Masa relativistaMasa relativistaConsideremos dos sistemas inerciales S y S, separados uno de otro,a lo largo de un eje comn xx, movindose uno de ellos convelocidad v.Estimamos la presencia de dos cuerpos de masa idntica,aproximndose uno al otro en una trayectoria de colisin convelocidad constante paralela al eje xx.

Un observador en el sistema S medir la velocidad de cada cuerpo

11Fsica IV Fsica IV Mg.Jos Castillo VenturaMg.Jos Castillo Ventura

Un observador en el sistema S medir la velocidad de cada cuerpocomo v antes de la colisin, con m1 movindose en la direccin deleje x positivo y m2 viajando en la direccin x negativa. Ademsadmitimos que los cuerpos tienen una colisin perfectamenteinelstica, tal que el observador en S ver la combinacin de masacomo m1 + m2 = 2m, la cual estar en reposo relativo despus de lacolisin .

XX

m1 m2

v1x = v v2x = -v

Y Y

v

Desde Sse ovservar:

Antes del impactov1x= v.......... 1v2x= -v.........2v1y= v2y= v1z= v2z= 0 ..........3

m mY YY Despus del impacto

v = v = v = 0 ..............4

22Fsica IV Fsica IV Mg.Jos Castillo VenturaMg.Jos Castillo Ventura

XX

m1 m2

vx = 0

vvx= vy= vz= 0 ..............4

Transformaremos a continuacin los datos obtenidos por S alsistema S, haciendo uso de las Transformaciones de Lorentzpara la velocidad:

5..........1

Para

1

2

'

1

'

11

2

'

'

c

vv

vvv

c

vv

vvv

x

xx

x

xx

+

+=

+

+=

De 1 en 5:

c donde .6,..........

12

21vv

v x =+

=

33Fsica IV Fsica IV Mg.Jos Castillo VenturaMg.Jos Castillo Ventura

1 2c+

Para v2x :

.........801

:7en 2 doreemplazan ,.........71

2

2

22

2

'

2

'

22

=

+

+=

+

+=

xx

x

xx

v

c

v

vvv

c

vv

vvv

Desde S se observar :Antes del impacto

.........908..........0

.........61

2

2211

2

21

====

=

+=

zyzy

x

x

vvvv

v

vv

v m1

m2

XX

Y Y

Despus del impacto

:10en 4 doreemplazan 0,.........1' +

=x vvv v m m

Y YY

44Fsica IV Fsica IV Mg.Jos Castillo VenturaMg.Jos Castillo Ventura

01.........1

:10en 4 doreemplazan 0,.........11 2

'

==

=

+

+=

zy

x

x

xx

vv

vv

c

vv

vvv v m1 m2

XX

As mismo el sistema S observar a las masas originales, despus delimpacto, como :M = m1 + m2 ........12

Haciendo uso del principio de conservacin del momentum lineal, antes y despus de la colisin , podemos expresar la ecuacin 12 como :

.......14)(y ,0 pero ,........13

2111212

2211

vmmvmmmMvvvMvvmvm

xxx

xxx

+=+===

=+

Para poder generalizar la ecuacin 14, suprimiremos algunos subndices, astenemos que :

55Fsica IV Fsica IV Mg.Jos Castillo VenturaMg.Jos Castillo Ventura

tenemos que :En el sistema S, el cuerpo de masa m2 es observado en reposo, por lo queadoptaremos convencionalmente que es una masa inercial en reposo (m0),as como la longitud propia y el tiempo propio, es definida como la masamedida en un sistema de referencia en el cual el cuerpo est en reposo,con esta convencin para m2, ya no es necesario el subndice para m1,entonces: m2 m0 y m1 m ...........14En el sistema S las dos masas son idnticas, sin embargo en el sistema Sson vistas diferentemente, tal que m0 es una masa en reposo y m es unamasa relativista, en un estado de movimiento relativo uniforme (ecuacin 6).

5.........1112121211 xzyx vvvvvv =++=

momentum deln Conservaci ........16)( 01 vmmmv +=

Si deseamos generalizar la ecuacin 14, vemos que:

De 14 y 15 en 14:

Si continuamos con el desarrollo de las ecuaciones anteriores, llegaremos a la expresin: m= m

66Fsica IV Fsica IV Mg.Jos Castillo VenturaMg.Jos Castillo Ventura

llegaremos a la expresin: m= m0

Como > 1 para v1 relativista, entonces m > m0.Este resultado implica que la masa de un cuerpo no es invariantesegn la relatividad einsteniana, sin embargo el incremento serobservado cuando el cuerpo se encuentre en estado demovimiento. Para v1 c, el incremento de masa es muy pequeoy 1 por lo que m m0, lo cual es lo que observamos en lasexperiencias diarias.

MomentumMomentum relativistarelativistaEl momentum lineal viene definido por :

12

0

==

v

v

vmvmp

rrr

Fuerza relativistaFuerza relativista

77Fsica IV Fsica IV Mg.Jos Castillo VenturaMg.Jos Castillo Ventura

Fuerza relativistaFuerza relativistaLa fuerza se encuentra definida en funcin de la cantidad demovimiento, como:

2........ -1

F tambin o ........1

2

21

10

==

c

v

vm

dtd

dtpdF

rr

r

vOperando 2 para un movimiento rectilneo y uniforme:

.......3

10

3

23

2

21

10

am

c

v

dtdv

m

F =

=

De la ecuacin 3 se puede concluir que la ecuacin de la segunda ley

88Fsica IV Fsica IV Mg.Jos Castillo VenturaMg.Jos Castillo Ventura

de Newton para un sistema de alta energa en movimiento rectilneo,no conserva la misma forma, salvo que para v1 c, 1, con lo quese pasa a la forma clsica.

Para un movimiento circular uniforme, la velocidad permanececonstante en magnitud, mas no en direccin, analizando laecuacin 2, se puede escribir como:

........41dtvd

mFr

r=

para un movimiento circular, la aceleracin normal o centrpetaviene dada como :

.......6F : tenemos4,en 5 de .......5,21

N

21

Rv

mRv

aN ==

Al hablar del movimiento curvilneo general, se nota la presencia de una aceleracin tangencial y una aceleracin normal, tal que de las ecuaciones 3 y 6 podemos concluir que las componentes de la fuerza a lo largo de la tangente y normal de una trayectoria son:

m

99Fsica IV Fsica IV Mg.Jos Castillo VenturaMg.Jos Castillo Ventura

8 ........

1

7.......

1

21

2

21

0

2

21

2

21

0

NNN

TTT

maa

c

v

mF

maa

c

v

mF

=

=

=

=

Energa cintica relativistaEnerga cintica relativistaConsiderando que una partcula se mueve con velocidades prximas a valores relativistas, calcularemos el trabajo necesario para aumentar su velocidad desde cero hasta una velocidad v.

= ........1.dsFEk

( ) .......3 su vez a .......2, vdtdsmvdtd

dtdp

F ===Pero:

1010Fsica IV Fsica IV Mg.Jos Castillo VenturaMg.Jos Castillo Ventura

dtdt

De 2 y 3 en 1, tenemos:

( ) ==v

k mmvdtmvdtdE

00y partespor n integraci la aplicando ,

( ) ( )( ) : tenemosndo,simplifica ,1

11

21

22

21

222

0222

02

0

cv

cvcm

cvcmvm

Ek

+=

........4)( 202020 cmmEcmcmE kk ==

De la ecuacin 4 es posible llegar a la expresin clsica para laEk, esto es considerando que v c, y haciendo uso de laexpresin :

1111Fsica IV Fsica IV Mg.Jos Castillo VenturaMg.Jos Castillo Ventura

........5 ...!

)1)....(1(...

!2)1(1)1( 2 +++++=+ nm x

n

nmmmx

mmmxx

21

; :5con comparando ,)1( 22

21

2

2

0

=

==

mc

vx

c

vmm

.........6.....83

211 4

4

2

2

0

+++=

c

v

c

vmm

........721

83

21 2

02

04

4

02

02

0 vmEcmc

vmvmcmE kk =++=

0c

v

,

En la medida que se cumple el principio de correspondencia a nivel de la energa cintica.

1212Fsica IV Fsica IV Mg.Jos Mg.Jos Castillo VenturaCastillo Ventura

Energa totalConsiderando la ecuacin para la energa cintica relativista, tenemos:

........1)( 202020 cmmEcmcmE kk ==

Ecuacin en la que se aprecian dos trminos:2

022

0 )( cmmccmmEk ==El primero representa la energa total: E

1313Fsica IV Fsica IV Mg.Jos Mg.Jos Castillo VenturaCastillo Ventura

El primero representa la energa total: EtotalEnergacmE 2=

El segundo representa la energa de reposo: E0

reposodeEnergacmE 200 =