UNIDAD No. 3Aplicaciones de la integral definida

Area entre curvas

AREA BAJO LA CURVA Y AREA ENTRE CURVAS

Si f es una función continua no negativa en [a,b], entonces, como ya se ha visto, el área bajo la gráfica de f en el intervalo es:

dxxfAb

a

R )(

AREA ENTRE CURVAS… Supóngase ahora que f(x)<0 para toda x en

[a,b], como se muestra en la figura.

AREA ENTRE CURVAS… Como –f(x)>0, se

define que el área limitada por la gráfica de y=f(x) y el eje x, desde x=a hasta x=b es igual al área limitada por la gráfica de y=-f(x), el eje x desde x=a hasta x=b.

b

a

b

a

dxxfdxxfA )()(

AREA ENTRE CURVAS…

Lo anterior nos conduce a lo siguiente:

Si y = f(x) es continua en [a,b], entonces el área limitada por su gráfica en el intervalo y el eje x está dado por:

b

a

dxxfA )(

AREA ENTRE CURVAS…

Lo expuesto anteriormente es un caso particular del problema más general de determinar en área de la región comprendida entre dos gráficas.

El área bajo la gráfica de una función no negativa continua y=f(x) en [a,b], es el área de la región comprendida entre su propia gráfica y la de la función y=0 (eje x) de x=a a x=b.

AREA ENTRE CURVAS…

Supóngase que y=f(x) y y=g(x) son continuas en [a,b] y que f(x)>g(x) para toda x en el intervalo

AREA ENTRE CURVAS…

En general se tiene la siguiente definición:

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en un intervalo [a,b]. Entonces, el área de la región comprendida entre sus gráficas en el intervalo está dada por:

b

a

dxxgxfA )]()([

PROBLEMAS

Obtener el valor del área limitada por las gráficas de:

1. 4.

2. 5.

3. 6.

2xyyxy

4

5,4

)cos()(

en

xyyxseny

2212 xyyxy

]3,0[

)3)(2)(1( xxxy

63 2 xyyx

)1()1(4 22 xyyxy