Integral definida

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,

especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente,

una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de

las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la

ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo

de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René

Descartes, Newton, Gottfried e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los

aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que

propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Definición:

Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Se define la integral

definida, en el intervalo [a, b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje

OX y la gráfica de f(x) y se nota

Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a, b] entonces se define

la integral definida, en el intervalo [a, b], como el valor del área limitada por las

rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo.

La integral definida. Propiedades:

Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Entonces se

tiene:

i.

ii. Si f(x) es integrable en el intervalo [a, b] y c [a, b] entonces

iii. Si f y g son dos funciones integrables en [a, b] entonces

Métodos de Integración Aproximada:

Método del trapecio

Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del

Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se

conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad

considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos

no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la

integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral

definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud

deseada. En este apartado vamos a estudiar el método de integración

numérica: la Regla del Trapecio.

Este es un método de integración numérico que se obtiene al integrar

la fórmula de interpolación lineal.

Respuesta, (error).

Es un método para integrar numéricamente se denomina así porque el área

descrita por la integral definida se aproxima mediante una suma de áreas de

trapecios.

El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar fácilmente a

partir de la siguiente figura.

Eligiendo un espaciado

Se divide el intervalo [a, b] por medio de puntos igualmente espaciados

Tenemos que, las ordenadas de dichos puntos son

En cada intervalo (xi, xi+1) se sustituye la función f(x) por la recta que une

los puntos (xi, yi) y (xi+1, yi+1) tal como se aprecia en la figura.

La parte sombreada, un trapecio, se toma como el área aproximada, su valor

se puede calcular fácilmente.

Ef(b)f(a)2

abf(x)dxIb

a

Regla del

trapecio

El área total aproximada es la suma de las áreas de los n pequeños trapecios

de anchura h

o bien, agrupando términos

Cuanto mayor sea el número de divisiones del intervalo [a, b] que hagamos,

menor será h, y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral. Sin

embargo, no podremos disminuir h tanto como queramos, ya que el

ordenador maneja números de precisión limitada.

Tomando el siguiente calcularemos el área y luego utilizaremos el Método

del Trapecio.

Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje X y las ordenadas

de x= 2 y x = 8

Despejamos la función: entonces nos vas a quedar y= 10-x.

Luego graficamos

Una vez realizado el mismo integramos para los extremos 2 y 8

Luego aplicamos el método del trapecio:

8

2

)10( Tndxx n=5

8

8.6

6.5

4.4

2.3

2

5

4

3

2

1

0

x

x

x

x

x

x

5

3

2

5

6

5

6

5

28

2

n

abx

3/5 (10-2)+2(10-3.2)+2(10-4.4)+2(10-5.6)+2(10-6.8)+ (10-8) =

8+ 13.6+11.2+8.8+6.4+2 3/5= 30 2u

Método de Simpson:

“Deducción a partir de la ecuación de la parábola”

Sabemos que la ecuación de una parábola tiene la siguiente forma

Esta parábola delimitada por los limites, uno inferior –h y otro superior h,

cuya mitad será 0, tal como se muestra en la siguiente figura

Procedemos a integrar dicha parábola entre los limites –h y h

Reemplazamos los limites tenemos

Suprimimos los paréntesis obtenemos

Simplificamos términos

Aplicamos algunos artificios matemáticos para acomodar la ecuación, en

este caso sacamos factor común a los dos miembros

Que es nuestra ecuación que denominaremos ecuación Ec.1

Ahora bien consideremos la figura anterior, en la que los límites que cortan

de nuestra curva f(x) coinciden a los puntos de nuestra parábola cortada

por Xi, entonces podemos decir:

Entonces para nuestra curva f(x) se puede decir que los valores de f (-h), f

(0), f (h) son los siguientes:

Que es lo mismo a decir

Entonces acomodando convenientemente los términos tenemos

Miramos la ecuación Ec.1, la podemos expresar de la siguiente manera, en

este caso descomponemos unos de sus factores:

Ahora vemos que podemos reemplazar Ec.2 y Ec.3 en Ec.4. Observemos los

términos iguales

Lo reemplazamos y obtenemos lo que buscamos

Bien con esta ecuación obtendremos el área aproximada de una figura, para

comprobar lo anterior haremos un ejemplo simple de un cálculo de área de

la siguiente figura

En donde:

X0=0

X1=2

El valor de su área utilizando el cálculo algebraico es el siguiente:

Reemplazando los límites

Ahora utilizamos el método de Simpson

Ejemplo:

En donde el valor para de h para nuestros límites es igual a

-h=0

h=1

f(x)=x 2

Reemplazamos:

Sólidos de Revolución

Definición: Si una gráfica de una función continua f(x) en el intervalo [a, b] se hace girar sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le denomina

“área generatriz”, a la superficie delimitada por f(x) al girar se le llama

“superficie de revolución” y al volumen delimitado por la superficie de

revolución se le llama “sólido de revolución”. La rotación no necesariamente

se debe de efectuar sobre el eje x, pero sin pérdida de generalidad el eje

siempre se puede ubicar en esa posición.

Volumen de un sólido de revolución (método de los discos):

El volumen de un sólido generado alrededor del eje x la región bajo la curva

de f(x) en el intervalo [a, b] en que f(x) es continua es:

El “disco” señalado en azul en la figura tiene radio f(x) de ahí empleando el

área del círculo se obtiene la expresión previa.

Si el volumen se genera por una superficie entre curvas, se generaliza el

método de los discos y se le denomina método de las arandelas, en este caso

si f(x) ≥g(x) en [a, b] limitan la superficie, se tiene:

Ejemplo 1: Utilizando rotación de una semicircunferencia alrededor del

eje se puede verificar

que el volumen de una esfera es

Tomando la parte superior de la circunferencia y

haciendo rotar la región el eje alrededor del eje se obtiene

Ejemplo 2: La región limitada por la curva el origen, la recta el

eje rota

alrededor del eje . Encontrar el volumen del sólido obtenido.

Los elementos que van a llevar a la expresión del volumen son

perpendiculares al eje “y”.

Al rotar se van a obtener discos cuyo volumen es para

con lo cual

Volumen de un sólido de revolución (método de los cascarones

cilíndricos):

El sólido de revolución generado por una función f(x) que gira alrededor del

eje y, limitado por las rectas x = a y x = b, el eje x y la gráfica de f(x),

tiene un volumen:

En la figura se observa –en azul– un tubo típico de radio x, espesor dx y

altura f(x), que puede ser convertido en una lámina rectangular de

superficie 2πxf(x) y espesor dx.

Ejemplo1:

Encontrar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región

limitada por

Al hacer girar la figura sobre el eje “y”, podemos "cortar" discos de altura

y el radio sería , entonces:

Al tener esto podemos ver que para encontrar el volumen del disco es lo

mismo que obtener el volumen a un cilindro.

Entonces:

Con esto tenemos el volumen de un disco, y para encontrar el volumen total

para n-discos:

Para optimizar hacemos que sea más grande, haciéndola tender al infinito:

Con esto tenemos la forma de la integral de Riemann variando de 0 a 8.

Resolviendo nos queda

Mediante el método de los cascarones cilíndricos:

Ejemplo 2: Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar la

circunferencia de

centro en el punto y radio 2 alrededor de la recta (Toro)

El volumen se puede hacer por arandelas siendo la parte superior de la c

E l volumen de la parte exterior y la parte inferior de la circunferencia la

que genera el volumen de la parte interior.

Sin embargo se facilita mucho utilizar capas cilíndricas (producidas por

rectángulos paralelos a la recta

El radio “r” es la distancia al eje de rotación desde cualquier ordenada es

decir r=y+1.

La altura h=2x,y el espesor con lo cual ( )( ) conduce a la

integral.

Integral que se calcula haciendo

y al reemplazar

Con lo cual (unidades

cúbicas).

Bibliografía:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/integral_defi

nida_ejff/primera.htm

http://www.compujuy.com.ar/postx.php?id=70