Clase 5 semana 3

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Ecuaciones diferenciales de RicattiDefinición Una EDO de primer orden se llama de Ricatti si se puede escribir en su forma normal o estándar como𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑦2 + 𝑅(𝑥), (1)

donde P(x),Q(x) y R(x) son ciertas funciones continuas definidas sobre algún intervalo I⊆ ℝ.Observamos que tal EDO es una mezcla entre una lineal y una de Bernoulli con n=2.Claramente si R(x)=0 la ecuación es de Bernoulli con n=2 y si Q(x)=0 la ecuación es lineal.

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Para resolver la EDO de Ricatti es necesario conocer una solución particular para ella, esto es, una función g(x) tal que𝑑𝑔

𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑔 = 𝑄 𝑥 𝑔2 + 𝑅 𝑥 .

El cambio de variables 𝑦 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑧(𝑥)transforma la EDO original en una de Bernoulli con n=2 para las variables z,x. Para verlo derivamos con respecto a x la última

ecuación obteniendo 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑔

𝑑𝑥+𝑑𝑧

𝑑𝑥y sustituyendo

tanto y(x) como 𝑑𝑦

𝑑𝑥en términos de la nueva

variable z en la EDO original tenemos

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𝑑𝑔

𝑑𝑥+

𝑑𝑧

𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑔 + 𝑧 = 𝑄 𝑥 𝑔 + 𝑧 2 +

+ 𝑅 𝑥 ⇒𝑑𝑔

𝑑𝑥+

𝑑𝑧

𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑔 + 𝑃 𝑥 𝑧 =

𝑄 𝑥 𝑔2 + 2𝑄 𝑥 𝑔𝑧 + 𝑄 𝑥 𝑧2 + 𝑅 𝑥 ⇒𝑑𝑧

𝑑𝑥+

+ 𝑃 𝑥 𝑧 = 2𝑄 𝑥 𝑔𝑧 + 𝑄 𝑥 𝑧2 ⇔𝑑𝑧

𝑑𝑥+

+ 𝑃 𝑥 − 2𝑄 𝑥 𝑔 𝑧 = 𝑄(𝑥)𝑧2. Hemos usado que g(x) es una solución particular de la EDO de Ricatti.Vemos que en efecto la ecuación diferencial resultante es de Bernoulli para n=2, con 𝑃 𝑥 =𝑃 𝑥 − 2𝑄 𝑥 𝑔, 𝑄 𝑥 = 𝑄 𝑥 .

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Para encontrar la SG de nuestra EDO original resolvemos primero la EDO de Bernoulli resultante, pasando luego a la correspondiente EDO lineal y devolvemos al final los cambios de variables a las variables originales y,x.

Ejemplo Resolver la EDO 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦

𝑥+

𝑦2

𝑥2− 1 si

sabemos que 𝑔 𝑥 = 𝑥 es una solución particular de la misma. Reconocemos que esta ecuación diferencial es de Ricatti con

𝑃 𝑥 = −1

𝑥, 𝑄 𝑥 =

1

𝑥2y 𝑅 𝑥 = −1.

Hacemos entonces el cambio de variables y(x)=g(x)+z(x)=x+z(x).

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De aquí 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 1 +

𝑑𝑧

𝑑𝑥. Sustituyendo en la EDO

tenemos 1 +𝑑𝑧

𝑑𝑥=

𝑥+𝑧

𝑥+(𝑥+𝑧)2

𝑥2− 1 = 1 +

𝑧

𝑥+ 1 +

2𝑥𝑧

𝑥2+

𝑧2

𝑥2− 1 ⇔

𝑑𝑧

𝑑𝑥−

1

𝑥+

2

𝑥𝑧 =

𝑧2

𝑥2.

Vemos que esta última ecuación es de Bernoulli con n=2 en las variables z,x y se escribe como 𝑑𝑧

𝑑𝑥−

3

𝑥𝑧 =

1

𝑥2𝑧2. Para resolverla dividimos primero

por 𝑧2 y llegamos a 𝑧−2𝑑𝑧

𝑑𝑥−

3

𝑥𝑧−1 =

1

𝑥2.

Sabemos que el nuevo cambio de variables 𝑤 =𝑧1−𝑛 = 𝑧1−2 = 𝑧−1 convierte la ecuación resultante en una lineal en las variables w,x.

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En efecto, derivando respecto a x tenemos 𝑑𝑤

𝑑𝑥=

− 𝑧−2𝑑𝑧

𝑑𝑥⇒

𝑑𝑧

𝑑𝑥=-

1

𝑧−2𝑑𝑤

𝑑𝑥. Sustituyendo llegamos a

− 𝑧−21

𝑧−2𝑑𝑤

𝑑𝑥−

3

𝑥𝑤 =

1

𝑥2⇔

𝑑𝑤

𝑑𝑥+

3

𝑥𝑤 = −

1

𝑥2.

La SG de esta EDO lineal viene dada por 𝑤 𝑥 =

𝑒−∫3

𝑥𝑑𝑥 −∫𝑒∫

3

𝑥𝑑𝑥 1

𝑥2𝑑𝑥 + 𝐶 =

1

𝑥3−∫𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 .

Así, llegamos a la SG de la ecuación lineal 𝑤 𝑥 =

−1

2𝑥+𝐶

𝑥3.

Esta solución está definida para 𝑥 > 0, con una expresión similar que se puede obtener también para el caso en que 𝑥 < 0 (ejercicio).

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De 𝑤 = 𝑧−1 tenemos que 𝑧 𝑥 =1

𝐶

𝑥3−

1

2𝑥

=2𝑥3

2𝐶−𝑥2.

Finalmente, la SG de nuestra EDO original viene dada (en el caso en que 𝑥 > 0) por

𝑦 𝑥 = 𝑥 +2𝑥3

2𝐶 − 𝑥2.

Ecuaciones diferenciales exactas (o en diferenciales totales)

Recordemos que para una función f: 𝒟 ⊆ ℝ2 → ℝdiferenciable f(x,y) su diferencial total viene dado

por 𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 =𝜕𝑓

𝜕𝑥(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦.

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Definición Una forma diferenciable 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 +𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 se dice exacta si existe una función

𝑓:𝒟 ⊆ ℝ2 → ℝ diferenciable f(x,y) tal que 𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦. Una EDO de primer orden definida a través de 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 se dice exacta si la forma diferenciable que la define es exacta.Observamos que en tal caso y debido a que𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦=0, la SG

queda escrita como 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘, donde k es una cierta constante de integración.

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Se observa también que la condición de exactitud de la forma diferenciable implica que deben cumplirse de manera simultánea las ecuaciones 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 ,

𝜕𝑓

𝜕𝑦𝑥, 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 .

La conclusión que podemos establecer a partir de todo lo anterior es que para resolver una EDO de primer orden exacta bastaría encontrar aquella función f(x,y) que hace exacta la forma diferencial respectiva.Veamos un criterio concreto que implicará una manera constructiva de encontrar la función f(x,y) que permitirá resolver la EDO original exacta.

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Teorema (Condición de exactitud para una forma diferenciable) La condición necesaria y suficiente para que la forma diferenciable 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 +𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 sea exacta (siempre y cuando se cumpla que

𝑀 𝑥, 𝑦 , 𝑁 𝑥, 𝑦 ,𝑀𝑥 𝑥, 𝑦 ,𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 ,

𝑁𝑥 𝑥, 𝑦 , 𝑁𝑦 𝑥, 𝑦

sean continuas sobre 𝒟 ⊆ ℝ2)

es que 𝜕𝑀

𝜕𝑦𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑁

𝜕𝑥𝑥, 𝑦 sobre el dominio de

definición de la EDO 𝒟 ⊆ ℝ2.En vez de demostrar el teorema anterior veremoscomo cómo se usa en la práctica.

GRACIAS

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