Problema del portafolio de Merton

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1. Problema del portafolio de Merton

Captulo X de este libro se refiere a las aplicaciones de la teora de control estocstico parafinanzas. l lo ms temprano posible dicha solicitud fue el problema de la optimizacin de lacartera clsica de Merton [Mer1]. Esto est formulado como sigue. Un inversionista tiene unportafolio que consta de dos activos, uno sin riesgosy el otro con riesgo. El precio p(s) poraccin de los activos libres de riesgo cambia de acuerdo con dp = prds mientras que el precioS(s) de los activos riesgosos cambia de acuerdo a dS = S(ds + dw(s)). Donde r, , sonconstantes con r < , > 0 y w(s) es un movimiento browniano. Sea x(s) el cual denota elcapital del inversor al tiempo s, pi(s) la fraccin de la riqueza en el activo riesgoso y c(s) latasa de consumo. No se impone ninguna restriccin a pi(s), pero es requerido que x(s) > 0,c(s) > 0. Entonces x(s) cambia de acuerdo a la ecuacin diferencial estocstica

dx = (1 pi(s))x(s)ds+ pi(s)x(s)(ds+ dw(s)) c(s)ds. (1)

Detenemos el proceso si el capital x(s) llega a 0 (bancarrota). As O = (0,). Si es-cribimos u1(s) = pi(s), u2(s) = c(s), entonces el control es el vector de dos dimensionesu(s) = (u1(s), u2(s)), sujeto a la restriccin u2(s) 0. As U = (,) [0,). El costode funcionamiento es

L(x, v2) = `(v2) (2)

Donde `(c) es la utilidad de la tasa de consumo con c > 0. Asumimos que `(0) = 0,`(0+) = +, `(c) > 0, `(c) < 0 para c > 0. El problema es maximizar la utilidad esperadatotal, la tasa de descuento > 0:

J(x;u1, u2) = Ex

0es`(c(s))ds (3)

Donde c(s) = u2(s) es la tasa de consumo y cualquiera de los dos = + o es elmomento de quiebra.

Para v = (v1, v2) U ,

GvW (x) = 2v21x

2

2Wxx + ( r)v1xWx + rxWx v2Wx.

La ecuacin de programacin dinmica (5.8) se puede poner en la forma:

W = maxv1

[2v21x

2

2Wxx + ( r)v1xWx

]+ rxWx + max

v20[`(v2) v2Wx]. (4)

Mas precisamente, si ` es remplazada por `, entonces el problema es de minimizar J .Por lo tanto W debe satisfacer la ecuacin correspondiente a (4), con minimizar el lugarde maximizar y ` remplazado por ` Este tiene la forma (5.8). La funcin de valor V debe

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ser creciente en [0,). Ms an, este ejemplo tiene una estructura lineal cncava que implicaque V es cncava. Vase el Ejemplo 10.1 a continuacin. De acuerdo con ello, buscamos unasolucin de (4) para x > 0 con Wx > 0, Wxx < 0 y

0 = lmx0+

W (x).

Por un clculo elemental, obtenemos los siguientes candidatos para las polticas de consumoe inversin ptimas:

u1(x) = ( r)Wx(s)2xWxx(s)

, u2(x) = (`)1(Wx(x)). (5)

Supongamos ahora que

`(c) =1

c , 0 < < 1. (6)

Tal ` es llamado tipo de aversin al riesgo absoluto hiperblico (ARAH) en ingles (HARA,hyperbolic absolute risk aversion). Como una solucin a (4), se intenta

W (x) = Kx (7)

Entonces (5.22) se convierte

u1(x) = r

(1 )2 , u2(x) = (`K)

11x. (8)

Tenga en cuenta que u1 no, de hecho, depende de x y u(x) es lineal en x. Queda pordeterminar K. Mediante la sustitucin de (7) y (8) en (4) obtenemos una ecuacin no linealpara K, que tiene una solucin positiva proporcionada

>( r)222(1 ) + r. (9)

Vamos a verificar que u1, u2 son polticas optimas y que W (x) es la mxima utilidaddescontada esperada. Desde W (x) 0, la condicin (5.11) se satisface automticamente porW (recordar que los signos cambian para un problema de mximo en lugar de un mnimo).Por lo tanto, por el teorema 5.1 (a) por W (x) J(x;u1, u2) para todos los admisibles u1(),u2(). En lugar de verificar (5.13), comprobemos directamente que, para todo x > 0,

W (x) = J(x;u1, u2). (10)

Desde que u1 es constante y u2 es lineal en x, x(s) satisface la ecuacin diferencial es-tocstica con coeficiente constante lineal (1) que puede ser resuelto de forma explcita. De este

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modo, nos encontramos con que x(s) > 0 para todo s 0. (De hecho, aplicando la regladiferencial de Ito a log x(s), nos encontramos con que log x(s) es un movimiento brownianocon deriva). As = +. Al igual que en la demostracin del Teorema 5.1

W (x) = Ex

{1

t10

es[u2(x(s))]ds+ et1W (x(t1))

}

Para cualquier t1 > 0. Desde que W (x(t1)) 0 esto implica por (8)

Ex

0

es[x(s)]ds 0 y = + en (3)).

Observacin 5.2 Fue demostrado por Karatzas - Lehoczky - Sethi - Shreve [KLSS] que elproblema de Merton tiene una solucin relativamente explcita incluso si `(c) no tiene la formaespecial HARA de(6). Ellos muestran que mediante la introduccin de una nuevavariableindependient la ecuacin de programacin dinmica para W (x) se convierte en una ecuacindiferencial de segundo orden lineal, no homognea. Esto se discutir en la Seccin X. 4.

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