Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en...
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Universidad de los Andes-CODENSA
Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en
Economía.
![Page 2: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/2.jpg)
Serie Temporal de Precios en
Activos A y B Precio del Activo A •Periodo(día, mes, año)
Precio del Activo B •Periodo(día, mes, año)
Nt
3t
2t
1t
0t
,
3,
2,
1,
0,
NA
A
A
A
A
P
P
P
P
P
Nt
3t
2t
1t
0t
,
3,
2,
1,
0,
NB
B
B
B
B
P
P
P
P
P
![Page 3: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/3.jpg)
Serie Temporal del Retorno Continuo Compuesto de
Activos A y B
1,
,,
2,
3,3,
1,
2,2,
0,
1,1,
ln
ln
ln
ln
NA
NANA
A
AA
A
AA
A
AA
P
Pr
P
Pr
P
Pr
P
Pr
1,
,,
2,
3,3,
1,
2,2,
0,
1,1,
ln
ln
ln
ln
NB
NBNB
B
BB
B
BB
B
BB
P
Pr
P
Pr
P
Pr
P
Pr
Activo A
Activo B
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Retorno con Dividendos y Retorno Discreto
Retorno con Dividendos
donde DivA,t es la serie temporal de dividendos del Activo A
Retorno Discreto
1,
,,, ln
tA
tAtAtA P
DivPr
11,
,,
tA
tAtA P
P
![Page 5: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/5.jpg)
Retorno Continuo Compuesto
Supone un crecimiento exponencial en el precio del activo en cada periodo
Tasa de crecimiento del precio del activo en el periodo t
t
t
rrt
rtt
ePP
ePP
...
0
1
1
1
lnt
tt P
Pr
![Page 6: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/6.jpg)
Medida del Retorno del Activo y del Riesgo de un
Activo Lista periódica de precios de un Activo
Lista periódica de retornos de un Activo
Retorno esperado del Activo
Varianza del retorno del Activo
Desviación Estándar del Activo
N,1,2,3,....t , tAP
N
ttAA r
Nr
1,
1
N,1,2,3,....t , tAr
N
tAtAArr
N 1
2, )(
12
2AA
![Page 7: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/7.jpg)
Comparación entre Activos y Criterio de Selección
Comparación entre Activos, Retorno vs Riesgo
Criterio de Selección de Activos
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Manejo de Datos para Dos Activos
Serie de Precios de los Activos A y B
Serie de Retornos de los Activos A y B
Retornos Esperados
Covarianza de los Retornos de los Activos A y B
N,1,2,3,....t ; N,1,2,3,....t ,, tBtA PP
N
ttBB
N
ttAA r
Nrr
Nr
1,
1,
1 ;
1
N,1,2,3,....t ; N,1,2,3,....t ,, tBtA rr
BABABA
N
tBtBAtABABA
rrrrE
rrrrN
rrCOV
.].[
))((1
),(
,
1,,,
![Page 9: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/9.jpg)
Coeficiente de Correlación para los Retornos de los Activos A y B
Varianza de un solo Activo
Coeficiente de Correlación
Medida de la relación lineal entre dos muestras.
Instrumento para cuantificar la dependencia lineal entre el retorno de dos activos.
AAA ,2
BA
BABA
,
,
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Análisis de Portafolios Composición del Portafolio
Retorno esperado del Portafolio
Riesgo en el Portafolio
1
, 0
A B
A B
A B
A B
, , ,p t A A t B B t
p A A B B
r r r
r r r
2 2 2 2 2,2p A A B B A B A B
![Page 11: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/11.jpg)
Justificación La esperanza es una operación lineal
La varianza no es una operación lineal
A A B B A A B BE r r E r E r
22
2 22 2 2 2 2 2
2 2
( )
( )
2 . 2
( ) ( ) 2 ( , )
A A B B
A A B B A A B B
A A B B A B A B A A B B A B A B
A A B B A B A B
Var r r
E r r E r r
E r E r E r r E r E r E r E r
Var r Var r Corr r r
![Page 12: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/12.jpg)
Portafolios Factibles Es el conjunto de los posibles portafolios que se pueden
obtener eligiendo diferentes proporciones entre los activos A y B
Retorno vs Riesgo para los portafolios factibles A BA B
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Comparación entre Portafolios Factibles.
Criterio de Selección de portafolios.
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Portafolios Envolventes y Eficientes
![Page 15: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/15.jpg)
Frontera Eficiente
![Page 16: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/16.jpg)
Manejo de Datos para Varios Activos
Grupo de Activos
Precios para cada Activo
Retornos para cada Activo
Retorno Esperado para cada Activo
, 1,...,kA k m
, ; 0,...,k tP t N
, ; 1,...,k tr t N
, ,,
, 1
ln k t k tk t
k t
P Divr
P
,1
1 N
k k tt
r rN
![Page 17: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/17.jpg)
Matriz de Covarianza
Covarianza entre los Retornos de los Activos Ai y Aj
Grandes requisitos de Cómputo y almacenamiento de Datos
, , 1,..,i j i j mS
, , ,1
1( )
N
i j i t i j t jt
r r r rN
![Page 18: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/18.jpg)
Diseño de Portafolios Composición del Portafolio
Retorno esperado del portafolio (Lineal)
Riesgo en el Portafolio (Forma Cuadrática)
1 1 2 2
1 2
...
... 1
0
m m
m
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A A A
1 21 2 ...mp A A m Ar r r r
2,
1 1
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Riesgo en el Portafolio Composición del Portafolio
Retorno esperado del portafolio (Lineal)
1
m
p i ii
r r
22 2
22
1 1 1
22
1 1 1
2
1 1 1 1
2
1 1
p p p
m m m
p i j i j i ii j i
m m m
p i j i j i ii j i
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p i j i j i j i ji j i j
m m
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E r E r
E rr E r
E rr r
E rr r r
E rr r r
![Page 20: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/20.jpg)
Riesgo en el Portafolio (Forma Cuadrática)
2,
1 1
m m
p i j i ji j
![Page 21: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/21.jpg)
Optimización de Portafolios
Portafolios Envolventes: Minimizar el Riesgo para un Retorno Fijo.
Problema de Optimización: Problema Cuadrático.2
,1 1
1 2
1 1 2 2
min
. . ... 1
r r ... r
0
m m
p i j i ji j
m
m m
i
S a
![Page 22: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/22.jpg)
Análisis de Factibilidad Conjunto Factible no vacío.
Combinación Convexa.
1
1 2
1 1 2 2
,..., 0
... 0
...
min max
m
m
m m
i i i i
r r r
r r
![Page 23: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/23.jpg)
Convexidad Programa Convexo
Conjunto Factible Convexo. Función Objetivo Convexa
2,
1 1
2
1 1
2
1 1 1 1
22
1 1 1
2 2
1 1
( )
)
m m
p i j i ji j
m m
p i j i j i ji j
m m m m
p i j i j i j i ji j i j
m m m
p i j i j i ii j i
m m
p i j i ji j
E rr r r
E rr r r
E rr r
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![Page 24: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/24.jpg)
Matriz de Correlación Semidefinida Positiva
, , 1,...,
, , ,1
,1 1 1 1
2
1
( )
1
0
i j i j m
N
i j i j i t j tt
m m m mt
i j i j i j i ji j i j
mt
i ii
C c
c E rr r rN
xCx x x c E x x rr
xCx E x r
![Page 25: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/25.jpg)
Cálculo de la Frontera Eficiente
Programa Matemático bajo Restricciones en Forma de Igualdad
Función Lagrangiana
Condiciones de Primer Orden
,1 1
1
1
1min
2
. . 1
m m
i j i ji j
m
ii
m
i ii
x x
S a x
x r
1 2 , 1 21 1 1 1
1( , , ) 1
2
m m m m
i j i j i i ii j i i
f x x x x x r
, 1 21
1 1
0; 1,..,
1
m
i i k ki
m m
i i ii i
x r k m
x x r
![Page 26: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/26.jpg)
Forma Vectorial Sistemas de Ecuaciones Lineales basado en la Matriz de
Covarianza S.
Inversa de la Matriz de Covarianza
1 2
1,...,
1 1 1,...,
i i m
Sx v r
r r
v
1, , 1,...,
1 11 2
1 , 2 ,1 1
; 1,...,
i j i j m
m m
i i j i j jj j
S
x S v S r
x r i m
![Page 27: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/27.jpg)
Multiplicadores de Lagrange
1 , 2 ,1 1
1
1 , 2 ,1 1 1 1
1
1 , 2 ,1 1 1 1
1
1
m m
i i j i j jj j
m
ii
m m m m
i j i j ji j i j
m
i ii
m m m m
i j i i j i ji j i j
x r
x
r
x r
r r r
![Page 28: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/28.jpg)
Ecuaciones1 2
1 2
,1 1
,1 1
,1 1
1
m m
i ji j
m m
ji ji j
m m
i j i ji j
A B
B C
A
B r
C r r
![Page 29: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/29.jpg)
Solución1 2
1 2
1 2
21 2
1 2
21 2
1 2
2 2
2
1
0 (deducción)
A B
B C
AC BC C
B BC B
C B C B
AC B D
AB B B
AB AC A
A B A B
AC B D
D AC B
![Page 30: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/30.jpg)
Frontera Eficiente
, 1 21
, 1 21 1 1 1
21 2
2
22
2
( ) ( )
2
2
m
i i k ki
m m m m
i j i j j j ji j j j
p
p
p
p
x r
x x x x r
C B A B
D
A B C
D
A B C
D
![Page 31: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/31.jpg)
Forma de la Frontera Eficiente
2
12 2
2
1 2 2( )
2
1 ( )
p
p
p
p
A B C
D
d A B C A B
d D D
d A B
d D
![Page 32: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/32.jpg)
Estrictamente Convexa
Retorno con Riesgo Mínimo
2
2 3
10p
p
d
d D
1 ( )0
*
p
p
d A B
d D
B
A
![Page 33: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/33.jpg)
Teoría de Portafolios
Caracterización de Portafolios Eficientes
Teorema de Black
Teorema del Fondo Mutuo (Merton)
Correlación entre Portafolios Eficientes
![Page 34: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/34.jpg)
Caracterización de Portafolios Eficientes
Solución al sistema de ecuaciones lineales dado por S (la matriz de Covarianza)
Justificación: Condiciones de primer orden en la función Lagrangiana
1,...,
1
( )
/
i i m
m
ii
Sz r c
r c r c
x z z
1 2
1,...,
1 11 ( ,..., )
i i m
Sx v r
r r
v
![Page 35: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/35.jpg)
Representación Geométrica
Programa Matemático: Un portafolio eficiente, siempre maximiza la pendiente en el punto de tangencia.
max2maxr c
m
![Page 36: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/36.jpg)
Teorema de Black Una combinación convexa de dos portafolios eficientes
produce otro portafolio eficiente.
Demostración: Las soluciones normalizadas al sistema lineal son cerradas bajo combinaciones convexas.
1 2
1
1
1m
ii
m
i ii
Sx v r
x
x r
1 2
1
1
( (1 ) )
(1 ) 1
( (1 ) )
m
i ii
m
i i ii
S x y v r
x y
x y r
![Page 37: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/37.jpg)
Teorema del Fondo Mutuo Un portafolio eficiente puede expresarse como
combinación convexa de dos portafolios eficientes.
Justificación: Sistema de ecuaciones lineales basado en la matriz de
covarianza S
Inversa de la matriz de covarianza1
, , 1,...,
1 11 2
1 , 2 ,1 1
( )
; 1,...,
i j i j m
m m
i i j i j jj j
S
x S v S r
x r i m
1 2
1,...,
1 11 ( ,..., )
i i m
Sx v r
r r
v
![Page 38: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/38.jpg)
Multiplicadores de Lagrange y Retorno Esperado
1
2
1
m
i ii
C B
DA B
D
x r
1 , 2 ,1 1
, ,1 1
, , , ,1 1 1 1
( ) ( )
1
m m
i i j i j jj j
m m
i i j i j jj j
m m m m
i i j j i j i j i j jj j j j
i i i
x r
C B A Bx r
D D
x A r B C B rD D
x g h
![Page 39: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/39.jpg)
, ,1 1
, ,1 1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
m m
i i j j i jj j
m m
i i j i j jj j
m
ii
m
ii
m
i ii
m
i ii
g A r BD
h C B rD
g
h
g r
h r
![Page 40: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/40.jpg)
Definición de Nuevos Portafolios Eficientes
1
ii i
ii i
ga b
gb h
a
b
( )
(1 )
i i i
i i i
i i i i
i i i
x g h
x g h
x a b b
x a b
![Page 41: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/41.jpg)
Parámetros, Retornos y Riesgo.
1
a b
b
a b
b
a b
2
2
2
2
2 22
1 12
2
2
a
b
a b
A B C
D
A B C
DA A B
D
Condiciones2 2
*
implica
Luego
>
a b a b
Bb
A
A
C
![Page 42: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/42.jpg)
Elipse de correlación nula.Espacio de Portafolios
Eficientes
Conclusiones
No hay dos portafolios eficientes completamente in-correlacionados.
Todos los portafolios eficientes están correlacionados positivamente.
2, 0a b b
2 2, 2 0a b A C B A B
![Page 43: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/43.jpg)
Activos sin Riesgo Implicaciones de la Correlación
Correlación para dos Activos2 2 2 2 2
,
2 2 2 2 2,
,
,
2
2
1
1
p A A B B A B A B
p A A B B A B A B A B
p A A B B
A B
p A A B B
A B
![Page 44: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/44.jpg)
Activos sin Riesgo
Activo sin riesgo + Activos Riesgosos
2 2 2
(1 )
(1 )
(1 )
(1 )
0
p A B
p B
P B
A
P A B
r r r
![Page 45: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/45.jpg)
Línea de Mercado de Capital
![Page 46: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/46.jpg)
Pendiente de la Línea de Mercado Capital
P es un portafolio eficiente y A es cualquier portafolio factible.
2,
( )
p
p
p
p a p
a p
r cm
r rm
![Page 47: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/47.jpg)
Formula General para la Línea de Mercado de Capital
Para cualquier portafolio A factible y P eficiente.
Portafolio con Activos sin Riesgo.
,2
,2
a pa p
p
a a p
a pa
p
r P r P
r P r P
![Page 48: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/48.jpg)
Portafolios con Activos sin Riesgo – Endeudamiento
Teorema de Separación: Activo sin Riesgo + Portafolio Eficiente.
![Page 49: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/49.jpg)
Curvas de Indiferencia
![Page 50: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/50.jpg)
Problema
Minimizar
Sujeto a
El Lagrangiano es:
Condiciones de Primer Orden
1
( )m
i ii
x r
,1 1
1
2
m m
i j i ji j
x x
,1 1 1
1( , ) ( )
2
m m m
i j i j i ii j i
f x x x x r
,1
( ) 0; 1,...,m
i i k ki
x r k m
1, , 1,...
1
,1
( )
( )
( )
( ); 1,...
i j i j m
m
i i j jj
Sx r
s
x S r
x r i m
![Page 51: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/51.jpg)
Riesgo-Retorno
Conjunto Envolvente
1
,1 1
2
2
,21
( )
( )( )
( 2 )
2
( ); 1,...,2
m
i ii
m m
i j j ii j
m
i i j jj
x r
r r
A B C
A B C
x r i mA B C
2,
1 1
22
1
22
2
( )
( )2
( )
2
m mt t
p i j i j pi j
m
p i ii
p
x x x Sx x r
x rA B C
A B C
2 2p A B C
![Page 52: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/52.jpg)
Frontera Eficiente2 2A B C
• Teorema de Separación
Un portafolio eficiente con activos sin riesgo es la elección con aversión al riesgo entre un activo sin riesgo y un portafolio eficiente compuesto solamente de activos con riesgo: Portafolio de Mercado.
![Page 53: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/53.jpg)
Portafolio Eficiente• Condiciones de Primer Orden
• Nuevos Portafolios
,21
,21
21
1
( ); 1,...,2
1( )
2
2
( ) 1
m
k i k ii
m
k i k ii
m
ii
m
i ii
x r k mA B C
y rA B C
B Ay
A B C
y r
,1
1 2
2
1
1 1( ); 1,...,
11 0
2
2
0; 1,..., ; 1
m
k k i k ii
m
k m
P y r k mB A
B AP
A B C
B A
A B C
b k m b
![Page 54: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/54.jpg)
Propiedades
Línea de Mercado del Activo
1
21 1
1
1
1 1
2
1 11 1
2
1; (1 )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2
m m
i ii i
m
i k k ki
m m
i i i ii i
B AP y
A B C
b x P b
x r y r
B A
A B C
,1
,2
1( ); 1,...,
P es Eficiente
,
( )
m
k i k ii
p Qt t
Q PQ P
P
P r k mB A
rSp
B A
r rp Sp q Sp
B A B A
r r
![Page 55: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/55.jpg)
Índice Beta,2
,2
( )
( )
Q PQ P
P
Q Q P
Q PQ
P
r r
r r
![Page 56: Universidad de los Andes-CODENSA Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062807/5665b4291a28abb57c8fac93/html5/thumbnails/56.jpg)
Bibliografía
“Portfolio Selection”, Harry Markowitz, 1959. “An analytic derivation of the efficient portfolio frontier”,
Robert Merton, J. of Financial and Quantitative Analysis, 1972. “Portfolio Theory and Capital Markets”, William Sharpe, 1970. “Mean Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital
Markets”, Harry Markowitz, 1987. “Continuous Time Finance”, Robert Merton, 1990. “Investments”, W. Sharpe and G. Alexander, 1990. “Active Portfolio Management”, Grinold and Kahn, 2000. “Financial Modeling”, Simon Benninga, 2000. “Mathematics for Finance”, Capinski and Zastawniak “Modern Portfolio Theory and Investment”, Elton, et. al.