01_Tensiones
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TENSIONES
TENSIONES
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1. Definicin
2. Descripcin de un estado tensionala) Tensor de tensiones
b) Sistemas de referencia
c) Tensiones principalesd) Invariantes del estado tensional
ndice
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Definicin del concepto de tensin
Describe la intensidad de las fuerzas internas que se inducen en un slido por
la aplicacin de un conjunto de fuerzas, tanto internas como externas.
Dichas fuerzas son bsicamente de orien ra!itacional " tectnico.
#l efecto de una fuerza depende del rea sobre la que act$a, por lo que
trabajar con fuerzas no es adecuado para cuantificar su efecto.
#l efecto de la fuerza se expresa como tensin %esfuerzo,stress, traction&,
= F/Aque es un !ector independiente de la manitud del rea deaplicacin %pero no de su orientacin&
'a fuerza se puede descomponer en sus componentes normal " cortante al
rea de aplicacin
+= SNF
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(
Definicin del concepto de tensin
)ara cuantificar la tensin en el interior del slido se considera un rea
infinitesimal Aasociada a la fuerza actuante.
dA
dF
A
Flim
0A==
'as componentes normal " cortante de la fuerza resultante en dicho punto
tambi*n producen las tensiones normal " cortante a dicha rea.
dA
Nd
A
Nlim
0An == dA
Sd
A
Slim
0A==
n
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+
Definicin del concepto de tensin
'as unidades sonfuerza/area, -m2 )a
/nidades habituales %0..& 1 )a 1#4 )a %a !eces se emplea 1 -mm2&
1 5)a 1#3 )a
6tras unidades 1 5p-cm2 7 8.1 )a 1#+ )a
1 9-m27 8.81 )a 1#( )a
:riterio de sinos %-& :ompresiones
%;& 9racciones
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Estado tensional en un punto. Tensor de tensiones
)ara estudiar el !ector tensin consideremos un slido en equilibrio esttico
bajo la accin de fuerzas, distribuidas o puntuales
:onsideremos una porcin cualquiera del slido, como por ejemplo la que se
obtendr
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@
Estado tensional en un punto. Tensor de tensiones
)
-
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A
Estado tensional en un punto. Tensor de tensiones
0i consideramos dos planos distintos,B " C que pasan por ), los !ectores
tensin correspondientes sern iualesE
:aso de ser distintos :mo se podr
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F
Estado tensional en un punto. Tensor de tensiones
)ara cuantificar la tensin en un punto se considera el !olumen elemental en
equilibrio esttico asociado a dicho punto " las tensiones normales " cortantes
en cada una de las caras de dicho !olumen.
'a tensin cortante se di!ide a su !ez en 2 componentes ortoonales que se
definen seGn el sistema de referencia
'as tensiones cortantes se suelen expresar mediantelos s
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Estado tensional en un punto. Tensor de tensiones
'a fiura anterior propone 1A !alores de tensin, pero, son independientes
entre si estos !aloresE
Dado que el paralelep
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:onsideremos un tetraedro elemental %que corta al paralelepzlas componentes del !ector tension
en la cara IJ: de area d% " K, L, M las componentesdel !ector unitario normal a la misma
r
x nx xy xz
y xy ny yz
z xz yz nz
dA dA dA dA
dA dA dA dA
dA dA dA dA
= + +
= + +
= + +
Nue admite una cmoda expresin matricial
x x xy xz
y xy y yz
xz yz zz
=
6 bien simblicamente
#l tensor de tensiones depende del sistema de referencia que se adopte, de forma que el mismo
estado tensional en un punto se expresa mediante distintos tensores se$n el sistema de
referencia que se adopte
[ ] [ ] [ ]O u =r r
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Estado tensional en un punto. Ecuaciones de equilibrio
=ijado el triedro de referencia 6x"z, las componentes de la matriz de tensiones
en un punto sern, en eneral, funcin de las coordenadas de dicho punto. 0in
embaro, los !alores que toman esas componentes no pueden ser arbitrarios, "a
que siendo f!la fuerza por unidad de !olumen de componentes %P, Q, R&, lacondicin de equilibrio esttico en el paralelep
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Estado tensional en un punto. Cambio de sistema de referencia
#l objeti!o es expresar un estado tensional referido a unos ejes %x, y, z"en unos
nue!os ejes %l, m, n".
'os nue!os ejes se refieren a los antiuos mediante sus cosenos directores%lx, ly, lz&
%mx, my, mz&
%nx, ny, nz&
%lxes la pro"ecin del !ector unitario paralelo al nue!o eje lsobre el antiuo ejex
/n estado tensional, que se representa mediante el siuiente tensor referido alos ejes %x, y, z"
[ ]
=
zzyzzx
yzyyxy
zxxyxx
0e representa iualmente mediante el siuiente tensor referido a los ejes %l, m, n"
[ ]
=
nnmnnl
mnmmlm
nllmll
#
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1(
Estado tensional en un punto. Cambio de sistema de referencia
Inal
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1+
Estado tensional en un punto. Cambio de sistema de referencia
anteniendo la misma orientacin en el espacio de la cara a$c, pero expresando la tensin ten el nue!osistema de referencia (l, m, n"resulta
T
T
T
l ll lm nl x
m lm mm mn y
n nl mn nn z
t
t
t
=
St#U S+U StU
StU " St#U son los !ectores correspondientes a la tensin resultante en la cara a$creferida a los ejes %x, y, z"" %l,
m, n& respecti!amente. SU " S#U son los !ectores normales a la cara a$creferidos a los ejes %x, y, z"" %l, m, n&,
por lo tanto
S#U S+U SU
0iendo SVU la matriz de iro, que tiene la expresin siuiente
[ ]
=
zyx
zyx
zyx
nnn
mmm
lll
+
St#U SU S U
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Estado tensional en un punto. Cambio de sistema de referencia
'as matrices de iro tienen la propiedad de que su in!ersa es iual a su traspuesta SVUW1 SVU9con lo que
StU S+UW1St#U S+U9St#U
SU S+UW1S#U S+U9S#U
#ntonces St#U S+U StU
S+U XSU SUY
S+U SU XS+U9
S#
UY
" como St#U S#U S#U
iualando " eliminado STU S#U S+U SU S+U9
es decir
=
zzz
yyy
xxx
zzyzzx
yzyyxy
zxxyxx
zyx
zyx
zyx
nnmnnl
mnmmlm
nllmll
nml
nml
nml
nnn
mmm
lll
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1A
Estado tensional en un punto. Tensiones principales
Interiormente se ha mostrado que el estado tensional en un punto se expresa
mediante 4 componentes %que constitu"en un tensor sim*trico& cu"as manitudes
dependen del sistema de referencia adoptado.
0e ha !isto tambi*n que la tensin resultante tde un estado tensional sobre unplano arbitrario en el interior del slido se puede expresar mediante una tensin
normal " 2 tensiones cortantes ortoonales.
#s de inter*s conocer los 2 planos en los que la componente normal de la tensinresultante es mxima " m
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1F
Estado tensional en un punto. Tensiones principales
#l estado tensional en un punto se puede expresar tambi*n mediante las
manitudes de las ! tensiones principalesH
H ms las ! direcciones principales, que por ortoonalidad son 3 !ariables
independientes ms %2 nulos para la direccin principal ma"or, " 1 nulo de
otra direccin principal sobre el plano principal ma"or&.
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Estado tensional en un punto. Tensiones principales
Determinacin de las tensiones principales
0ea el plano a$c de la fiura un plano normal a la tensin
resultante pZ si la normal al plano !iene dada por el unitario%x, ", z&, las componentes de la tensin resultante en el planoa$c son
=
zt
t
t
y
x
&
z
y
x
'as componentes de la tensin resultante en el plano a$cestn
relacionadas con el estado tensional " la orientacin del plano
%!er p. F& mediante
=
zt
t
t
y
x
zzyzzx
yzyyxy
zxxyxx
z
y
x
Vestando ambas iualdades resulta
=
0
0
0
z
y
x
&zzyzzx
yz&yyxy
zxxy&xx
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Estado tensional en un punto. Tensiones principales
Determinacin de las tensiones principales
'a anterior ecuacin matricial representa un sistema homo*neo de 3 ecuaciones con 3incnitas, x, ", z, " la condicin para que tena solucin no tri!ial es que su determinantesea nulo. Inulando el determinante se obtiene la siuiente ecuacin c$bica
0--- .&,,
&
.
& =+
0iendo 1, 2" 3los [in!ariantes\ del estado tensional %!er p. 1F&, que se definen como
-= * * . = xx* yy* zz
( )2222113322 xyzxyzyyxxzzxxzzyy- ++++=++=
,
xyyy
,
zxyy
,
yzxxzxyzxyzzyyxx.,/. ,- +==
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Estado tensional en un punto. Tensiones principales
Determinacin de las tensiones principales
#sta ecuacin c$bica tiene 3 ra
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Estado tensional en un punto. Tensiones principales
'omentarios !enerales
'a 1cuantifican la mxima compresin del estado tensional en el punto.
'a 3cuantifica la m
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2(
Estado tensional en un punto. Invariantes
Idems de las tensiones principales, existen unas constantes asociados al estado
tensional que son independientes del sistema de referenciaque se adopte. Dichos !alores son los invariantesdel estado tensional. 'os ms interesantes en
ecnica de Vocas son el primer " el seundo in!ariantes, 1e 2respecti!amente
-= * * . = xx* yy* zz
( ),xy,zx,yzyyxxzzyyzzyy,//..,,- ++++=++=
'os in!ariantes cuantifican el estado tensional de forma lobal, e independiente del
sistema de referencia que se adopte-cuantifica la tensin normal media que ac$a
en un punto
.,
0 -.
.=
++=
,
xyyy
,
zxyy
,
yzxxzxyzxyzzyyxx.,/. ,- +==
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2+
Estado tensional en un punto. Invariantes
#s habitual di!idir el tensor de tensiones en dos componentes, una parteesf3rica, 4idrost5ticao
6olum3trica, S0U, " una parte des6iadora, SdU, de manera que
SU S0
U ; Sd
U
+
=
0zzyzxz
yz0yyxy
xzxy0xx
0
0
0
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
00
00
00
S0U cuantifica las deformaciones !olum*tricas %cambio de !olumen, no de forma& SdUcuantifica la distorsin %cambio de forma, no de !olumen&.
'os invariantes de SdU son
83
3381
=
++++=++= zzyyxxzzyyxxzzyyxx7
( ) ( ) ( )[ ] =+++++= 222222
241
xyzxyzyyxxxxzzzzyy7
( ) ( ) ( )[ ]2212
13
2
324
1 ++=
( ) ,, -
.
- =
-
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Estado tensional en un punto. Invariantes
'omentarios finales
#l primer in!ariante deS0U, , cuantifica lobalmente los efectos de cambio de
volumenen el slido.
#l primer in!ariante de SdU,7, es nulo, por lo que para cuantificar lobalmente los
efectos de cambio de forma o distorsinde un slido se emplea el(2.
Ilunos modelos constituti!os de comportamiento de slidos estn formulados en
estos in!ariantes.
/n estado tensional queda completamente definido con las ! direccionesprincipalesms los ! invariantes que constitu"en 4 !ariables independientes.