Trabajo practico parte 3

Di Pietro,Kopp,Reinhardt,Cantero,Cuartero,Garza,Flores

Todo polinomio de grado n tiene n raíces.

• Es decir que la ecuación

• tiene n soluciones. Recordemos que es esta página sólo tendremos polinomios con coeficientes enteros. Observa la tabla anterior, donde escribimos la función, las raíces y la gráfica y verifica que efectivamente para cada polinomio de grado n hay n raíces.

Una forma en la que podemos interpretar este teorema es como sigue, ya que se puede factorizar un polinomio

dadas las raíces y hay n raíces para todo polinomio de este grado, entonces:

• La demostración de este teorema queda lejos del objetivo de esta página sin embargo daremos algunas herramientas para encontrar las n raíces.

Raíces de un polinomio

• La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polinomio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.

Por ejemplo el polinomio:

f(x) = x^2 + x - 12

Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:

• X^2 + x - 12 = 0 Igualando a cero.

• (x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando.

• x = - 4 Solución 1• x = 3 Solución 2

Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )=

0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 yx =

3 son raíces del polinomio f(x)= x2 +

x - 12

Factorización de un

polinomio• El número de factores en que se puede

descomponer un polinomio es igual al grado del polinomio (Teorema fundamental del Álgebra). Para que podamos factorizar un polinomio es necesario encontrar sus raíces. Cuando ya las tengamos, los factores correspondientes a cada raíz son de la forma ( x - r ) donde r es una de las raíces.

Esto es, si r1, r2, ... , rn son raíces del polinomio f(x) entonces la factorización de f(x) es:

f(x) = (x - r1) (x - r2) ... (x - rn)

Por ejemplo, si

• f(x) = x^3 - 4 x^2 + x + 6

como sus raíces son x = - 1, x = 2 y x = 3

entonces f(x) se ha factorizado como:

f(x) = (x - (-1)) (x - 2) (x - 3) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)

• f(x)= x^2 + x - 12

como sus raíces son x = - 4 y x = 3

entonces f(x) se ha factorizado como :

f(x) = (x - (-4)) (x - 3) = (x + 4) (x - 3)

DIVISIBILIDAD

• Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.

*Criterio de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

24, 238, 1024.

Criterio de divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.

5 + 6 + 4 = 15, es múltiplo de 3

2 + 0 + 4 + 0 = 6, es múltiplo de 3

•Criterio de divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

45, 515, 7525.

Criterio de divisibilidad por 7Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.34334 - 2 · 3 = 28, es múltiplo de 710510 - 5 · 2 = 02261226 - 1 · 2 = 224Volvemos a repetir el proceso con 224.22 - 4 · 2 = 14, es múltiplo de 7.

Criterio de divisibilidad por 11Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11.121(1 + 1) - 2 = 04224(4 + 2) - (2 + 4) = 0

Raíz Múltiple

Si al hallar las raíces de un polinomio una de ella aparece mas de una vez, esa es una raíz multiple.por ejemplo: si la raíz aparece dos veces, decimos que la raíz es doble, o es triple si aparece 2 veces.

POR EJEMPLO:

El coeficiente principal del polinomio P de grado 3 es 2.tiene una raíz múltiple que es 1 y una raíz doble que es 5:

El polinomio es:

P(x)=2(x-1)(x-5)^2

El lema de Gauss permite encontrar las raíces racionales de los polinomios de coeficientes enteros. Este lema proporciona un conjunto de posibles raíces que después, utilizando Ruffini, permite factorizar el polinomio.

El lema se enuncia El lema se enuncia de la s iguiente de la s iguiente

manera:manera:‘‘Cuando una fracción Cuando una fracción

irreducible de la forma p/q es irreducible de la forma p/q es raíz de un polinomio de raíz de un polinomio de

coeficientes enteros, entonces p coeficientes enteros, entonces p divide al término independiente divide al término independiente

y q divide al coeficiente y q divide al coeficiente principal’principal’

Paso Nº 1

Tenemos un pol inomio que puede o no cumplir los requis i tos

de los otros casos de factoreo:

3232)( 23 +−−= xxxxP

Paso Nº 2

Luego de identi f icar el coef iciente principal y el termino independiente,

extraemos los divisores de ambos.

p Término independiente: 3; 1; -1; -3

Coeficiente principal : 2; 1; -1; -2

Paso Nº 3

A través de la fórmula p/q, obtenemos las posibles raíces del

pol inomio.

Posibles raíces:

3−32

1 1 1−2

Paso Nº 4

Real izamos el Teorema del Resto con todas las potenciales raíces que

encontramos en el paso anterior.

3/2 = 0

3 = 24

-3 = -72

-3/2 = -7.5

1/2 = 1

-1 = 0

-1/2 = 6.25

Paso Nº 5

Hacemos la Regla de Ruff ini en cualquier orden, con todos los

valores de las potenciales raíces que dieron cero.

2 -3 -2 3

2 -1 -32 -1 -3 0

-2 32 -3 0

Paso Nº 6

Obtenemos el pol inomio factorizado.

3)(1)(1(3232 23 −+−=+−− xxxxxx

• Di Pietro, Laureano.

• Flores, Gastón.

• Kopp, Alfredo.• Reinhard, Emanuel

• Cantero, Lucía.

• Garza, Anahí.

• Cuartero, Agustina

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