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04 b Análisis.doc 1

1. Análisis de Sistemas Realimentados 1. ANÁLISIS DE SISTEMAS REALIMENTADOS................................................1

1.1. INTRODUCCIÓN..........................................................................................................2

1.2. ESTRUCTURAS DE REALIMENTACIÓN........................................................................3

1.3. ENFOQUE CLÁSICO....................................................................................................6

1.4. FUNCIONES DE SENSIBILIDAD NOMINALES.............................................................15

1.5. ESTABILIDAD DE LAZO CERRADO EN BASE AL POLINOMIO CARACTERÍSTICO........18

1.6. ESTABILIDAD RELATIVA: MÁRGENES DE ESTABILIDAD..........................................20

1.6.1. Márgenes de ganancia y fase..........................................................................21

1.6.2. Pico de sensibilidad.........................................................................................22

1.6.3. Márgenes de estabilidad y diagramas de Bode..............................................26

1.7. 1.6. ROBUSTEZ.........................................................................................................27

1.7.1. Error de modelado ..........................................................................................27

1.7.2. Estabilidad Robusta ........................................................................................30


1.1. Introducción Dado un controlador y una planta conectados en realimentación, vamos a plan-

tear y contestar las siguientes preguntas: ¿Es el lazo cerrado estable? ¿Cuáles son las sensibilidades a distintas perturbaciones? ¿Cuál es el impacto de errores de modelado? ¿Es capaz de seguir referencias? Visión Clásica: respuesta a un cambio en la referencia o márgenes de fase y

ganancia Visión Moderna: La Banda de los Seis (según Astrom)


1.2. Estructuras de Realimentación Realimentación: reduce el efecto de perturbaciones disminuye la sensibilidad a errores de modelado estabiliza sistemas inestable pero... puede inestabilizar un sistema estable oscilaciones en una respuesta previamente suave generar alta sensibilidad a ruido de medición. Sistema SISO de un grado de libertad transferencia modificable: controlador ( )K s . planta nominal ( )0G s .


donde ( )R s : Referencia ( )iD s , ( )oD s y ( )mD s : Perturbaciones

0x : Estado inicial de la planta ( )Y s : Salida ( )U s : Control

( )K s : Controlador ( )0G s : Modelo nominal de la planta

( )( )

( )

P sK sL s

= , ( )( )

( )

00

0

B sG s

A s= [1.1]


Señales de interés (ignorando el estado inicial)

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]0

01 m iK sU s R s D s G s D s

G s K s= − −

+ [1.2]

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]0 0 00

11 m iY s G s K s R s D s D s G s D s

G s K s= − + +

+ [1.3]


1.3. Enfoque Clásico Se basa en el análisis de algunas relaciones No es completo Es importante por ser tradicional


- Respuesta al escalón - sobrepico - tiempo de establecimiento, de crecimiento, retardo


- Respuesta a una rampa - ideal para describir seguimiento de señales lentas - importante para control de movimientos


- Respuesta a una carga Se puede medir - máximo error - tiempo en que se produce el máximo error - tiempo de reestablecimiento - integral del error o del valor absoluto del error


- Respuesta en Frecuencia - ancho de banda - pico de resonancia


- Diagrama de Nyquist Se grafica polarmente ( ) ( )0G s K s


- Diagrama de Bode


- Ubicación de Polos y Ceros


- Sistema de Segundo Orden

( )2

2 22n

n n

G ss s

ωξω ω

=+ +


1.4. Funciones de Sensibilidad Nominales Función de sensibilidad

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

00

0 0 0

11

A s L sS s

G s K s A s L s B s P s= =

+ + [1.4]

Función de sensibilidad complementaria

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 00

0 0 01G s K s B s P s

T sG s K s A s L s B s P s

= =+ +

[1.5]

Función de sensibilidad a perturbación de entrada

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 00

0 0 01iG s B s L s

S sG s K s A s L s B s P s

= =+ +

[1.6]

Función de sensibilidad de control

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

00

0 0 01uA s P sK sS s


+ + [1.7]


Las funciones de sensibilidad están relacionadas algebraicamente: ( ) ( )0 0 1S s T s+ = [1.8]

( ) ( ) ( )( )

( )

00 0 0i

T sS s S s G sK s

= = [1.9]

( ) ( ) ( )( )

( )

00 0

0u

T sS s S s K sG s

= = [1.10]


Con las funciones de sensibilidad y bajo condiciones iniciales nulas, se pueden construir la forma compacta

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

0 0 0

0

0 0

1

1i

m

R sG s K s G s G s K sY s D sK s G s K s K s K s

G s K sU s D s

D s

− − − − = +

[1.11]

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

0 0 0 0

0 0 0 0 0

i i

u u u

m

R s

Y s T s S s S s T s D s

U s S s T s S s S s D s

D s

− = − − −

[1.12]


1.5. Estabilidad de lazo cerrado en base al Polinomio Característico El Lazo nominal es el resultante de conectar un controlador al modelo nominal

de la planta. Estabilidad interna: El lazo nominal es internamente estable si las ocho funcio-

nes transferencia en [1.11] son estables. Todas las señales en el lazo acotadas para cada conjunto de entradas ( )r t ,

( )id t , ( )od t y ( )md t acotadas.

Teorema. [Estabilidad interna nominal] Dado el lazo cerrado de la Figura 1 con el controlador y modelo definidos por [1.1]. Entonces el lazo cerrado es internamen-te estable si y sólo si todas las raíces de la ecuación característica a lazo cerrado

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0A s L s B s P s+ = [1.13]

tienen parte real negativa. La estabilidad interna implica más que la estabilidad de la referencia a la salida. No debe haber cancelaciones de polos inestables entre planta y controlador. La ecuación característica [1.13] es de la forma ( ) 0p s = , donde ( )p s es el

polinomio característico del lazo cerrado.


Ejemplo 1.1. Sistema de Segundo Orden

( )

( )( )03

4 2G s

s s=

+ − +, ( )

2sK ss

− += [1.14]

puede verse que la función de sensibilidad complementaria nominal

( )0 234 3

T ss s

=+ +

[1.15]

es estable. Sin embargo, la sensibilidad a perturbación de entrada nominal

( )

( )( )0 23

2 4 3isS s

s s s=

− + + + [1.16]

es inestable. Por el Teorema de estabilidad interna nominal, el lazo cerrado no es interna-

mente estable, ya que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )20 0 2 4 3A s L s B s P s s s s+ = − + + + .


1.6. Estabilidad relativa: Márgenes de estabilidad A menudo se necesita obtener alguna medida cuantitativa de cuan lejos de ser

inestable está un lazo nominal. El punto crítico de estabilidad es cuando

( ) ( )01 0G s K s+ = [1.17]

o ( ) ( )0 1 0G s K s j= − + [1.18]

Se puede medir la distancia de la respuesta en frecuencia nominal al punto de estabilidad crítica 1 0j− + .


1.6.1. Márgenes de ganancia y fase En un diagrama polar (Nyquist), el sistema es inestable si encierra al 1 0j− + .

Definimos margen de ganancia gM y margen de fase fM

( )1020 loggM a= −

fM φ=

El margen de ganancia marca la ganancia adicional que llevaría el lazo cerra-

do a la condición de estabilidad crítica. El margen de fase cuantifica el retardo de fase puro que debería agregarse pa-

ra alcanzar la misma condición de estabilidad crítica.


1.6.2. Pico de sensibilidad Indicador alternativo de estabilidad relativa es el pico de la función de sensibili-

dad. Recordar que

( ) ( ) ( )10 01 G j K j S jω ω ω−+ = [1.19]

El radio η del círculo tangente al gráfico de ( ) ( )0G j K jω ω es la recíproca del pico de la sensibilidad nominal. Cuanto mayor sea este pico, más cerca de la ines-tabilidad estará el lazo.


El pico de sensibilidad es un indicador de estabilidad relativa más confiable que los márgenes de fase y ganancia: un sistema puede tener buenos márgenes de fase y ganancia y aún estar cerca de ser inestable.

Por otro lado, un bajo valor del pico de sensibilidad garantiza márgenes de ga-nancia y fase mínimos.


g=tf(10,poly([-1 -1 -1])); m=1/(1+g); bode(m,g)

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-150

-100

-50

0

50From: U(1)

10-1 100 101 102-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

To: Y

(1)

G

1/(1+GK)

1/(1+GK)

G


g=tf(10,poly([-1 -1 -1])); m=1/(1+g); nyquist(m,g)

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10From: U(1)

To: Y

(1)

1/(1+GK)

GK


1.6.3. Márgenes de estabilidad y diagramas de Bode Los márgenes de estabilidad pueden describirse y cuantificarse también en

diagramas de Bode. (MG: distancia a 0db en 180gr)

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40From: U(1)

10-2 10-1 100 101-250

-200

-150

-100

-50

To: Y

(1)

Mf

Mg


1.7. 1.6. Robustez

Analiza el efecto de variaciones de la planta respecto a su valor nominal. Se utilizan las funciones de sensibilidad nominal.

1.7.1. Error de modelado La función de transferencia real se puede expresar como ( ) ( ) ( )( )0 1G s G s G s∆= + [1.20]

donde ( )G s∆ es el modelo de error multiplicativo (MEM)

( )( )

( )01G sG s

G s∆ = − [1.21]

este error es desconocido pero generalmente acotable ( ) ( )G jω ε ω∆ < [1.22]


Ahora las funciones de sensibilidad serán

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

11

A s L sS sG s K s A s L s B s P s

= =+ +

[1.23]

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1G s K s B s P sT s


+ + [1.24]

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1iG s B s L sS s


+ + [1.25]

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1uK s A s P sS s


+ + [1.26]

Se define

( )( )

( )01G sG s

G s∆ = − [1.27]

( )( ) ( )0

11

S sT s G s∆

∆=

+ [1.28]


quedando ( ) ( ) ( )

0S s S s S s∆= [1.29]

( ) ( ) ( )( ) ( )0 1T s T s G s S s∆ ∆= + [1.30]

( ) ( ) ( )( ) ( )0 1i iS s S s G s S s∆ ∆= + [1.31]

( ) ( ) ( )0u uS s S s S s∆= [1.32]


1.7.2. Estabilidad Robusta Se dice que un sistema es robustamente estable si es internamente estable

con la planta real. Teorema. [Estabilidad robusta] Sea una planta con modelo nominal ( )0G s y

transferencia real ( )G s ; sea ( )K s un controlador que estabiliza internamente la planta nominal y si ( ) ( )G s K s y ( ) ( )0G s K s tienen el mismo número de polos in-estables.

Entonces, el controlador ( )K s logra la estabilidad del lazo real si se cumple: ( ) ( )0 1T j G jω ω∆ < [1.33]

o

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 01G j K j G j G j K jω ω ω ω ω∆ < + [1.34]

La estabilidad es robusta frente a un dado error ( )G jω∆ si el punto de estabili-dad crítica 1 0j− + se encuentra fuera del disco de centro en ( ) ( )0G j K jω ω y ra-dio ( ) ( ) ( )0G j K j G jω ω ω ω∆ ∀ .


Vemos que un pico elevado de sensibilidad hace pequeño ( ) ( )01 G j K jω ω+ en [1.34], disminuyendo la tolerancia a error de modelado MEM para preservar es-tabilidad robusta.

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