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Trabajo colaborativo 2
Luis Eduardo Ordoñes
German Lopez
Maicol Douglas Mora Perdomo
Yesenia Andrea Barrera
Grupo: 100412_176
Tutora: Yenifer Elizabeth Galindo
Universidad nacional abierta y a distancia UNAD
Escuela de ciencias básicas, tecnología e ingeniería.
Curso: ecuaciones diferenciales
2015
Introducción
En este documento se desarrolla la segunda actividad colaborativa del curso de ecuaciones diferenciales, esta actividad está basada en un problema planteado y al cual se le ha de dar solución según las temáticas estudiadas en la unidad número dos del curso, disponibles en el entorno de conocimiento. Para el desarrollo de esta actividad colaborativa estudiamos las temáticas de Ecuaciones diferenciales de orden superior y también se estudiaron las leyes de amortiguación de un resorte, como la ley de Hooke y sistemas masa-resorte.
Objetivos
Objetivos generales
- Estudiar las temáticas de la unidad número dos del curso.
- Poner a prueba nuestros conocimientos con respecto a la unidad.
- Exponer nuestros conocimientos previos al trabajo colaborativo.
- Estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas y de
orden superior.
Objetivos específicos
- Solucionar el trabajo colaborativo número dos del curso.
- Trabajar con las temáticas expuestas en el curso para esta unidad.
- Evaluar los conocimientos adquiridos durante esta unidad.
- Analizar y dar solución al ejercicio planteado.
- Utilizar las ecuaciones y formulas de la unidad para solucionar el problema
planteado.
Actividad
Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se
le aplica una velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas
de amortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación de
movimiento de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. ¿Cuánto
tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de
equilibrio?
Como estamos en el caso de una vibración simple no amortiguada, tenemos la ecuación.
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+
𝑘
𝑚𝑥 = 0
Cuya solución generales
𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠 (√𝑘
𝑚𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 (√
𝑘
𝑚𝑡) . 𝑐1. 𝑐2 𝐸𝑅.
Para encontrar k observamos que la masa de 4 lb, estira el resorte 3 pulgadas o ¼ pie.
Empleando la ley de Hooke, se tiene
4 = 𝑚𝑔 = 𝑘1
4
Lo que implica 𝑘 = 16 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒 como 𝑔 = 32 𝑝𝑖𝑒/𝑠𝑒𝑔², se tiene que 𝑚 =4
32=
1
8 𝑠𝑙𝑢𝑔 y
por lo tanto
√𝑘
𝑚= √
16
18
= 8√2.
Luego
𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠(8√2𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(8√2𝑡)
Imponiendo nuestras condiciones inicial son: 𝑥 (0) = 3 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 =1
4 𝑝𝑖𝑒 y 𝑥 (0) =
√2 𝑝𝑖𝑒 /𝑠𝑒𝑔 , tenemos
1
4= 𝑥(0) = 𝑐1
2
√2= 𝑥(0) = 8√2𝑐2
Lo que implica 𝑐1 =1
4𝑦 𝑐2 =
1
8 por consiguiente la ecuación del movimiento de la masa es
𝑥(𝑡) =1
4𝑐𝑜𝑠(8√2𝑡) +
1
8 𝑠𝑒𝑛(8√2𝑡)
Para expresar la solución en forma senoidal hacemos
𝐴 = √𝑐12 + 𝑐22 =√5
8 𝑡𝑎𝑛(∅) =
𝑐1
𝑐2= 2
Entonces
𝑥(𝑡) =√5
8 𝑠𝑒𝑛 (8√2𝑡 + ∅)
Donde ∅ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(2) = 1.107
Por lo tanto, la amplitud es 𝐴 =√5
8 , el periodo es T =
𝜋
8√2=
𝜋
4√2 y la frecuencia natural es 𝑓 =
4√2
𝜋 finalmente el tiempo t que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la
posición de equilibrio verifica 8√2 𝑡 + ∅ = 𝜋, lo que implica 𝑡 =𝜋−∅
8√2= 0,179
Analisis
Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se
le aplica una velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas
de amortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación de
movimiento de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. ¿Cuánto
tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de
equilibrio?
- El ejercicio nos pide hallar el tiempo que se demora el resorte en quedar de nuevo
en su posición de equilibrio, luego de que se deja caer la masa y se comienza a
generar las oscilaciones del resorte.
Para un caso normal del movimiento de un sistema masa-resorte, se utiliza la siguiente
formula:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 25𝑥 = 0
Pero como en nuestro caso el sistemas masa-resorte no tiene amortiguación si no que
tenemos un caso de vibración simple.
Para esto utilizamos la ecuación:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+
𝑘
𝑚𝑥 = 0
Cuya solución generales
𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠 (√𝑘
𝑚𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 (√
𝑘
𝑚𝑡) . 𝑐1. 𝑐2 𝐸𝑅.
Para encontrar k observamos que la masa de 4 lb, estira el resorte 3 pulgadas o ¼ pie.
Empleando la ley de Hooke.
La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la
ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza ejercida por el resorte con
la elongación o alargamiento provocado por la fuerza externa aplicada al extremo del
mismo.
Entonces:
4 = 𝑚𝑔 = 𝑘1
4
Lo que implica 𝑘 = 16 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒 como 𝑔 = 32 𝑝𝑖𝑒/𝑠𝑒𝑔², se tiene que 𝑚 =4
32=
1
8 𝑠𝑙𝑢𝑔 y
por lo tanto
√𝑘
𝑚= √
16
18
= 8√2.
Luego
𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠(8√2𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(8√2𝑡)
Imponiendo nuestras condiciones inicial son: 𝑥 (0) = 3 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 =1
4 𝑝𝑖𝑒 y 𝑥 (0) =
√2 𝑝𝑖𝑒 /𝑠𝑒𝑔 , tenemos
1
4= 𝑥(0) = 𝑐1
2
√2= 𝑥(0) = 8√2𝑐2
Lo que implica 𝑐1 =1
4𝑦 𝑐2 =
1
8 por consiguiente la ecuación del movimiento de la masa es
𝑥(𝑡) =1
4𝑐𝑜𝑠(8√2𝑡) +
1
8 𝑠𝑒𝑛(8√2𝑡)
Para expresar la solución en forma senoidal hacemos
𝐴 = √𝑐12 + 𝑐22 =√5
8 𝑡𝑎𝑛(∅) =
𝑐1
𝑐2= 2
Entonces
𝑥(𝑡) =√5
8 𝑠𝑒𝑛 (8√2𝑡 + ∅)
Donde ∅ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(2) = 1.107
Por lo tanto, la amplitud es 𝐴 =√5
8 , el periodo es T =
𝜋
8√2=
𝜋
4√2 y la frecuencia natural es 𝑓 =
4√2
𝜋 finalmente el tiempo t que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la
posición de equilibrio verifica 8√2 𝑡 + ∅ = 𝜋, lo que implica 𝑡 =𝜋−∅
8√2= 0,179
De esta manera obtenemos que el tiempo que tardara el resorte en llegar a su posición de
equilibrio nuevamente será de:
𝒕 = 𝟎. 𝟏𝟕𝟗 𝒎𝒊𝒏
Conclusiones
Se desarrolló la actividad grupal número dos del curso de ecuaciones
diferenciales, utilizando las herramientas temáticas presentadas en la unidad y en
el entorno de conocimiento del curso.
Se realiza la solución del problema planteado para esta unidad, haciendo uso de
los conocimientos adquiridos durante el desarrollo de la segunda unidad del curso
y la ley de elasticidad Hooke.
Referencias Bibliográficas
Gonzalo, P. (1991). La ley de Hooke, masa y periodo de un resorte. Revista Española de
Física, 5(1), 36.
DE HOOKE, L. E. Y. ELASTICIDAD POR TRACCIÓN-LEY DE HOOKE.
de Hooke, L. Ley de Hooke.
Núnez, L. A. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior...
Zill, D. G. (2002). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Thomson Learning.
Ayres, F. (1969). Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill.