5/26/2018 07. Ecuaci n de Ricatti

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ECUACIN DIFERENCIAL DE RICCATI

Recibe el nombre de ecuacin de Riccati toda ecuacin diferencial de la forma:

En general, esta ecuacin no se integra en cuadraturas (la bsqueda de la solucin no puede reducirse a un

nmero finito de integraciones sucesivas).

Si se conoce una solucin particular, y1(x), entonces, introduciendo una nueva variable z tal que:

La ecuacin diferencial de Riccati se reduce a una ecuacin diferencial lineal puesto que podemos poner:

Y sustituyendo en (R1):

Pero teniendo en cuenta que y1es solucin de (R1) se verificar:

Por lo que sustituyendo y simplificando tendremos:

Que es una ecuacin lineal en z.

Integrada esta ltima ecuacin y hallada z, se podr pasar a y por la equivalencia dada.

Si se conoce otra solucin ms, y2, de la ecuacin diferencial del Riccati, entonces:

Es una solucin particular de la ecuacin lineal para la variable z, lo cual nos permite simplificar su integraci

Si para la ecuacin diferencial de Riccati se conocen tres soluciones particulares y1, y2e y3, entonces su integ

general es:

Resultado que se puede enunciar diciendo que la razn doble de cuatro integrales particulares de la ecuacin

diferencial de Riccati es constante.

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