Post on 22-Jan-2016
Universidad de los Andes-CODENSA
Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en
Economía.
Serie Temporal de Precios en
Activos A y B Precio del Activo A •Periodo(día, mes, año)
Precio del Activo B •Periodo(día, mes, año)
Nt
3t
2t
1t
0t
,
3,
2,
1,
0,
NA
A
A
A
A
P
P
P
P
P
Nt
3t
2t
1t
0t
,
3,
2,
1,
0,
NB
B
B
B
B
P
P
P
P
P
Serie Temporal del Retorno Continuo Compuesto de
Activos A y B
1,
,,
2,
3,3,
1,
2,2,
0,
1,1,
ln
ln
ln
ln
NA
NANA
A
AA
A
AA
A
AA
P
Pr
P
Pr
P
Pr
P
Pr
1,
,,
2,
3,3,
1,
2,2,
0,
1,1,
ln
ln
ln
ln
NB
NBNB
B
BB
B
BB
B
BB
P
Pr
P
Pr
P
Pr
P
Pr
Activo A
Activo B
Retorno con Dividendos y Retorno Discreto
Retorno con Dividendos
donde DivA,t es la serie temporal de dividendos del Activo A
Retorno Discreto
1,
,,, ln
tA
tAtAtA P
DivPr
11,
,,
tA
tAtA P
P
Retorno Continuo Compuesto
Supone un crecimiento exponencial en el precio del activo en cada periodo
Tasa de crecimiento del precio del activo en el periodo t
t
t
rrt
rtt
ePP
ePP
...
0
1
1
1
lnt
tt P
Pr
Medida del Retorno del Activo y del Riesgo de un
Activo Lista periódica de precios de un Activo
Lista periódica de retornos de un Activo
Retorno esperado del Activo
Varianza del retorno del Activo
Desviación Estándar del Activo
N,1,2,3,....t , tAP
N
ttAA r
Nr
1,
1
N,1,2,3,....t , tAr
N
tAtAArr
N 1
2, )(
12
2AA
Comparación entre Activos y Criterio de Selección
Comparación entre Activos, Retorno vs Riesgo
Criterio de Selección de Activos
Manejo de Datos para Dos Activos
Serie de Precios de los Activos A y B
Serie de Retornos de los Activos A y B
Retornos Esperados
Covarianza de los Retornos de los Activos A y B
N,1,2,3,....t ; N,1,2,3,....t ,, tBtA PP
N
ttBB
N
ttAA r
Nrr
Nr
1,
1,
1 ;
1
N,1,2,3,....t ; N,1,2,3,....t ,, tBtA rr
BABABA
N
tBtBAtABABA
rrrrE
rrrrN
rrCOV
.].[
))((1
),(
,
1,,,
Coeficiente de Correlación para los Retornos de los Activos A y B
Varianza de un solo Activo
Coeficiente de Correlación
Medida de la relación lineal entre dos muestras.
Instrumento para cuantificar la dependencia lineal entre el retorno de dos activos.
AAA ,2
BA
BABA
,
,
Análisis de Portafolios Composición del Portafolio
Retorno esperado del Portafolio
Riesgo en el Portafolio
1
, 0
A B
A B
A B
A B
, , ,p t A A t B B t
p A A B B
r r r
r r r
2 2 2 2 2,2p A A B B A B A B
Justificación La esperanza es una operación lineal
La varianza no es una operación lineal
A A B B A A B BE r r E r E r
22
2 22 2 2 2 2 2
2 2
( )
( )
2 . 2
( ) ( ) 2 ( , )
A A B B
A A B B A A B B
A A B B A B A B A A B B A B A B
A A B B A B A B
Var r r
E r r E r r
E r E r E r r E r E r E r E r
Var r Var r Corr r r
Portafolios Factibles Es el conjunto de los posibles portafolios que se pueden
obtener eligiendo diferentes proporciones entre los activos A y B
Retorno vs Riesgo para los portafolios factibles A BA B
Comparación entre Portafolios Factibles.
Criterio de Selección de portafolios.
Portafolios Envolventes y Eficientes
Frontera Eficiente
Manejo de Datos para Varios Activos
Grupo de Activos
Precios para cada Activo
Retornos para cada Activo
Retorno Esperado para cada Activo
, 1,...,kA k m
, ; 0,...,k tP t N
, ; 1,...,k tr t N
, ,,
, 1
ln k t k tk t
k t
P Divr
P
,1
1 N
k k tt
r rN
Matriz de Covarianza
Covarianza entre los Retornos de los Activos Ai y Aj
Grandes requisitos de Cómputo y almacenamiento de Datos
, , 1,..,i j i j mS
, , ,1
1( )
N
i j i t i j t jt
r r r rN
Diseño de Portafolios Composición del Portafolio
Retorno esperado del portafolio (Lineal)
Riesgo en el Portafolio (Forma Cuadrática)
1 1 2 2
1 2
...
... 1
0
m m
m
i
A A A
1 21 2 ...mp A A m Ar r r r
2,
1 1
m m
p i j i ji j
Riesgo en el Portafolio Composición del Portafolio
Retorno esperado del portafolio (Lineal)
1
m
p i ii
r r
22 2
22
1 1 1
22
1 1 1
2
1 1 1 1
2
1 1
p p p
m m m
p i j i j i ii j i
m m m
p i j i j i ii j i
m m m m
p i j i j i j i ji j i j
m m
p i j i j i ji j
E r E r
E rr E r
E rr r
E rr r r
E rr r r
Riesgo en el Portafolio (Forma Cuadrática)
2,
1 1
m m
p i j i ji j
Optimización de Portafolios
Portafolios Envolventes: Minimizar el Riesgo para un Retorno Fijo.
Problema de Optimización: Problema Cuadrático.2
,1 1
1 2
1 1 2 2
min
. . ... 1
r r ... r
0
m m
p i j i ji j
m
m m
i
S a
Análisis de Factibilidad Conjunto Factible no vacío.
Combinación Convexa.
1
1 2
1 1 2 2
,..., 0
... 0
...
min max
m
m
m m
i i i i
r r r
r r
Convexidad Programa Convexo
Conjunto Factible Convexo. Función Objetivo Convexa
2,
1 1
2
1 1
2
1 1 1 1
22
1 1 1
2 2
1 1
( )
)
m m
p i j i ji j
m m
p i j i j i ji j
m m m m
p i j i j i j i ji j i j
m m m
p i j i j i ii j i
m m
p i j i ji j
E rr r r
E rr r r
E rr r
E rr
Matriz de Correlación Semidefinida Positiva
, , 1,...,
, , ,1
,1 1 1 1
2
1
( )
1
0
i j i j m
N
i j i j i t j tt
m m m mt
i j i j i j i ji j i j
mt
i ii
C c
c E rr r rN
xCx x x c E x x rr
xCx E x r
Cálculo de la Frontera Eficiente
Programa Matemático bajo Restricciones en Forma de Igualdad
Función Lagrangiana
Condiciones de Primer Orden
,1 1
1
1
1min
2
. . 1
m m
i j i ji j
m
ii
m
i ii
x x
S a x
x r
1 2 , 1 21 1 1 1
1( , , ) 1
2
m m m m
i j i j i i ii j i i
f x x x x x r
, 1 21
1 1
0; 1,..,
1
m
i i k ki
m m
i i ii i
x r k m
x x r
Forma Vectorial Sistemas de Ecuaciones Lineales basado en la Matriz de
Covarianza S.
Inversa de la Matriz de Covarianza
1 2
1,...,
1 1 1,...,
i i m
Sx v r
r r
v
1, , 1,...,
1 11 2
1 , 2 ,1 1
; 1,...,
i j i j m
m m
i i j i j jj j
S
x S v S r
x r i m
Multiplicadores de Lagrange
1 , 2 ,1 1
1
1 , 2 ,1 1 1 1
1
1 , 2 ,1 1 1 1
1
1
m m
i i j i j jj j
m
ii
m m m m
i j i j ji j i j
m
i ii
m m m m
i j i i j i ji j i j
x r
x
r
x r
r r r
Ecuaciones1 2
1 2
,1 1
,1 1
,1 1
1
m m
i ji j
m m
ji ji j
m m
i j i ji j
A B
B C
A
B r
C r r
Solución1 2
1 2
1 2
21 2
1 2
21 2
1 2
2 2
2
1
0 (deducción)
A B
B C
AC BC C
B BC B
C B C B
AC B D
AB B B
AB AC A
A B A B
AC B D
D AC B
Frontera Eficiente
, 1 21
, 1 21 1 1 1
21 2
2
22
2
( ) ( )
2
2
m
i i k ki
m m m m
i j i j j j ji j j j
p
p
p
p
x r
x x x x r
C B A B
D
A B C
D
A B C
D
Forma de la Frontera Eficiente
2
12 2
2
1 2 2( )
2
1 ( )
p
p
p
p
A B C
D
d A B C A B
d D D
d A B
d D
Estrictamente Convexa
Retorno con Riesgo Mínimo
2
2 3
10p
p
d
d D
1 ( )0
*
p
p
d A B
d D
B
A
Teoría de Portafolios
Caracterización de Portafolios Eficientes
Teorema de Black
Teorema del Fondo Mutuo (Merton)
Correlación entre Portafolios Eficientes
Caracterización de Portafolios Eficientes
Solución al sistema de ecuaciones lineales dado por S (la matriz de Covarianza)
Justificación: Condiciones de primer orden en la función Lagrangiana
1,...,
1
( )
/
i i m
m
ii
Sz r c
r c r c
x z z
1 2
1,...,
1 11 ( ,..., )
i i m
Sx v r
r r
v
Representación Geométrica
Programa Matemático: Un portafolio eficiente, siempre maximiza la pendiente en el punto de tangencia.
max2maxr c
m
Teorema de Black Una combinación convexa de dos portafolios eficientes
produce otro portafolio eficiente.
Demostración: Las soluciones normalizadas al sistema lineal son cerradas bajo combinaciones convexas.
1 2
1
1
1m
ii
m
i ii
Sx v r
x
x r
1 2
1
1
( (1 ) )
(1 ) 1
( (1 ) )
m
i ii
m
i i ii
S x y v r
x y
x y r
Teorema del Fondo Mutuo Un portafolio eficiente puede expresarse como
combinación convexa de dos portafolios eficientes.
Justificación: Sistema de ecuaciones lineales basado en la matriz de
covarianza S
Inversa de la matriz de covarianza1
, , 1,...,
1 11 2
1 , 2 ,1 1
( )
; 1,...,
i j i j m
m m
i i j i j jj j
S
x S v S r
x r i m
1 2
1,...,
1 11 ( ,..., )
i i m
Sx v r
r r
v
Multiplicadores de Lagrange y Retorno Esperado
1
2
1
m
i ii
C B
DA B
D
x r
1 , 2 ,1 1
, ,1 1
, , , ,1 1 1 1
( ) ( )
1
m m
i i j i j jj j
m m
i i j i j jj j
m m m m
i i j j i j i j i j jj j j j
i i i
x r
C B A Bx r
D D
x A r B C B rD D
x g h
, ,1 1
, ,1 1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
m m
i i j j i jj j
m m
i i j i j jj j
m
ii
m
ii
m
i ii
m
i ii
g A r BD
h C B rD
g
h
g r
h r
Definición de Nuevos Portafolios Eficientes
1
ii i
ii i
ga b
gb h
a
b
( )
(1 )
i i i
i i i
i i i i
i i i
x g h
x g h
x a b b
x a b
Parámetros, Retornos y Riesgo.
1
a b
b
a b
b
a b
2
2
2
2
2 22
1 12
2
2
a
b
a b
A B C
D
A B C
DA A B
D
Condiciones2 2
*
implica
Luego
>
a b a b
Bb
A
A
C
Elipse de correlación nula.Espacio de Portafolios
Eficientes
Conclusiones
No hay dos portafolios eficientes completamente in-correlacionados.
Todos los portafolios eficientes están correlacionados positivamente.
2, 0a b b
2 2, 2 0a b A C B A B
Activos sin Riesgo Implicaciones de la Correlación
Correlación para dos Activos2 2 2 2 2
,
2 2 2 2 2,
,
,
2
2
1
1
p A A B B A B A B
p A A B B A B A B A B
p A A B B
A B
p A A B B
A B
Activos sin Riesgo
Activo sin riesgo + Activos Riesgosos
2 2 2
(1 )
(1 )
(1 )
(1 )
0
p A B
p B
P B
A
P A B
r r r
Línea de Mercado de Capital
Pendiente de la Línea de Mercado Capital
P es un portafolio eficiente y A es cualquier portafolio factible.
2,
( )
p
p
p
p a p
a p
r cm
r rm
Formula General para la Línea de Mercado de Capital
Para cualquier portafolio A factible y P eficiente.
Portafolio con Activos sin Riesgo.
,2
,2
a pa p
p
a a p
a pa
p
r P r P
r P r P
Portafolios con Activos sin Riesgo – Endeudamiento
Teorema de Separación: Activo sin Riesgo + Portafolio Eficiente.
Curvas de Indiferencia
Problema
Minimizar
Sujeto a
El Lagrangiano es:
Condiciones de Primer Orden
1
( )m
i ii
x r
,1 1
1
2
m m
i j i ji j
x x
,1 1 1
1( , ) ( )
2
m m m
i j i j i ii j i
f x x x x r
,1
( ) 0; 1,...,m
i i k ki
x r k m
1, , 1,...
1
,1
( )
( )
( )
( ); 1,...
i j i j m
m
i i j jj
Sx r
s
x S r
x r i m
Riesgo-Retorno
Conjunto Envolvente
1
,1 1
2
2
,21
( )
( )( )
( 2 )
2
( ); 1,...,2
m
i ii
m m
i j j ii j
m
i i j jj
x r
r r
A B C
A B C
x r i mA B C
2,
1 1
22
1
22
2
( )
( )2
( )
2
m mt t
p i j i j pi j
m
p i ii
p
x x x Sx x r
x rA B C
A B C
2 2p A B C
Frontera Eficiente2 2A B C
• Teorema de Separación
Un portafolio eficiente con activos sin riesgo es la elección con aversión al riesgo entre un activo sin riesgo y un portafolio eficiente compuesto solamente de activos con riesgo: Portafolio de Mercado.
Portafolio Eficiente• Condiciones de Primer Orden
• Nuevos Portafolios
,21
,21
21
1
( ); 1,...,2
1( )
2
2
( ) 1
m
k i k ii
m
k i k ii
m
ii
m
i ii
x r k mA B C
y rA B C
B Ay
A B C
y r
,1
1 2
2
1
1 1( ); 1,...,
11 0
2
2
0; 1,..., ; 1
m
k k i k ii
m
k m
P y r k mB A
B AP
A B C
B A
A B C
b k m b
Propiedades
Línea de Mercado del Activo
1
21 1
1
1
1 1
2
1 11 1
2
1; (1 )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2
m m
i ii i
m
i k k ki
m m
i i i ii i
B AP y
A B C
b x P b
x r y r
B A
A B C
,1
,2
1( ); 1,...,
P es Eficiente
,
( )
m
k i k ii
p Qt t
Q PQ P
P
P r k mB A
rSp
B A
r rp Sp q Sp
B A B A
r r
Índice Beta,2
,2
( )
( )
Q PQ P
P
Q Q P
Q PQ
P
r r
r r
Bibliografía
“Portfolio Selection”, Harry Markowitz, 1959. “An analytic derivation of the efficient portfolio frontier”,
Robert Merton, J. of Financial and Quantitative Analysis, 1972. “Portfolio Theory and Capital Markets”, William Sharpe, 1970. “Mean Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital
Markets”, Harry Markowitz, 1987. “Continuous Time Finance”, Robert Merton, 1990. “Investments”, W. Sharpe and G. Alexander, 1990. “Active Portfolio Management”, Grinold and Kahn, 2000. “Financial Modeling”, Simon Benninga, 2000. “Mathematics for Finance”, Capinski and Zastawniak “Modern Portfolio Theory and Investment”, Elton, et. al.