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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

TRABAJO COLABORATIVO FASE 3

CALCULO INTEGRAL

TUTOR:

 NELSON HUMBERTO ZAMBRANO CORTES

CAROLINA UNDA MOTTA COD 1.033.691.699

VIVIANA CAROLINA VARGAS JIMENEZ COD 1.035.859.18

ROSA MELINA MURILLO COD 1.051.316.318

GRU!O 100"11#10

DICIEMBRE 01"

BOGOT$ D.C.

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INTRODUCCION

C%& '()* *+),-,* */,+*'2%( ' +%&%+,2,'&)% *4,,% /** I&)'*'( ',&,*(7 ,&',&,*(7 A&),',-**( *4&%( )'%'2*( '& * (%4+,& ' %( ''+,+,%( /%/4'()%(. I4*2'&)'7 */'&''2%( *)*;** '& '4,/% * %2'&)* ' */'&,+4% I&)'* '( * *2* ' *( M*)'2>),+*( 24 4),,),+% !*&,,+*%7 /** /%' +42/, ' /%+'(% 4&*2'&)* '7 )@+&,+*( 4' /'2,)'& (%4+,%&* /%;'2*( ' '()%( +*2/%(. !% '%7 *,&)'*+,& '( &'+'(*,* /** %)*( >'*( 2*)'2>),+*( 2>( *-*&

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1. Hallar el área que hay entre las gráficas de f  ( x )= x2+2  y g ( x )=1− x  entre  x=0 y

 x=1 .

!** ** ' >'* (%2;'** '& * ,4* (' *+' % (,4,'&)':

 A=∫a

b

[ f  ( x )−g( x )]dx

 A=∫0

1

[ x2+2−(1− x )]dx

 A=∫0

1

[ x2+2−1+ x ]dx

 A=∫0

1

[ x2+ x+1]dx

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 A= x

3

3+

 x2

2+ x|10=13+ 12 +1−0−0−0=116 unidadescuadradas

2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de  f  ( x )=( x−1)2

 y g ( x )=− x+3

!,2'% ')'2,&*2%( %( /4&)%( ' ,&)'('++,& /** ')'2,&* %( ?2,)'( ' * ,&)'* ' *(,4,'&)' 2*&'*:

( x−1)2=− x+3

 x2−2 x+1=− x+3

 x2−2 x+1+ x−3=0

 x2− x−2=0

U(*&% * %24* +4*>),+*:

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 x1,2=−b ±√ b2−4ac

2a

 x1=1+√ 1+4∗2

2=

1+√ 92

=1+32

=2

 x2=1−√ 1+4∗2

2=

1−√ 92

=1−32

=−1

A%* /** ')'2,&* ' >'* )'&'2%(:

 A=∫a

b

[g ( x )−f  ( x )]dx

 A=∫−1

2

[− x+3−( x−1)2]dx

 A=∫−1

2

[− x+3−( x2−2 x+1)]dx

¿

 A=∫−1

2

¿ dx¿

¿

 A=∫−1

2

¿ dx¿

 A=− x3

3+

 x2

2+2 x|  2−1=−2

3

3+22

2+2∗2−(−(−1 )

3

3+12

2+2 (−1 ))=92

 A=9

2unidadescuadradas

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3. Hallar el área de superficie lateral del sólido que se obtiene al rotar la gráfica de  y=2√  x  

entre  x=3  y  x=8  alrededor del eje x.

S%4+,&:

+%2%(*;'2%( /**** '>'* '4&*(4/',+,''

'-%4+,& * ')'2,&*2%( ' * (,4,'&)' 2*&'*:

S=2 π ∫a

b

f  ( x )√ 1+[ f ' ( x ) ]2 dx

!% )*&)% /** '()' ''+,+,% (' ),'&':

S=2 π ∫3

8

2√  x√ 1+[1/√  x]2

dx

S=2 π ∫3

8

2√  x√1+ 1 x dx

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S=2 π ∫3

8

2√  x√ x+1 x   dx

S=2 π 

∫3

8

2√  x

√  x  √  x+1dx

S=2 π ∫3

8

2√  x+1dx

H*+,'&% (4(),)4+,& (,2/' (' ),'&':

u= x+1→ du=dx

∫2√  x+1dx=∫2√ u du= 2u1

2+1

1

2+1

=4

3 u

3/2

V%-,'&% * * ,&)'* -*,*;' %,,&* )'&'2%(:

S=2 π ∫3

8

2√  x+1dx=2π [ 43 ( x+1 )3

2 ]|83=2π [ 43 (8+1)3

2− 4

3(3+1 )

3

2 ]S=

152π 

3=159,17 unidades cuadradas

4. Hallar la longitud de  y= x

3

6+  1

2 x  entre x=1  y  x=3

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S%4+,&

A +%&(,'* 4&* +4-* ',&,* /% 4&* 4&+,& (4 '(/'+),-* ',-** 4' (%&+%&),&4*( '& 4& ,&)'-*% *7 ;7 * %&,)4 L ' *+% ',2,)*% /% * ; '( ** /% * '+4*+,&:

 L=∫a

b

√ 1+[ f '  ( x ) ]2

dx

!% )*&)% (' %;),'&' * ',-** ' * 4&+,&:

 y= x

3

6+  1

2 x

 y' =

 x2

2−

  1

2 x2

R''2/*

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. !a región limitada por las graficas

∫0

2

[ f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=∫0

2

( x)2−(0,5 x2)2 dx

 x

(¿¿2−0,25 x4)dx

∫0

2

[f  ( x )]2−[g ( x)]2 dx=∫0

2

¿

∫0

2

[ f  ( x)]2−[g ( x)]2 dx=| x33 −

1

4∗ x5

5 |

0

2

∫0

2

[ f  ( x )]2−[g ( x )]

2dx=

| x

3

3−

 x5

20

|0

2

∫0

2

[ f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=|( 23

3− 2

5

20 )−(03

3− 0

5

20)|

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∫0

2

[ f  ( x )]2−[g ( x)]2 dx=|( 83−3220 )−( 03−   020 )|

∫0

2

[ f  ( x )]2−[g ( x ) ]2 dx=|( 83−85 )−(0−0)|

∫0

2

[f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=|( 40−2415   )−(0)|

∫0

2

[ f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=|( 1615 )−0|

∫0

2

[ f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=16

15

". !a región limitada por las gráficas de

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(1+ x)¿

 x−1¿¿2¿¿¿

∫0

3

[f  ( x )]2−[g ( x)]2 dx=∫0

3

¿

(1+ x)2−( x−1)4

[¿ ]dx

∫0

3

[ f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=∫0

3

¿

∫0

3

[ f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=

∫0

3

[(1+2 x+ x2)−( x4+6 x3+4 x2+1)]dx

∫0

3

[ f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=∫0

3

(1+2 x+ x2− x4−6 x3−4 x2−1)dx

∫0

3

[ f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=∫0

3

(2 x−3 x2−6 x3− x4)dx

∫0

3

[ f  ( x )]2−[g ( x )]

2dx=

| x

2− x3−3 x

4

2

− x

5

5

 |0

3

∫0

3

[ f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=|(32−33−3∗34

2−

35

5 )−(02−03−3∗04

2−

05

5 )|

∫0

3

[ f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=|(9−27−2432 −2435 )−(0−0−02−05 )|

∫0

3

[ f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=

|(−18−

243

2

−243

5

 )−(0−0−0−0 )

|∫0

3

[ f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=|(−180+1215+48610   )−(0 )|

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∫0

3

[ f  ( x)]2−[g ( x )]2 dx=|(−188110   )−0|

∫0

3

[ f  ( x )]2−[g ( x )]2 dx=−1881

10

#. Hallar el centroide de la región limitada por la gráfica de  y= x2

 el eje x y la recta x$2

S%4+,&

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 A=∫0

2

 x2

dx= x

3

3 |20=23

3−

03

3=

8

3

C ex= 1

 A∫0

2

 x [ x2]dx=3

8∫0

2

 x3

dx=3

8∙ x

4

4 |20=38 ∙ 24

4=

3

2

C ey= 1

 A∫0

2

 x2

2dx=

3

8∫0

2

 x2

2dx=

3

8∙ x

3

6 |20=38 ∙ 23

6=

1

2

L4'% ' +'&)%,' (' '&+4'&)* '& 371.

%. Hallar el centro de masa &'e( de un objeto cuya función densidad es)  ρ= x6 +2  para

0≤ x ≤6

S%4+,&

C e=∫

a

b

 x ρ ( x ) dx

∫a

b

 ρ ( x ) dx

S%4+,%&*&% +** ,&)'*:

∫a

b

 x ρ ( x ) dx=∫0

6

 x ( x6 +2)dx=   x3

6∗3+2 x

2

2 |60= x3

18+ x2|60

∫a

b

 x ρ ( x ) dx= 6

3

18+62−0−0=48

∫a

b

 ρ ( x )dx=∫0

6

( x6 +2)dx=   x2

6∗2+2 x|60= 6

2

12+2∗6−0−0=15

!% )*&)%

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C e= 48

15=16

5

*. +n objeto se empuja en el plano desde  x=0 hasta  x=10 , pero debido al -iento la fuera

que debe aplicarse en el punto x es)  F ( x )=3 x2− x+10  /'uál es el trabajo realiado al recorrer

esta distancia0 specificar el trabajo en ulios.

 

w ( x)=∫0

10

(3 x2− x+10)dx

w ( x )= x3− x

2

2+10 x|100 =103−10

2

2+1010−0+0−0

w ( x)=1050 J 

1. U& '(%)' ),'&' 4&* %&,)4 &*)4* ' 8 /4**(. S, 4&* 4'

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11. D**( *( 4&+,%&'( '2*&*  ! ( x )=50− x

2

2   %')* S  x)  6  x, ' '+''&)' '

+%&(42,% '& ' /4&)% ' '4,,;,% '(:

50− x

2

2=26+ x

100− x2=52+2 x

 x2+2 x−48=0

( x+8 ) ( x−6 )

 x "=8 y "=(8+26 )=34

 #=(8,34)

12. H** ' E+''&)' ' !%4+)% E!7 ' E+''&)' ' +%&(42,% EC ' !4&)% ' E4,,;,%

!E ' S= x y ! ( x )=

− x3 +4

 #"=s ( x )= ! ( x )

 x=− x3

+4 x+ x3

=4

4 x

3=4 x=

12

4

 "C =∫0

3

(−33 +4)dx−(3)(3)

∫0

3

(− x3 +4)dx−9

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 "C =(− x2

6+4 x )∫

0

3

−9=( 32

6+4 (3 ))−9

 "C =

(

−3

2

+12

)−9=

21

2

−9=3

2

 "#=(3 ) (3 )−∫0

3

 xdx 9−∫0

3

 xdx

 "#=9−( x2

2 )∫0

3

 xdx9−∫0

3

( 32

2 )−2

 "#=9−9

2  "#=9

2=4.5

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

E4+*),&*. 01 ' ';'% ' 01. A/,+*+,& ' ,&)'*: +>+4% ' >'*( *&>,(,( 2*)'2>),+%.V,'%. D,(/%&,;' '& ))/:.%4)4;'.+%2*)+-J0ITPP8E

http://www.youtube.com/watch?v=J0QhITKrK8Ehttp://www.youtube.com/watch?v=J0QhITKrK8E

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T*'*( !4(. 8 ' *%()% ' 01. V%42'& ' (,%( * ,&)'* ',&,* +%&+'/)%(. -,'%.D,(/%&,;' '& ))/:.%4)4;'.+%2*)+-3C*PQ5J6U 

T*'*( !4(. 9 ' *%()% ' 01. V%42'& ' 4& (,% ' '-%4+,& ''2/% 1. -,'%.D,(/%&,;' '& ))/:.%4)4;'.+%2*)+-4Y&GG3I*MI

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D,(/%&,;' '& ))/:.%4)4;'.+%2*)+-4-DU8R0D'*%7 R. 0" ' &%-,'2;' ' 01. I&)'* */,+** * * '+%&%2?*. -,'%. D,(/%&,;' '&))/:.%4)4;'.+%2*)+-5I(C56C5A

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