1-Materia_Estática de Estructuras

8/12/2019 1-Materia_Esttica de Estructuras

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ESTATICA DE ESTRUCTURAS

Apuntes del ramo esttica de estructuras CIV131 de la Universidad Tcnica Federico Santa Mara

Contenidos:

- Sistema de unidades

- Fuerza

- Momento

- Sistema de Fuerzas

- Carga Distribuida

-

Sistema de Partculas- Apoyos y Reacciones

- Equilibrio

- Fuerzas Internas

- Rozamiento

- Cables

- Enrejados

- Viga

- Marcos

-

Principio de desplazamientovirtual


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Esttica de Estructuras.

Sistema de unidades

Magnitud Tcnico SI Imperial

Longitud Metro ocentimetro

metro Pulgada [in] oPie [ft]

Masa u.t.m kilogramo Libra[lb]Tiempo Segundo segundo segundoFuerza Kilogramofuerza Newton librafuerzaTrabajo energa Kilogrmetros[Kgm] JoulePresin Kgf/cm2 Pascal Psi o KsiTemperatura Celsius [C] Kelvin [K]

Conversiones:

Longitud:

Masa: Fuerza: Presin: Repaso:

Clasificacin de vectores:

Vector Libre: No se encuentra confinado a una lnea en el espacio.

Ej: Desplazamiento de un cuerpo rigido

Vector Deslizante: Posee una lnea de accin determinada.

Ej: Fuerza externa sobre un cuerpo rigido

Vector Fijo: Posee un punto de aplicacin nico.

Ej: Fuerza externa sobre cuerpo deformable.

Suma y resta de vectores

Todo vector puede expresarse matemticamente multiplicando su moduloV por un vector de modulo unidad cuya direccin y sentido coincidan con

los de V.

Normalizacin de un vector: Normalizar un vector consiste enobtener otro vector unitario, de la misma direccin y sentido

que el vector dado. Fuerza

Leyes de Newton

1 Ley de Inercia: una partcula sobre la que no acte ninguna fuerza que noest equilibrada, o permanece en reposo o sigue su movimiento convelocidad constante.

2 Ley: 3 ley: Accinreaccin


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Tipos de Fuerzas:

1. Fuerzas a distancia:

- Fuerza gravitacional: - Fuerza elctrica

- Fuerza magntica

2. Fuerzas de contacto

3. Fuerzas Externas: representan acciones que actan sobre el cuerpo.4. Fuerzas Internas: mantienen al cuerpo unido.

Principio de Transmisibilidad

Condiciones de equilibrio/ movimiento de un cuerpo rigido se mantiene

constante si una fuerza

es reemplazada por una fuerza

de la misma

magnitud y direccin, siempre que las dos fuerzas tengan la misma lnea deaccin.

Proyeccin de una fuerza en una direccin dada.

Aplicacin de producto punto.

( ) ( )

Momento

Medida de tendencia de una fuerza a hacer rotar un cuerporespecto de un punto.

Fuerza que tiende a rotar un cuerpo sobre su eje.

Eje: cualquier lnea que no intersecta ni es paralela a la lnea de

accin de la fuerza. Clculo de la magnitud del momento de la fuerza respecto a un punto.

Clculo de la direccin de M

Regla de la mano derecha

Proyeccin de un momento en una direccin dada

( ) ( )


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Teorema de Varigon

El momento de una fuerza respecto a un punto es igual a la suma de losmomentos de las componentes de las fuerzas respecto del punto.

( ) Sistemas de Fuerzas

Sistemas equivalentes:

1- condicin de fuerza: resultante de fuerzas de ambos sistemas sonidnticos

2- condicin de momento: resultante de momentos de ambos sistemas son

idnticos

Traslado de una fuerza fuera de su lnea de accin .

Cualquier fuerza sobre un cuerpo rgido puede trasladarse desde el punto Aa un punto arbitrario B (fuera de su lnea de accin) bajo la condicin que unmomento apropiado sea incorporado al sistema de fuerzas.

Par de Fuerzas

Dos fuerzas de igual magnitud, lneas de acciones paralelas y sentidoopuesto forman un par.

Determinacin de un par.

La magnitud del momento asociado con el par se calcula como la magnitudde la fuerza por la distancia entre las lneas de accin.

Resultante de un sistema de fuerzas.

Se ocupan las condiciones de equivalencias de fuerza y momento

- Sistema estticamente ms simple al cual puede reducirse unsistema de fuerzas

- Resultante de un sistema de fuerzas est compuesto de:Fuerza actuando a lo largo de la lnea de accinMomento asociado

- Condicin de momento deben ser equivalentes con respecto acualquier punto

- Si pasa a travs de un punto C, el momento de con respecto aC es nulo. Por lo tanto el momento resultante debe ser igual almomento del sistema original respecto de C.


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Resultante de Fuerza nica

En algunos casos la resultante de un sistema de fuerzas puede ser expresadaen trminos de una sola fuerza.

Condicin: la resultante de momento y fuerza deben ser perpendiculares.

Sistema de Fuerzas concurrentes

Lneas de accin de las fuerzas se intersectan en un punto comn;Momento ejercido alrededor de ese punto es cero

Sistema de Fuerzas coplanares

Lneas de accin de las fuerzas estn contenidas en un plano.

Pueden existir momentos perpendiculares al plano que contiene las lneasde accin de las fuerzas

Sistema de Fuerzas paralelas

Lneas de accin de las fuerzas son paralelas

Pueden existir momentos perpendiculares a las lneas de accin de lasfuerzas.

Sistema de Fuerzas equivalentes

No olvidar que este concepto se refiere a la tendencia al desplazamiento(condicin de fuerza) y giro (condicin de momento)

No es aplicable de manera directa en cuerpos deformables


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Carga Distribuida

- Fuerza que acta distribuida sobre una cierta rea.

- Unidad: [N/m2]

- Puede ser reducida a una Fuerza equivalente aplicada a lo largo de

una cierta Lnea de accin.

Punto de Aplicacin de la Fuerza Equivalente

Carga distributiva unidireccional

- En caso que:Carga distribuida sobre el rea es uniforme en direccin de un ejePuede ser conveniente reducir la carga a un caso unidireccional.

La carga distribuida puede ser reemplazada finalmente por la carga puntualsobre una cierta lnea de accin.


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Estrategias para resolver problemas con cargas distribuidas

Recordar configuraciones Tpicas.

Carga distribuida uniformemente: F = qL

Carga distribuida Linealmente: F= qL/2

Expresar configuraciones complejas como la suma de partes mas

simples.

Punto de Aplicacin:

Sistema de Partculas

Sistema de partculas es reemplazado por fuerza resultante que pasa por elcentro de gravedad(C.G).

Ambos son sistemas de fuerzas equivalentes.

Centro de gravedad:La posicin del centro de gravedad es tal que la sumade los momentos de las partculas alrededor de los ejes coordenados debeser idntica al momento de la fuerza resultante alrededor de los ejes

Centro de masa (C.M):concepto similar al C.G, pero que involucra masas envez de peso.


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Si la aceleracin de gravedad es idntica para cada particula, entonces

Cuerpo rgido Bajo la accin gravitacionalEs similar al sistema de partculas, excepto que el nmero de partculas es

infinito.

Centro de gravedad:

Centro de masa:concepto similar al C.G, pero que involugra masas en vezde peso.

Centroide: concepto similar a centro de gravedad, pero involucra volumenen vez de peso.

En caso de existir ejes de simetra, el centroide se ubica en un punto a lolargo de ese eje.

Centroide de un cuerpo rgido compuesto.

Cuerpo rgido compuesto: coleccin de cuerpos

Cuerpos individuales corresponden a formas simples (cubo, esfera, cono,

etc.)

Centroide del cuerpo compuesto se puede calcular usando informacin decentroides y volmenes de cada cuerpo rgido.

Caso 2D y 1D similares (utilizando A y L en vez de V, respectivamente)


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Apoyos y Reacciones

Apoyo:

Vinculo que impide un cierto desplazamiento de un cuerpo.

Dada la restriccin de desplazamiento que se impone en el apoyo, puedensurgir fuerzas reactivas asociadas.

Apoyos en dos dimensiones

Apoyo Simbologa Fuerzas reactivas o

restricciones al

desplazamiento

Empotrado

Rotulado:

Deslizantesimple:

Deslizante

Pistn


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Apoyos 3D

Equilibrio

Un cuerpo est en equilibrio cuando las fuerzas externas actuando, formanun sistema equivalente de fuerzas nulo.

Resultante de fuerzas nulo Resultante de momento nulo

Notar que la definicin abarca cuerpos en reposo y en movimiento convelocidad constante.

Equilibrio esttico:

- Resultante de fuerzas nula.- Cuerpo en reposo.

Condicin de equilibrio:

-

Caso bidimensional:

3 ecuaciones de equilibrio algebraicas:

{

Las ecuaciones de equilibrio pueden ser calculadas respecto acualquier punto.

Existen infinitos sistemas de ecuaciones de equilibrio

Note que aunque existan infinitos sistemas de ecuaciones, solo 3son linealmente independientes det(A) 0


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Ejemplo: cuerpo rgido en equilibrio esttico.

- Caso tridimensional:

6 ecuaciones de equilibrio algebraicas

{

{

Las ecuaciones de equilibrio pueden ser calculadas respecto acualquier punto.

Existen infinitos sistemas de ecuaciones de equilibrio, solo 6 sonlinealmente independientes.

Condicin de equilibrio: deben incluir todas las fuerzas esternas y

todos los momentos externos.

Ej: Edificio de marcos de 3 pisos y carga lateral.


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Fuerzas externas se clasifican en:

- Cargas: ( o fuerzas activas) se originan por cargas de uso delsistema; generalmente son conocidasEj: carga del viento, peso propio, etc.

- Reacciones: ( o fuerzas reactivas) aparecen en los apoyos asociadasa restricciones de giro o desplazamiento; generalmente sonincgnitas a determinar.

Al aplicar la ecuacin de equilibrio, cargas y reacciones son tratadas de lamisma manera.

Cmo se trata la fuerza gravitacional?

La fuerza gravitacional es una carga (fuerza activa)

Representacin: carga distribuida (peso propio).

Diagrama de cuerpo Libre:

Representacin esquemtica de un cierto sistema de fuerzas externas queactan sobre el sistema.


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Procedimiento para dibujar D.C.L

1- Escoja el sistema a estudiar, establezca un sistema de coordenadasapropiado e identifique dimensiones del sistema.

2- Identifique todas las fuerzas externas y momentos externos que actansobre la estructura.

Ej:

- Carga- Peso Propio- Reacciones:

o Si un apoyo impide el desplazamiento en una ciertadireccin, el apoyo ejerce una fuerza sobre el sistema enesa direccin.

o Si un apoyo impide la rotacin, entonces el apoyo ejerce unmomento sobre el sistema

3- Las fuerzas conocidas deben ser dibujadas indicando magnitud, direcciny sentido.

Para fuerzas desconocidas, la fuerza es dibujada en el diagrama a travs desus componentes; la magnitud es una incgnita y la direccin es asumida.

4- Aplicar ecuaciones de equilibrio.

Grados de Libertad: corresponden a las diferentes posibilidades que tiene

un sistema (ya sea completo o de alguna de sus partes) de desplazarse comocuerpo rgido.

El nmero de grados de libertad corresponde al nmero de coordenadasindependientes requeridas para especificar la posicin o configuracin delsistema

- Caso de partcula en espacio bidimensional: 2 grados de libertad- Caso de partcula en espacio tridimensional: 3 grados de libertad

Fuerzas Internas

Fuerzas internas son las fuerzas que se transmiten de partcula a partculade un cuerpo. Se deben principalmente a las fuerzas externas y sonresponsables del rompimiento de un material.

Tipos de Fuerzas Internas

-

Fuerzas axiales- Fuerzas cortantes- Momento Flector- Momento torsor

Fuerza axial: fuerza necesaria para equilibrar todas las componentes de lasfuerzas en la direccin del longitudinal de la parte seccionada del cuerpo. Sedesigna con la letra N y se considera positiva si e de tensin o negativa si esde compresin.

Fuerza cortante: Es la suma algebraica de todas las fuerzas externas

perpendiculares al eje de la viga (o elemento estructural) que actan a unlado de la seccin considerada. Se designa con la letra V y se considerapositiva cuando el lado izquierdo tiende a subir.

Momento Flector: momento necesario para equilibrar la parte seccionadadel cuerpo. En una viga horizontal se considera positivo cuando la flexioncomprime las fibras superiores.

Convencin positiva (Fuerzas internas en B)


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En 3D, existe una fuerza axial ( o normal), dos fuerzas de corte, dos

momentos flectores y un momento torsor.

Procedimiento de anlisis. Fuerza interna en un punto a distancia

conocida.

1- Antes del corte de la seccin, determinar las reacciones de los soportesde los miembros

2- Mantener todas las fuerzas, cargas distribuidas y momentos en sus

lugares correspondientes y hacer un corte

Es recomendable hacer el DCL de la parte con menos cargas

3- Colocar las direcciones de las Fuerzas internas (N, V, M) segn laconvencin positiva

4- Indicar un sistema de coordenadas

5- Usar las ecuaciones de equilibrio para obtener las cargas internas

Si resulta un signo negativo, el sentido es opuesto al indicado en el DCL

Ejemplo:

Se desea conocer las fuerzas internas en la mitad de la viga.

Anteriormente ya se calcularon las reacciones

Se procede a realizar el corte y colocar las fuerzas internas

Luego despejo N, V y M de cada ecuacin.

Obs: cuando hay rotulas solo aparecen fuerzas internas axiales y de corte,

ya que el momento es liberado.


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Roce

Existen dos tipos de fuerzas de accin y reaccin entre dos superficies:

- Fuerzas Normales- Fuerzas Tangenciales (friccin)

Cuando dos superficies estn en contacto, siempre se presentan fuerzastangenciales, llamadasfuerzas de friccin, cuando se trata de mover una delas superficies con respecto a la otra. Por otra parte, estas fuerzas defriccin estn limitadas en magnitud y no impedirn el movimiento si seaplican fuerzas lo suficientemente grandes.

Tipos de Roce:

Rozamiento fluido: se desarrolla entre capas de fluido movindose avelocidades distintas. Ej: flujo en caeras

Rozamiento seco: tambin conocido como rozamiento de Coulomb.

Se desarrolla entre superficies no lubricadas de dos solidos que se deslizanentre s o que estn a punto de deslizarse.

Cuando una superficie tiende a deslizarse sobre otra, surge una fuerzatangencial que se opone al movimiento (roce).

Las fuerzas de rozamiento ocasionan una prdida de energa disipada encalor.

Mecanismo del rozamiento.

Consideremos un bloque sobre una superficierugosa, sobre el cual se le est aplicando unafuerza P que vara desde cero hasta un valorsuficiente para iniciar el movimiento del bloque.

Si P es pequea, el bloque no se mover; por lotanto debe existir alguna otra fuerza horizontalque equilibre a P. Esta otra fuerza es la Fuerza defriccin esttica F (F es contraria al movimientodel bloque)

Si se incrementa la fuerza P, tambin se incrementa la fuerza de friccin F,hasta un cierto valor mximo Fmaxen el cual el bloque comienza a deslizarse.

Cuando empieza a moverse el bloque, la magnitud de F disminuye de F maxaun valor menor Fk llamado Fuerza de friccin cintica. Lo anterior se debe aque existe una menor interpenetracin entre las irregularidades de lassuperficies en contacto cuando dichas superficies se mueven una conrespecto a la otra.

Fuerza de rozamiento esttico:

Fuerza mxima de rozamiento esttico: Fuerza de rozamiento cintico:


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Tipos de problemas de rozamiento.

Movimiento inminente entre superficies

Fuerza de roce es igual a la fuerza mxima de roce esttico Existe movimiento entre superficies

Fuerza de roce es igual a la fuerza de roce cintica Se desconoce si existe condicin de movimiento inminente omovimiento entre superficies.

- Se aplica ecuaciones de equilibrio esttico; la fuerza de roce es unaincgnita a determinar.

Si el cuerpo se halla en equilibrioSi

el cuerpo se halla en equilibrio y el

movimiento es inminenteSi , esta situacin es imposible, por lo tanto lahiptesis de equilibrio no es vlida y hay movimiento y lafuerza de rozamiento ser:

Cables

Los cables pueden dividirse en dos categoras de acuerdo con las cargas queactan sobre ellos:

1- Cables que soportan cargas concentradas o puntuales.

2- Cables que soportan cargas distribuidas.

Supuestos:

- Cable flexible: resistencia a la flexin y corte es despreciable; soloexiste tensin en direccin tangente.

- Cable inextensible; longitud no vara debido a cargas

- Peso propio del cable en cada segmento es despreciable frente acargas.

- Tensin del cable en cada segmento acta a lo largo del cable.

- Cargas externas y posiciones de lneas de accin son conocidas.

- Posiciones relativas de los apoyos son conocidas.


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Cables flexibles que soportan cargas concentradas o puntuales.

Se busca determinar la forma del cable, es decir, la distancia vertical desdeel apoyo A hasta cada uno de los puntos C1, C2, C3 y tambin se deseaencontrar la Tensin T en cada uno de los segmentos del cable.

El primer paso consiste en dibujar el DCL y obtener las reacciones de losapoyos.

Condicin de equilibrio: Tengo 3 ecuaciones y 4 incgnitas por lo tanto saco otra ecuacin cortandoel cable (condicin adicional).

Se debe obtener una ecuacin adicional considerando el equilibrio de unaporcin del cable. Lo anterior es posible si se conocen las coordenadas x e yde un punto D del cable.

Ecuacin adicional:

Con estas 4 ecuaciones es posible calcular las reacciones.

Para determinar la distancia vertical desde A a cualquier punto del cable,solo se debe cortar el cable en el punto requerido y utilizar la condicin de

equilibrio de momento en el punto del corte delcable.

Por ejemplo para determinar la distancia sedebe realizar y despejar dicha distancia.Para determinar el valor de la Tensin T del cable se

realiza El valor de puede ser obtenido por geometra,si es que se calcula la distancia .


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Carga distribuida uniformemente en la Horizontal. Cable parablico.

- Caso de cables de masa despreciable- Cable sostiene carga externa.- Ej: puentes colgantes

Se selecciona el inicio del eje coordenado en el punto ms bajo del cable.

Para encontrar la tensin en un punto D(x,y), se encuentra el valor de laresultante R que soporta ese segmento de cable. Y la ubicacin de sta.

Clculo de la Tensin:

Adems:

Clculo de la curva formada por el cable:

Para encontrar la distancia vertical de un punto D situado a una distancia x,se debe realizar la condicin equilibrio de momento respecto al punto D.

Ecuacin de una parbola, que representa la curvaformada por el cable que est cargado uniformemente a lo largo de lahorizontalClculo de la Longitud del cable:

Elemento diferencial:

Cable entre los puntos (0,0) y (x,y)


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Cables con cargas distribuidas uniformemente en la longitud del cable.

(Catenaria)

Ej: cable bajo la accin de su propio peso

Para encontrar la tensin en un punto D(x,y), se encuentra el valor de laresultante R que soporta ese segmento de cable. Y la ubicacin de sta.

Derivando la ltima ecuacin respecto de x

Adems:

Condiciones de borde:

Resolviendo la ecuacin diferencial se obtiene:


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Aplicando la segunda condicin de borde:

Adems notar que: Por otro lado:

[ ]

Enrejados

Enrejado ideal: elementos delenrejado son barras esbeltas,conectadas en nudos ( o nodos)

Las uniones entre barras sonrotuladas (giro sin roce; momentonulo)

En estructuras, las barras pueden estarunidas a una placa conectora (Gusset).

La conexin es idealizada como unarotula si los ejes de las barras se

intersectan en un punto.

Cargas y reacciones son aplicadasen los nudos.

En caso de considerar peso propiode barras, se debe incorporar en

nudos de la barra.

Elementos del enrejado trabajan solo en carga axial (traccin/compresin)


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Ejemplo: Analisis de la barra FC

Despejando sistema de ecuaciones respecto de una fuerza:

Fuerza actuando sobre una barra completa

Fuerzas en los extremos son de igualmagnitud, sentido opuesto ycolineales.

Fuerzas internas: exclusivamentefuerza axial; note que la carga axialque soporta la barra es constante.

Notacin sugerida:

Fuerzas actuando sobre barras pueden ser de traccin o compresin

Flechas indican accin de la fuerza sobre la barra.

Configuracin de un enrejado

Barras deben ser dispuestas de tal forma que impiden desplazamiento denudos (restricciones)


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Mtodo de los nudos

Condiciones de equilibrio son aplicadas a cada nudo; note que al dibujarDCL, las fuerzas actan sobre el nudo

Fuerzas concurrentes en el nudo solo 2 de las 3 ecuaciones de equilibrioson independientes.Note la aplicacin de la 3 Ley de Newton al analizar equilibrio en el nudo.

Ejemplo: Equilibrio en el nudo B

Condiciones de equilibrio:

Si al analizar un nudo no se conoce si la fuerza es de traccin o compresin,

se asume que la fuerza es de traccin; Si el resultado es de signo positivoindica fuerza de traccin, Si el resultado es negativo, es de compresin.

Procedimiento:

1. Dibujar diagrama de cuerpo libre de un nudo cualquiera en el que haya almenos una fuerza conocida y no ms de dos fuerzas desconocidas (pasoprevio: puede ser necesario calcular reacciones)

2. Asignar sentido a las fuerzas desconocidas; en caso de duda ,asignarfuerza de traccin

3. Aplicar condiciones de equilibrio de fuerza en direcciones horizontal yvertical; verificar direccin de fuerzas

4. Continuar anlisis de otro nudo (bajo condiciones indicadas en paso 1)

5. El ltimo nudo a analizar sirve como verificacin


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Ejemplo: Algunos casos especiales de anlisis de nudos

Caso 1: nudo y cuatro barras;dos barras sobre una lnea deaccin y las otras 2 sobre otralnea de accin.

Caso 2: carga, nudo y tresbarras; dos barras sobre unalnea de accin y la tercerabarra y fuerza sobre otra lneade accin

Caso 3: nudo y dos barras sobreuna lnea de accin

Caso 4: nudo y dos barras;barras pertenecen a lneas deaccin distintas


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Mtodo de las secciones

Condiciones de equilibrio son aplicadas a una seccin de la estructura

Se trabaja sobre las barras en vez de los nudos

Estrategia: Se introduce un corte imaginario y se aplican las 3 ecuaciones deequilibrio en una parte de la estructura

Idealmente, el corte imaginario corta 3 barras.

Ventaja: fuerza de unmiembro particular puedeser determinadainmediatamente.

Note que al dibujar DCL, las

fuerzas actan sobre labarra

Direccin de la fuerza: dadasegn traccin/compresin; en caso dedireccin desconocida,asumir traccin

Barra en compresin esempujada

Barra en traccin es tirada

Procedimiento:

1. Definir corte imaginario

2. Antes de estudiar condiciones de equilibrio, determinar reacciones encaso que sea necesario

3. Dibujar diagrama de cuerpo libre de seccin seleccionada

4. Asignar sentido de las fuerzas de las barras cortadas; si el sentido esdesconocido, asumir traccin

5. Escoger punto para hacer sumatoria de momentos de una maneraConveniente; ejemplo: punto por el cual pasan lneas de accin de2 fuerzas desconocidas


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Determinacin esttica:

Considere nuevamente el mtodo de nudos

Incgnitas: reacciones (R) y fuerzas en barras (B) R B Ecuaciones por nudo (N) : 2N = 8

Como el nmero de incgnitas es igual al nmero de ecuaciones, todas

las incgnitas pueden ser determinadas.

Clasificacin de enrejados:

Si 2N > R + B, el enrejado es estticamente inestable(mecanismo)

Ejemplo:

B = 14 R = 3 N= 9

2N = 18 > 17 = 3 + 14 estructura inestable

Si 2N = R + B , enrejado es estticamente determinado

Ejemplo:

B = 10 R = 4 N = 7

2N = 14 = 14 = 4 + 10 = R + B

Obs: note que un enrejado estticamente determinado NO esnecesariamente estable

Ejemplo:

B = 15 R = 3 N = 9

2N = 18 = 18 = 3 + 15 = R + B

Estructura es inestable


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Si 2N < R + B, enrejado es estticamente indeterminado

Ejemplo:

B = 11 R = 4 N = 7

2N = 14 < 15 = 4 + 11 = R + B

Obs: note que un enrejado estticamente determinado NO es

necesariamente estable

Ejemplo:

B = 16 R = 3 N = 9

2N = 18 < 19 = 3 + 16 = R + B

Estructura es inestable

Consideraciones para el anlisis 3D

Unidad bsica del enrejado: tetraedro

Fuerza en barras: carga axial, traccin o compresin

Mtodo de los nudos:

Ecuaciones de equilibrio por nudo

{

Mtodos de las secciones:

Ecuaciones de equilibrio por seccin

{

{


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Vigas

Vigas: elementos planos; largo esgeneralmente mucho mayor queancho y alto. Son sometidasgeneralmente a cargasperpendiculares al eje longitudinal.

La viga puede soportar fuerzas puntuales, momentos y cargas distribuidas

Las cargas pueden ser aplicadas en cualquier punto de la viga

Fuerzas Internas: Puede existir corte, momento y fuerza axial

Apoyos:

Segn el tipo de apoyo, existen configuraciones clsicas

- Viga simplemente apoyada- Viga empotrada o en voladizo

-

Viga continua- Viga bi-empotrada

Efectos externos: Anlisis previo al clculo de las fuerzas internas

El anlisis de efectos externos involucra:

- Reemplazo de carga distribuidas por fuerzas puntuales equivalentes(Involucra resolucin de integrales)

- Calculo de Reacciones. Para calcular reacciones puede ser necesarioconsiderar equilibrio de elementos individuales

Fuerzas Internas:

Las fuerzas internas, varan a lo largo de una viga; conocer dichasvariaciones es fundamental para el diseo

Objetivo: determinar fuerzas internas en trminos de funciones ydiagramas.

Convencin de signos de fuerzas internas:

- N(x) : fuerza axial, positiva cuando el elemento es traccionado- V(x): Corte, positivo cuando desangulacin del elemento es en

sentido horario- M(x): Momento Flector, positivo cuando la fibra inferior es

traccionada.


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Calculo de Fuerzas Internas:

- Seleccionar un punto arbitrario de corte x- Aplicar ecuaciones de equilibrio para determinar N(x), V(x), M(x)- Fuerzas internas se calculan siempre usando convencin de signo

positiva- Notar que en puntos donde se aplican cargas, generalmente existen

discontinuidades en fuerzas internas. Para esto se calculan

funciones de fuerzas internas por tramos.

Diagramas de fuerzas internas:

- Por convencin los diagramas de corte y momento se dibujanpositivos hacia abajo (razn: idea intuitiva de cmo se deforma laviga)

Obs: note que se puede aislar el lado izquierdo o derecho del corteimaginario. La convencin positiva es distinta en el lado izquierdo yderecho (3ra ley de Newton)

Ejemplo:


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Diagrama de fuerzas internas

Procedimiento para determinar fuerzas internas

1- Determinar todas las reacciones de la viga

2- Determinar un sistema coordenado apropiado y rango de validez

3- Aplicar condiciones de equilibrio sobre una seccin de la viga;recordar convencin positiva; carga distibuida debe ser tratadaapropiadamente (distribucin de carga sobre la seccin de la viga es laque debe ser considerada)

4-Repetir los pasos 2 y 3 en caso de ser necesario (existencia dediscontinuidades en fuerzas internas producto de cargas externas)

5- Una vez que las fuerzas internas han sido determinadas a lo largo detoda la viga, dibujar diagramas de esfuerzos internos; recordar quediagrama de corte y momento se dibujan positivos hacia abajo.

Ecuaciones Diferenciales de equilibrio

Considere la viga soportando una carga distribuida, tal como se indicaen la figura.

El anlisis de equilibrio de un elemento infinitesimal de largo

x es

Si Primera ecuacin diferencial de equilibrio; la pendiente del diagrama decorte es igual al valor negativo de la carga distribuida


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Si Segunda ecuacin diferencial; pendiente del diagrama de momento es igualal valor del corte.

Combinando las dos ecuaciones diferenciales de equilibrio se obtiene:

}

Obs: Puntos donde el corte es cero indican que el momento es mximoo mnimo.

Discontinuidades

Discontinuidades en fuerzas internas se generan en puntos deaplicacin de cargas externas

Ejemplo: Anlisis de elemento infinitesimal bajo carga puntual


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Determinacin esttica

Ecuaciones disponibles para anlisis de una viga:

- Ecuaciones de equilibrio ( 3 ecuaciones en 2D)- Ecuaciones de condicin (C ); ejemplo: presencia de rotulas

Incgnitas:

- Reacciones ( R )

Clasificacin de viga:

- Estticamente inestable si R< C+3- Estticamente determinada si R = C + 3- Estticamente indeterminadas si R > C + 3

Estas 2 ltimas no garantiza que la viga sea estable

Ejemplos:

Marcos

Marcos:

- Incluye vigas y columnas ( tambin riostras : Pieza que puestaoblicuamente, asegura armazones o estructuras)

-

Vigas sometidas generalmente a cargas perpendiculares al ejelongitudinal ( M(x) y V(x) son relevantes )

- Columnas pueden ser sometidas a cargas perpendiculares y endireccin a su eje longitudinal (N(x) , M(x) y V(x) son relevantes )

- Son modelados generalmente como estructuras planas

Objetivo: determinar fuerzas internas (corte, momento y fuerza axial) enelementos de un marco.

Efectos externos: anlisis previo al clculo de las fuerzas internas. Involucra:

- Reemplazo de carga distribuida por fuerzas puntuales equivalentes- Calculo de Reacciones

Fuerzas Internas:

Apoyos y nudos del marco son identificados con letras; elementos sonreferidos como viga BC, columna AB, etc


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Convencin de signos:

- Idntica a convencin utilizada para anlisis de vigas

-

En el caso de columnas, es necesario definir la fibra inferior demanera arbitraria utilizando una lnea segmentada

- Recordar que la convencin positiva relacionada con momentoflector significa que la fibra inferior es traccionada

Determinacin de fuerzas internas:

- Procedimiento idntico al seguido en el caso de vigas- Ecuaciones diferenciales de equilibrio tienen igual validez- Tratamiento de discontinuidades tambin tiene igual validez- Precaucin con los nudos:

Determinacin Esttica:

Incgnitas:

- Reacciones (R )- Fuerzas Internas de las barras ( B )

Ecuaciones disponibles para anlisis de un marco:

- Ecuaciones de equilibrio en los nudos (3N; tres ecuaciones deequilibrio por nudo en 2D)

- Ecuaciones de condicin ( C ) ej: rotulas

Clasificacin de marcos

- Estticamente inestable si R + 3B < 3N + C- Estticamente determinado si R+ 3B = 3N + C- Estticamente indeterminado si R+ 3B >3N + C

No garantiza que el marco sea estable


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Ecuaciones de condicin:

Importante!!! Cuando la rtula se encuentra en un nudo, el nmero deecuaciones de condicin introducidas es igual al nmero de barras quellegan al nudo menos uno.

Ejemplos:


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Principios de Desplazamientos Virtuales

Trabajo

Objetivo: Aplicar concepto de trabajo para analizar estructuras

Estrategia:

-

Trabajo.- Principio de los desplazamientos virtuales.- Desplazamientos virtuales compatibles.- PDV y reacciones de estructuras isostticas.- PDV y fuerzas internas.

Trabajo de una Fuerza

Una Fuerza F (vector) genera trabajoW (cantidad de energa, escalar),cuando la fuerza sufre un cambio de

posicin r (vector) en su mismadireccin. ( ) Como es infinitesimal, la magnitudde puede ser representada por ,el segmento de arco diferencial a lolargo de la trayectoria.

Trabajo a lo largo de una trayectoria:

Caso de fuerzas concurrentes aplicadas en un punto sobre un cuerpo: Eltrabajo realizado por la resultante es igual al trabajo de las fuerzasindividuales.

Trabajo de un Momento

- Utilizando el concepto de par de fuerzas:

Por lo tanto el trabajo de un momento se define como:


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Principios de Desplazamientos Virtuales

Trabajo Virtual

- Considere una partcula en equilibrio sometida a un desplazamientoadmisible

( un desplazamiento imaginario o virtual) ; luego el

trabajo virtual se define como: - Notar que:

o El desplazamiento virtual no existeo no sin lo mismo; es un movimiento

infinitesimal supuesto y no se puede integrar.o Matemticamente, ambas cantidades son infinitsimos de

primer ordeno El desplazamiento virtual tambien puede ser una rotacino El trabajo cirtual asociado a un momento es:

Equilibrio de la partcula:

Como se supuso que la partcula seencuentra en equilibrio, la resultante de

fuerzas es igual a cero. Luego, el trabajovirtual tambin debe ser igual a cero.

Por equilibrio , as que el trabajo virtualtambin es cero.

En otras palabras se pueden escribir tres ecuaciones independientes detrabajo virtual correspondientes a las tres ecuaciones de equilibrio.

El principio del trabajo virtual para una partcula, establece que si unapartcula est en equilibrio, el trabajo virtual total de las fuerzas que actansobre la partcula es cero para cualquier desplazamiento virtual de lapartcula

Ej:

Note que la partcula tiene dos grados de libertad (es posible aplicar dosdesplazamientos virtuales independientes)

Equilibrio de un cuerpo rgido:

En el caso de un cuerpo rgido, el principio del trabajo virtual establece quesi el cuerpo rgido est en equilibrio, el trabajo virtual total de las fuerzas

externas que actan sobre el cuerpo rgido es cero para cualquierdesplazamiento virtual del cuerpo.

Obs:al escribir las ecuaciones, no es necesario incluir el trabajo efectuadopor las fuerzas internas que actan dentro del cuerpo, ya que un cuerporgido no se deforma cuando est sometido a una carga externa, y adems,cuando el cuerpo se mueve a travs de un desplazamiento virtual, lasfuerzas internas ocurren en pares colineales iguales pero opuestos, demanera que el correspondiente trabajo efectuado por cada par de fuerzasse cancela.


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Equilibrio en sistema de cuerpos rgidos unidos:

Si el sistema permanece unido durante el desplazamiento virtual, debeconsiderarse solo el trabajo de las fuerzas externas al sistema, puesto que eltrabajo de las fuerzas internas entre las diferentes uniones del sistema escero.

Antes de poder aplicar el principio de trabajo virtual, se debe especificar el

nmero de grados de libertad para un sistema y establecer coordenadasque definan la posicin del sistema.

Si un sistema tiene grados de libertad (coordenadas independientes queespecifican completamente la posicin del sistema); es posible escribir ecuaciones independientes de trabajo virtual para el sistema, una ecuacionpara cada desplazamiento virtual tomado a lo largo de cada eje coordenadoindependiente, mientras que las coordenadas independientesrestantes se mantienen fijas.

Principio de los desplazamientos virtuales (PDV):

Un sistema de fuerzas actuando sobre un sistema estructural est enequilibrio si y solo si la suma de los trabajos (virtuales) de todas las fuerzasactivas para cada desplazamiento virtual es cero.

- Ventajas:No es necesario desmembrar el sistema para establecer lasrelaciones entre las fuerzas activas

Pueden determinarse directamente las relaciones entre lasfuerzas activas sin hacer referencia a las fuerzas reactivas.

Resumen:

- Desplazamientos virtuales no existen- Desplazamientos virtuales introducidos deben ser compatiblescon

los grados de libertad del sistema estructural- PDV involucra fuerzas activas- Fuerzas reactivas no hacen trabajo virtual- Condicin de trabajo virtual igual a cero es equivalente a aplicar

condiciones de equilibrio.

Desplazamientos virtuales compatibles

- Aplicacin prctica del PDV requiere que se apliquendesplazamientos virtuales compatibles a la estructura en estudio

- Note que dichos desplazamientos compatibles son distintos a losdesplazamientos del cuerpo rgido.

Ejemplo 1a: considere una barra pivoteada en A; esquema ilustradesplazamiento del cuerpo rgido.

Ejemplo 1b: considere una barra pivoteada en A; esquema ilustradesplazamiento virtual compatible.


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Ejemplo 2: considere una estructura con forma de L pivoteada en A;esquema ilustra desplazamiento virtual compatible.

Note que:

Desplazamiento horizontal del punto B es igual a ;desplazamiento vertical del punto B es nulo

Desplazamiento horizontal del punto C es ;desplazamiento vertical del punto C es

PDV y reacciones de estructuras isostticas

Aplicacin de PDV en el clculo de reacciones de estructuras isostticas:

- PDV implica introducir desplazamientos imaginarios compatibles- Estructuras isostticas presentan suficientes vnculos para impedir

movimientos de cuerpo rgido- Trabajo virtual de fuerzas reactivas es cero

Aplicacin:

- Para calcular reacciones es necesario alterar vnculos de estructuraoriginal

- Para determinar una cierta reaccin, se debe liberar el vnculoasociado a la reaccin

Ej:

Libero el vnculo:


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Caso de carga distribuida: Configuraciones simples pueden serreemplazadas por carga puntual equivalente; configuraciones mscomplejas pueden requerir uso de integrales para calcular trabajovirtual

Ejemplo: trabajo virtual asociado a carga distribuida

o Por medio de integral al liberar el vnculo B

o Por medio de carga equivalente al liberar el vnculo B

PDV y fuerzas internas

Aplicacin de PDV en clculos de fuerzas internas de estructuras isostticas:

- PDV implica introducir desplazamientos imaginarios compatibles- Estrategia: Liberar vinculo asociado a fuerza interna e imponer

desplazamiento virtual compatible

Fuerzas internas Vnculo liberadoFuerzaAxial

Corte

Momento Flector


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Ejemplo:

Fuerza axial:

Corte:

Momento flector:

1-Materia_Estática de Estructuras

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