“ La PyMe de Martín”: Una propuesta pedagógica con aplicaciones TIC para el desarrollo de la...

TRABAJO FINAL MATEMÁTICA Y TIC II

Autor: Patricia M. Szraibman

Materia: Módulo Matemática y Tic II

Profesora: Noemí Haponiuk

Aula: 002

Ministerio de Educación de la Nación

Secuencia didáctica: Función Lineal

Fecha de presentación: 25/04/2014

Curso: 2º año C.B. ( Técnico)

Patricia Szraibman – A002 Página 1

Asignatura: Matemática

Propósitos

- Introducir a los alumnos en la modelización de

situaciones extra-matemáticas e intramatemáticas que

requieran funciones lineales, y en el estudio de las

mismas al variar los parámetros.

- Promover el uso y la importancia de recursos

tecnológicos para la exploración y formulación de

conjeturas, para anticipar y estudiar el comportamiento de

funciones lineales, para la resolución de problemas que

las involucren y para el control y la verificación de los

resultados obtenidos.

- Promover el trabajo colaborativo, la discusión y el

intercambio entre pares.

Objetivos

Que los alumnos:

- Interpreten gráficos y fórmulas que modelicen variaciones

lineales.

- Modelicen y analicen variaciones lineales expresadas

mediante gráficos y/o fórmulas, interpretando sus

parámetros (la pendiente como cociente de incrementos y

las intersecciones con los ejes).

- Determinen la ecuación de una recta a partir de diferentes

datos.

- Vinculen las relaciones entre rectas con las variaciones

de sus parámetros.

Contenidos

- Nociones de dependencia y variabilidad.

- Diferentes tipos de representaciones (fórmulas, gráficos,

tablas).

- Puntos de intersección con los ejes.

- Lectura e interpretación que brindan los gráficos

cartesianos, tablas y fórmulas.Saberes previos

necesarios En relación con la disciplina:

- Operaciones con números N, Z y Q.

- Ejes cartesianos.


- Representación de puntos en los ejes cartesianos.

Función: concepto. Dominio e imagen. Raíces,

ordenada al origen, Crecimiento y decrecimiento.

En relación con las TIC:

- Uso del Geogebra. Gráfico de puntos. Diferentes

vistas. Introducción de fórmulas. Uso de tabla.

Utilización de las herramientas básicas.

- Uso del Graphmatica: Introducción de fórmulas, uso

de tabla. Rango de la cuadrícula, copiar gráficos.

- Uso del procesador de cálculo a partir de la

utilización de fórmulas.

Actividades

Encuentro 1

Horas: Tiempo previsto: 80 minutos

Actividad de apertura

Tiempo parcial: 10 minutos

Introducción

El docente comienza proponiendo que se dividan en grupos de a

dos y les plantea un problema para el que tendrán que realizar

luego una secuencia de análisis.

Para realizar este tipo de trabajo utilizarán, lápiz papel, y el

graficador de funciones GeoGebra, por lo cual deben tener la

precaución de traer a clases sus computadoras con baterías, con

carga suficiente como para trabajar en la clase sin inconveniente.

a) El problema:

Martín, recién recibido de técnico en computación, comenzó

a trabajar para algunas personas conocidas, amigos de tíos,

primos, etc., en general por recomendación.

Como su trabajo inicialmente consistía en reparar las pc,

solo cobraba la mano de obra, que era la cantidad de horas

que le requería la reparación, para hacerse de clientela, y

no cobraba la visita cuando iba a retirar y a entregar la


computadora a los distintos domicilios para su reparación.

Así para simplificar se construyó una tabla con los

siguientes datos:

Tiempo: (t ) 1 4 7 10Costo: (c) 100 300

Ayuden a Martín completando los datos que faltan.

Para dar inicio a resolución del problema, el docente lee

con todo el grupo el enunciado para asegurarse la

comprensión del mismo por parte de todos los alumnos. Si

hay alguna duda solo se aclaran aquellas que estén relacionadas

al enunciado sin responder cuestiones propias del cálculo que

les permita completar la tabla y/o responder el cuestionario.

Se solicita a los alumnos que lo resuelvan en papel y que hagan

todas las anotaciones que consideren necesarias, destacando

que todas las ideas cuentan para poder resolver el

problema y que les servirá para analizar la situación

problemática.

Actividad de desarrollo


- Cada pareja comienza con la búsqueda de los valores

para completar la tabla pensando que para 4 horas le

pagan $ 100.

- Mientras los alumnos trabajan en pareja, el docente

recorre el aula observando el trabajo, sin interrumpir a

menos que la situación lo amerite.

- Transcurridos 10 minutos de clase, el docente solicita que

alguno de los grupos transcriba en el pizarrón la tabla

completa. Es el momento en donde pueden los restantes

grupos acordar con ella o indicar que modificarían y por

qué.

- Una vez que todos los grupos están de acuerdo con los


datos de la tabla, el docente les realiza, para que

respondan entre todos, las siguientes preguntas:

b) Las preguntas ( para esta actividad se dispone de 15

minutos)

(Las preguntas quedarán proyectadas en el pizarrón para

que todos puedan verlas)

b1) ¿Cuáles son las variables con las que estamos

trabajando?

b2) ¿Cuál es la variable dependiente?, Por qué? ¿Y la

independiente? ¿Cómo se dan cuenta?

b3) ¿Es posible que c sea 0? ¿En qué caso? ¿Qué significa

eso para Martín?

b4) ¿Cuál es la fórmula matemática que les permitió

encontrar el costo?

b5) Si ahora por 5 hs de trabajo cobra $ 200, ¿Cuánto

cobrará por 3 hs?, ¿estamos hablando de la misma

fórmula? ¿Por qué?

La intencionalidad de las preguntas es lograr una

sistematización de la información que los lleve a identificar cada

una de las variables que intervienen y también la “fórmula”.

En esta instancia, antes de pasar a la parte c) los alumnos van

escribiendo las respuestas y fórmulas obtenidas, en sus

carpetas.

c) La representación ( para esta parte de la actividad se

dispone de 20 minutos)

Para la realización de la siguiente actividad se requiere

que los alumnos enciendan sus computadoras e inicien el

programa GeoGebra


• Abrir la Guía de Referencia Rápida de GeoGebra para

disponer de las orientaciones necesarias.

• Iniciar GeoGebra y seleccionar la vista ‘álgebra y

gráficos’.

• Los alumnos, de manera individual, representarán

en GeoGebra los pares de valores encontrados en la

tabla (que se corresponderán con los puntos).

• Luego, utilizando la opción recta que pasa por dos

puntos, marcan el primero y luego el último punto

graficado ( aquí verán realmente que queda

determinada una recta)

• Una vez obtenida la gráfica, el docente indicará a los

alumnos con el botón derecho del mouse, tocando la

recta, elegir ecuación y = ax+b.

• Les pedimos ahora que representen los nuevos los

puntos encontrados en b5) y encuentren la recta uniendo

los dos puntos. Con el botón derecho volvemos a elegir

ecuación.

El docente luego que todos realizaron esta actividad, hace lo

mismo proyectándolo con el cañón para que todos comparen y

verifiquen lo obtenido.

Actividad de Cierre


El docente organiza nuevamente la puesta en común.

Les pregunta a cerca de las variables independiente y

dependiente y analizan el caso del costo 0, y su significado.

Comparan la fórmula que encontraron en la parte b4) con la

obtenida en Geogebra, lo mismo realizan con la recta obtenida

en b5).

Se comparan ahora ambas rectas y se realiza el análisis de la

inclinación de cada una de ellas.


A partir de la puesta en común se define:

- Función de proporcionalidad f(x) = a.x ( a ≠ 0 )

Las gráficas de estas funciones son rectas que contienen

al origen de coordenadas.

El número a y su relación con la proporcionalidad y su

asociación con la inclinación de la recta.

Les recuerda además que para las próximas 3 clases también

deberán traer la netbook cargada para poder seguir trabajando

con ella.

Recursos

Herramientas disponibles: lápiz y papel. Pc. Pizarrón, proyector

Guía de actividades

Bibliografía: Guía de Referencia Rápida de GeoGebra 4.2.

Traducción de Liliana Saidon

Evaluación

La observación directa del docente es fundamental en esta etapa

inicial de la secuencia para orientar el razonamiento que les

permita completar la primera tabla, y responder a las preguntas.

Participar como oyente en los grupos de trabajo le permite al

docente, de alguna manera anticipar si fueron comprendidas las

consignas, y además poder ver como interactúa cada uno de los

integrantes del grupo, es decir que participación tiene cada uno.

La formulación de preguntas está orientada a provocar la

argumentación de las respuestas dadas y en particular la

respuesta al problema planteado.

Actividades

Encuentro 2

Tiempo previsto: 80 minutos

Apertura


El docente retoma el problema inicial trabajado la clase anterior,

y para continuar el relato, les comenta que a Martín, le está


yendo muy bien en su emprendimiento, y ya tiene muchos

clientes que viven en diferentes zonas de la Ciudad, con lo cual

para llevar y traer las computadoras y no perder su tiempo,

contrató un servicio de motos que cobra $ 50 para llevar y traer

las computadoras, ese valor, Martín se los cobra a sus clientes.

Con esta información, el docente les solicita a los alumnos que

trabajen en parejas como lo hicieron la clase anterior, que

piensen y luego anoten en la carpeta cuál es la nueva fórmula

que utiliza Martín, y que realicen una tabla con los costos de 10

primeras horas de trabajo.

Desarrollo


Cada pareja de alumnos comienza a pensar como modificar la

fórmula anterior, y realizar una tabla* en la carpeta como la

siguiente:

Tiempo ( en hs) Costo ( en $ )123456789

10

*Se les pide a los alumnos que luego de hacerla en la

carpeta, enciendan sus computadoras e inicien Excel, y con

la fórmula nueva obtenida en la carpeta, completen la misma

tabla en sus computadoras.

Mientras tanto y en toda la actividad el docente pasea por los

bancos escuchando las posibles soluciones.

Transcurridos 15 minutos les pide a las diferentes parejas que

expongan cuál ha sido la fórmula que han encontrado y


acuerden o refuten los diferentes resultados obtenidos,

fundamentándolo.

También se corrobora que todos hayan realizado la tabla y

acuerden sus resultados, indicando que alguno de los grupos la

escriba en el pizarrón.

Una vez que todos están de acuerdo que la fórmula de la función

lineal es f(x) = 25x+50, les pide a los alumnos que cada uno en

sus computadoras, abra el GeoGebra y:

- Grafique la función hallada escribiéndola en el cuadro de

entrada : y = 25x + 50

Les pregunta si la configuración que tienen los ejes, les permite

ver la intersección de la recta con los ejes, de no ser así deberán

cambiar la configuración de uno o ambos ejes.

El docente sigue pasando por los bancos y ayuda a los alumnos

en caso que tuvieran alguna dificultad.

A continuación escribe las siguientes consignas en el pizarrón,

para que cada uno siga trabajando la misma función con

GeoGebra:

- Elijan 3 puntos: A que será el punto donde la recta corta

al eje x, B que será el punto donde la recta corta al eje y,

y C que será de coordenadas (0; 0)

- Indiquen las medidas de los segmentos formados y

, y analicen si existe alguna relación entre los valores

de los segmentos y la pendiente de la recta.

Puesta en común:

El docente realiza los mismos pasos que los alumnos para

obtener la misma representación gráfica mostrándola con el

proyector.

Al iniciar la puesta en común, les pregunta a los alumnos las

diferencias que encontraron con esta nueva ecuación, y = 25x +

50 , y la anterior y = 25x


(Se espera que los alumnos indiquen que en la nueva ecuación

están incluidos los $50 para el retiro y entrega de las

computadoras.)

Entonces podemos decir que a ese valor se lo llama ordenada al

origen, ( en nuestra ecuación de la recta es b ) y es el punto

donde la recta corta al eje y, por lo tanto sus coordenadas para

nuestro problema son ( 0 ; 50)

Luego les pregunta si pudieron encontrar alguna relación entre

las medidas de los segmentos trazadas y la pendiente de la

nueva recta.

Como mide 2 y mide 50, si dividimos por , ese

valor lo llamamos pendiente (a igual que la función de

proporcionalidad, allí recuerden que b, la ordenada al origen

es cero) y representa cuanto varía f(x) por cada unidad que

aumenta x y gráficamente está asociada a la inclinación de la

recta.

Por lo tanto 25 es a, nuestra pendiente.

El punto A que marcamos, es la raíz de la función, es el valor

donde la recta corta al eje x. ¿Si tuviéramos que calcularlo

teniendo la ecuación de la recta y no su gráfica, podríamos

calcularlo?, les pide que lo prueben en sus carpetas, y a

continuación un grupo lo realiza en el pizarrón.

Ese valor que encontraron para nuestro problema tiene algún

significado? ¿Por qué?

Los alumnos indicarían que como el valor hallado es -2 Martín

no podría trabajar -2 hs, por lo tanto para nuestro problema solo

podríamos tomar los valores mayores o iguales que cero.

Actividad de Cierre


Para el cierre de esta segunda clase, el docente les indica a los

alumnos que deben realizar la tarea que subió al grupo de

Edmodo, y también por la misma plataforma deben cargar la


resolución de la misma, en la fecha que está estipulada en la

consigna.

También les indica que si tienen alguna duda, disponen del

espacio del grupo de Edmodo, para realizar todas las consultas

necesarias.

Guía de actividades para Edmodo:

(Esta es la consigna que verán los alumnos al entrar a Edmodo,

teniendo en cuenta de los alumnos tienen clase martes,

miércoles y jueves:)

La siguiente actividad, deberá ser entregada como máximo el día

domingo, ya que el lunes ya no estará disponible para su

entrega. Tienen desde hoy y todo el fin de semana para

realizarla.

( La actividad pedida, que está escrita a continuación, estará en

un archivo de Word como adjunto)

Lee y completa las siguientes actividades:

1) Sea y = 4x + 3

a) Completá el siguiente cuadro:

Ordenada al origen:Pendiente:Raíz:f( -1 )Si f(x) = 19, escribí cuál es el

valor de x que lo verifica:


b) Realizá la representación gráfica correspondiente,

utilizando alguno de los programas vistos en clase,

GeoGebra, Graphmatica, (tené en cuenta que será

conveniente poner en la vista, que se muestre la

cuadrícula), luego copiala como imagen, y pegala

aquí.

c) Verificá con la gráfica obtenida, si las respuestas que

escribiste en a) son correctas.

2) Sea y = - 4x + 3

a) Completá el siguiente cuadro:

Ordenada al origen:Pendiente:Raíz:f( -1 )Si f(x) = 19, escribí cuál es el

valor de x que lo verifica:

b) Realizá la representación gráfica correspondiente,

utilizando alguno de los programas vistos en clase,

GeoGebra, Graphmatica, (tené en cuenta que será

conveniente poner en la vista que se muestre la

cuadrícula), luego copiala como imagen, y pegala

aquí.


Imagen obtenida

Imagen obtenida

c) Verificá con la gráfica obtenida, si las respuestas que

escribiste en a) son correctas.

3) Analizá el comportamiento de ambas rectas, es decir si

crecen o si decrecen, y si ese comportamiento tiene

alguna relación con la pendiente.

Escribí tus conclusiones aquí:

4) Guardá este archivo con el siguiente nombre: Act 2_de_

(tu nombre y apellido), y a continuación cárgalo en la

tarea pedida en Edmodo.

Recursos

Herramientas disponibles: lápiz , carpeta, Pc, Procesador de

texto, procesador de cálculo, Pizarrón, proyector

Bibliografía: Guía de Referencia Rápida de GeoGebra 4.2.


Guía de Actividades

Otros: EdmodoEvaluación El docente evaluará:

La interpretación de las consignas.

El trabajo colaborativo y la discusión entre pares.

La forma y uso del software durante la realización individual,

ubicación de los puntos, la gráfica de la recta, los segmentos.

Uso de las herramientas y comandos.

La validación y argumentación para la nueva fórmula de la

ecuación de la recta, y las conclusiones que hayan obtenido para

la tarea pedida.

Uso del precesador de cálculo trabajando con fórmulas.


Conclusiones:

El cumplimiento de la tarea en tiempo y forma.

Actividades de cierre Encuentro 3

Horas: Tiempo previsto 80 minutos

Apertura

Tiempo parcial 20 minutos

Puesta en común: Se inicia la clase, retomando y discutiendo las

respuestas obtenidas por los alumnos en la actividad realizada

en Edmodo, hasta obtener acuerdos.

Además se hace nuevamente y entre todos, el análisis de

crecimiento o decrecimiento de cada una de las rectas

propuestas en la tarea y su relación con la pendiente.

El docente a través de e-Learning Class, les realiza a cada uno

de los alumnos las devoluciones con las correcciones de los

trabajos realizados en Edmodo.

Luego el docente les pregunta si al recibir la corrección de la

tarea, y habiendo realizado la puesta en común, tienen todavía

alguna duda, y en caso que surjan las debate entre todos.

Desarrollo


El docente les propone a los alumnos que se agrupen de a tres o

cuatro alumnos, se acerca a uno de los grupos y les entrega una

hoja de papel para que anoten número de grupo e integrantes y

que lo vayan pasando para que cada grupo haga lo mismo y al

final le entreguen la lista con los grupos conformados.

Una vez armado los grupos, les pide que acuerden por grupo, y

piensen y escriban en sus carpetas, las ecuaciones de dos

rectas, una que sea creciente, y otra decreciente (no

necesariamente en ese orden). Luego les pide que enciendan


sus computadoras, abran el Graphmatica y que grafiquen cada

una de ellas, las copien como gráfico BMP color, y las peguen

en un archivo de Word;

Deberán quedar de la siguiente manera:

Gráfica 1

Gráfica 2

Una vez realizado, guarden el archivo con el nombre

Act3_A_(grupo nro ....) y un integrante de cada grupo se lo envía

al docente a través de E-Learning Class.

Una vez recibidos los archivos de todos los grupos, le reparte un

archivo a través de E-Learning Class a cada uno de los

integrantes de cada grupo cuidando no enviarle su trabajo al

grupo que lo creó.

Cada uno de los integrantes de cada grupo abre el archivo

recibido, y ahora debatiendo y acordando con su grupo, debajo

de cada una de las imágenes, deberán escribir:

( Las consignas estarán escritas en el pizarrón)


- La pendiente

- La ordenada la origen

- La raíz

- Si es creciente o decreciente

- La ecuación de cada una de las rectas.

Deberán además fundamentar cada una de las respuestas.

Al finalizar, guardan el archivo con el nombre (al nombre original

solo le agrega lo que está en color azul) Act3_A_(grupo nro...)

B_ (grupo nro....), y uno por grupo, se lo envían nuevamente al

docente a través de E-Learning Class

Mientras los alumnos realizan la actividad pedida, el docente

realiza un registro con que cada uno de los alumnos ha trabajado

y aportando al grupo.

Cierre

Tiempo parcial 20 minutos

El docente abrirá de a uno por vez de los archivos, (les

recordará a cada grupo que tienen las ecuaciones de las rectas

escritas en la hoja) y al proyectarlos en el pizarrón les pedirá al

grupo que creó las imágenes que observen las respuestas de

sus compañeros y fundamentando, indiquen si son correctas o

no, y hagan en caso de ser necesario las correcciones

correspondientes.

Recursos

Herramientas disponibles: lápiz y papel. Pc. Pizarrón, proyector,

E-Learning Class.

Guías de actividades

Bibliografía: - Guía de Referencia Rápida de GeoGebra 4.2.


Evaluación Final Tiempo previsto: 80 minutos

La evaluacion final, se realizará a mediante un cuestionario,

(Quiz), utilizando E-Learning Class, que luego será corregido por


el docente.

Utilizando el E-Learning Class, el docente le envía a cada uno

de los alumnos un documento (donde está el enunciado de la

evaluación final, y la imagen asociada que les servirá para

analizar) y les indica que tienen disponible en E-Learnig Class,

el cuestionario (Quiz) “Los repuestos que vende Martín”, que se

realizará de manera individual, ( ver al final Quiz) y que luego

será corregido por el docente.

Documento para la evaluación final:

Algunos clientes de Martín, comenzaron a pedirle solo los repuestos sin requerir

su mano de obra. Martín entonces pensó qué valor de venta les pondría, ya que no

podía cobrarles solo el costo como hacía en las reparaciones y todos los repuestos

no tienen el mismo costo.

Después de mucho pensar, se le ocurrió una función lineal, donde las variables

son el precio de costo y el precio de venta, la gráfica que la representa es la

siguiente:


Quiz “ Los repuestos que vende Martín“


Bibliografía:

Pietrovzki, P. (2013). Clase 1: Las TIC como potenciadoras del trabajo matemático. Propuestas Educativas II. Matemática y TIC 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

Pietrovzki, P. (2013). Clase 2: “Cuando las TIC aportan a la construcción del conocimiento matemático”. Propuestas Educativas II. Matemática y TIC 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

Pietrovzki, P. (2013). Clase 3: “Marcando el rumbo”. Propuestas Educativas II. Matemática y TIC 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

Pietrovzki, P. (2013). Clase 4: Ideas en acción. Matemática y TIC 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

Pietrovzki, P.. (2013). Clase 5: “Anticipación para la implementación”. Propuestas Educativas II. Matemática y

TIC 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

Pietrovzki, P. (2013). Clase 6: Matemática y TIC, cambios en la Evaluación. Propuestas Educativas II. Matemática y TIC 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

Núcleos de Aprendizajes Prioritarios, Matemática. CICLO BÁSICO EDUCACIÓN SECUNDARIA 1° y 2° / 2° y 3° Años. Ministerio de Educación. República Argentina. Buenos Aires, octubre de 2011.

Pietrovzki, P. (2013). Secuencia N°1/ Secuencia N° 2 / Secuencia N°3. Propuesta Educativa II. Matemática y TIC II. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.


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