6 = (4a + 5b3)(4a − 5b3)

1 − 4m2 = (1 + 2m)(1 − 2m)

a2b8 − c2 = (ab4 + c)(ab4 − c)

4a2 − 9 = (2a + 3)(2a − 3)

100 − x2y6 = (10 + xy3)(10 − xy3)

25x2y4 − 121 = (5xy2 + 11)(5xy2 − 11)

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULADIFERENCIA DE CUBOS.

Diferencia de cubos.Factorizar.x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2)

a3 − 8 = (a − 2)(a2 + 2a + 4)

27a3 − b6 = (3a − b2)(9a2 + 3ab2 + b4)

64a3 − 729 = (4a − 9)(16a2 + 36a + 81)

x3y6 − 216y9 = (xy2 − 6y3)(x2y4 + 6xy5 + 36y6)

a3b3x3 − 1 = (abx − 1)(a2b2x2 + abx + 1)

8a3 − 27b6 = (2a − 3b2)(4a2 + 6ab2 + 9b4)

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULASUMA DE CUBOS.

Suma de cubos.Factorizar.x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)

a3 + 8 = (a + 2)(a2 − 2a + 4)

27a3 + b6 = (3a + b2)(9a2 − 3ab2 + b4)

64a3 + 729 = (4a + 9)(16a2 − 36a + 81)

x3y6 + 216y9 = (xy2 + 6y3)(x2y4 − 6xy5 + 36y6)

a3b3x3 + 1 = (abx + 1)(a2b2x2 − abx + 1)

8a3 + 27b6 = (2a + 3b2)(4a2 − 6ab2 + 9b4)

Trinomio Cuadrado Perfecto

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.x2 ± 2xy + y2 = (x ± y)2

Estando ordenado se toma la raíz del primero el signo del segundo y la raíz del tercero.

Factorizar9b2 − 30a2b + 25a4 = (3b − 5a2)2

49a2 − 14a + 1 = (7a − 1)2

36 + 12m2 + m4 = (6 + m2)2

y4 + 1 + 2y2 = y4 + 2y2+ 1 = (y2 + 1)2

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULATRINOMIO DE LA FORMA X2+BX+C.

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c.Se ordena en forma descendente se saca raíz al primer término y se coloca la misma como el primer término en un par de paréntesis, luego se buscan dos números que sumados o restados den el coeficiente del segundo término, pero que multiplicados los mismos números den el coeficiente del tercer término con todo y signo. Esos números son respectivamente los segundos términos del par de paréntesis.

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c.

Factorizarx2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) Se observa que:

2 + 5 = 7 y 2 x 5 = 10

Factorizarx2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Se observa que:

2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6

Factorizarx2 − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) Se observa que:

−3 −4 = −7 y(−3)x(−4) = 12

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c.

Factorizarx2 + 2x − 15 = (x − 3)(x + 5)

Se observa que:−3 + 5 = 2 y

(−3)x(5) = −15Factorizarx2 − 5x − 14 = (x − 7)(x + 2)

Se observa que:−7 + 2 = −5 y

(−7)x(2) = −14Factorizara2 − 13a + 40 = (a − 5)(a − 8) Se observa que:

−5 −8 = −13 y(−5)x(−8) = 40

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULATRINOMIO DE LA FORMA AX2+BX+C.

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma ax2+bx+c.Método de las tijeras.Ordenado el polinomio se descompone el primer y tercer términos, en cuatro términos que se colocan en las esquinas de un rectángulo, los primeros del lado izquierdo y los segundos del lado derecho. Luego se obtienen dos términos de multiplicar las diagonales y con ellos se efectúa la suma algebraica, si se obtiene el segundo término del trinomio, la factorización se hace sumando los dos términos superiores del rectángulo por la suma de los dos inferiores.

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Factorizar6x2 − 7x − 3 =

2x

3x

− 3

1

− 9x

2x

− 7x Segundo término

(2x − 3)(3x + 1)

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Factorizar20x2 + 7x − 6 =

4x

5x

3

− 2

15x

− 8x

7x Segundo término

(4x + 3)(5x − 2)

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Factorizar18a2 − 13a − 5 =

a

18a

− 1

5

− 18a

5a

− 13a Segundo término

(a − 1)(18a + 5)

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