Post on 27-Jun-2015
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MATEMÁTICA SUPERIOR -
INGENIERIA EN SISTEMAS
Prof. Marina Bloeck
Lic. Nori Cheein de Auat
Alumno: Nuñez, Juan Francisco Martin
10 5 10 15 20 25 30
-2
-1
0
1
2f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)
t
f(t)
Series de Fourier
El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la
teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series
sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de
investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una
herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Areas de aplicación
incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y
compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones,
y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se
puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al
uso de un analizador de espectros.
Representación mediante una serie de Fourier
Si una función f , de la variable independiente t, con periodo π2 es seccionalmente
continua en el intervalo ππ ≤≤− t y tiene derivada por izquierda y por derecha en
cada punto de ese intervalo, entonces la serie de Fourier correspondiente es
convergente. Si la serie de Fourier es correspondiente a una función f converge con la
suma de f(t) se dirá que se trata de una seria de la s0erie de Fourier de f y se escribe:
KK ++++++= )()cos(cos2
f(t) 11
0 ntsenbntasentbtaa
nn (1)
Pero esta serie (1) se puede expresar de una forma más breve:
)cos(2
)f(1
0 senntbntaa
tn
nn∑∞
=
++=
Los coeficientes )( 0 nnbaa para funciones con este periodo se obtienen a partir de:
∫−
=
π
ππ
dttfa )(1
0 ∫−
=
π
ππ
ntdttfan cos)(1
∫−
=
π
ππ
ntdttfbn sin)(1
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Funciones que tienen periodo arbitrario
Si la función no tiene periodo π2 necesitamos hacer una transición de este periodo a las
que tienen cualquier periodo T. Supongamos que f(t) (t variable independiente) tenga un
periodo T; entonces puede introducirse una nueva variable x tal que f, como función de
x tenga periodo π2 .
tT
xxT π
π
2
2t =⇒=
Esto significa que f como función de x tiene periodo π2 . Ahora expresamos la serie de
la siguiente forma:
)cos(22
f)f(1
0 senntbntaa
xT
tn
nn∑∞
=
++=
=
π
Con coeficientes )( 0 nnbaa obtenidos a partir de las formulas de Euler:
∫ ∫∫− −−
=−
=−
=
π
π
π
π
π
πππππππ
sennxdxxT
bnxdxxT
adxxT
a nn2
f1
cos2
f1
2f
10
Pero dado que tT
xxT π
π
2
2t =⇒= , se tiene que dt
Tdx
π2= y el intervalo de
integración sobre el eje x corresponde al intervalo:
22
Tt
T≤≤
−(2)
A continuación mostraremos por que los extremos de integración toman esos valores
(2)
π−
+=x , entonces xT
π2:
Valor asumido: π−=x
222
TTx
T −=−= π
ππ
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Valor asumido: π=x
222
TTx
T== π
ππ
En consecuencia:
∫−
=2
2
0 )f(2
T
T
dttT
a
∫−
=2
2
2cos)f(
2
T
T
n tdtT
nt
Ta
π
∫−
=2
2
2sin)f(
2
T
T
n tdtT
nt
Tb
π
A partir de estos resultados expresamos la serie de Fourier de la siguiente manera:
∑ ∑∞
=
∞
=
++=1 1
0 2sin
2cos
2)f(
n n
nn tT
nbt
T
na
at
ππ
EL INTERVALO DE INTEGRACION PUEDE REEMPLAZARSE POR CUALQUIER
INTERVALO DE LONGITUD T
Funciones pares e impares:
Ciertas propiedades de las funciones se reflejan en sus series de Fourier
Función par:
Sea f(x) una función de valor real de una variable real. Entonces f es par si se satisface
la siguiente ecuación para todo x en el dominio de f:
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)f()f( xx =−
Algunos ejemplos de funciones pares son: xxxx ),cos(,, 24
Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje
y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.
Si f es par entonce el integrando ∫−
=2
2
2sin)f(
2
T
T
n tdtT
nt
Tb
π es impar y 0=nb
Función impar:
Nuevamente, sea f(x) una función valor real de una variable real. Entonces f es impar si
se satisface la siguiente ecuación para todo x en el dominio de f:
)f()f( xx −=−
Algunos ejemplos de funciones impares: )sin(,,3xxx
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Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional
con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera
luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen.
IMPORTANTE: En las series de Fourier las funciones impares aparecen solo los
términos de la función seno. En las series de Fourier correspondientes a funciones pares
aparecen solo los términos del coseno.
Si f es impar el integrando ∫−
=2
2
2cos)f(
2
T
T
n tdtT
nt
Ta
πes par y 0=na
Series de Fourier de funciones pares e impares
La serie de Fourier de una función par f(t) de periodo T es una serie cosenoidal de
Fourier
∑∞
=
+=1
0 2cos
2)f(
n
n tT
na
at
π
Con coeficientes:
∫=2
0
0 )f(4
T
dttT
a ∫=
2
0
2cos)f(
4
T
n tdtT
nt
Ta
π
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La serie de Fourier de una función impar f(t) de periodo T es una serie senoidal de
Fourier
∑∞
=
=1
2sin)f(
n
n tT
nbt
π
∫=2
0
2sin)f(
4
T
n tdtT
nt
Tb
π
Desarrollos de medio rango
En problemas de la física e ingeniería es necesario aplicar las series de Fourier a
funciones escalares que solo están definidas sobre algún intervalo finito.
f(t)(t)f1 = con (t)f1 par y un intervalo Lt0 ≤≤ , 1f recibe el nombre de extensión
periódica PAR
Ahora este es nuestro intervalo finito: Lt0 ≤≤ si hacemos 2
TL = por lo tanto
Lt0 ≤≤ se corresponde con el intervalo de integración 2
0T
t ≤≤
Empleando nuestro intervalo de medio rango y periodo LT 2= a una serie cosenoidal
se obtiene:
∑∞
=
+=1
0 cos2
)f(n
n tL
na
at
π
Con coeficientes:
∫=
L
dttL
a0
0 )f(2
∫=
L
n tdtL
nt
La
0
cos)f(2 π
De manera analoga se obtiene una serie senosoidal de Fourier, la cual representa una
función impar. f(t)(t)f 2 = con Lt0 ≤≤ , 2f recibe el nombre de extensión periódica
IMPAR. Se deduce que:
∑∞
=
=1
sin)f(n
n tL
nbt
π y con coeficientes ∫=
L
n tdtL
nt
Lb
0
sin)f(2 π
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Forma compleja de una serie de Fourier
Consideremos una serie de Fourier para una función periódica f(t) con periodo 0
2
ϖ
π=T .
A partir de este periodo rescribimos la serie de Fourier:
∑ ∑∞
=
∞
=
++=1 1
0 2sin
2cos
2)f(
n n
nn tT
nbt
T
na
at
ππ(1)
Quedando de la siguiente manera:
∑ ∑∞
=
∞
=
++=1 1
000 sincos2
1)f(
n n
nn tnbtnaat ωω(2)
Para facilitar los cálculos obtenemos una formula alternativa utilizando las formulas de
Euler
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( )
( )
1
)4(2
1sin
)3(2
1cos
00
00
0
0
−=
−=
+=
−
−
j
eej
tn
eetn
jtnjtn
jtnjtn
ϖϖ
ϖϖ
ω
ω
Sustituyendo (3) y (4) en (2).
( ) ( )∑∞
=
−−
−+
++=
1
00000
2
1
2
1
2
1)f(
n
jtnjtn
n
jtnjtn
n eej
beeaatϖϖϖϖ
Por propiedad matemática jj
−=1
∑∞
=
−
++−+=
1
0 )(2
1)(
2
1
2
1)f( 00
n
nn
jtn
nn
jtnjbaejbaeat
ϖϖ
Definiendo:
)(2
1);(
2
1;
2
100 jbacjbacac nnnnnn +=−== −
Obteniendo así resultados congruentes con la formula para nb ya que nb corresponde a
la función seno y es impar f(t)t)f(bb nn −=−∧=− . La serie puede escribirse como:
∑∞
∞−
= 0f(t)ωjnt
nc
A la expresión obtenida se le llama forma compleja de la serie de Fourier
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Teorema de PARSEVAL
El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo T se puede
calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la
curva de f(t)
De acuerdo a lo anterior, si una función periódica f(t) representa una señal de voltaje o
corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo
está dada por
Si f(t) es periódica, también lo será y el promedio en un periodo será el
promedio en cualquier otro periodo.
El teorema de PARSEVAL nos permite calcular la integral de
Una consecuencia importante es:
f(t)
h=Altura
promedio
∫=
T
dttfArea0
)(
T
Area=Th
∫−
2
2
21 )]([
T
T
Tdttf
2)]([ tf2)]([ tf
( )∑∫∞
=−
++=1
222
2
2
021
2)]([
n
nn
T
T
Tba
adttf
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10
∫
∫
−∞→
−∞→
=
=
2
2
2
2
0cos)(lim
0sin)(lim
T
Tn
T
Tn
dtT
tntf
dtT
tntf
π
π
Que se conoce como el teorema de Riemann.
Diferenciación termino a término
Vamos a considerar a las series de Fourier como posibles soluciones de ecuaciones
diferenciales. Supongamos una función f continua para toda t, periodica y con
periodo 2L, y que su derivada 'f es suave por partes para toda t. Entonces la serie de
Fourier de 'f es la serie:
∑
+−=′
L
nb
L
n
L
tna
L
nt nn
ππππcossin)(f esta serie se obtuvo diferenciando termino
a termino )cos(2
)f(1
0 senntbntaa
tn
nn∑∞
=
++=
Transformadas finitas de Fourier
La transformada finita de seno de Fourier Lttf ≤≤0),( se define como:
∫=
L
s dtL
tntfnf
0
sin)()(π
Donde n es un entero. La función f(t) se llama inversa de la transformada finita del seno
de Fourier de )(nf s y esta definida por:
∑∞
=
=1
sin)(2
)(n
sL
tnnf
Ltf
π
La transformada finita de coseno de Fourier Lttf ≤≤0),( se define como:
∫=
L
c dtL
tntfnf
0
cos)()(π
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Donde n es un entero. La función f(t) se llama inversa de la transformada finita del
coseno de Fourier de )(nf c y esta dada por:
∑∞
=
+=1
cos)(2
)0(1
)(n
ccL
tnnf
Lf
Ltf
π
La FFT (TRANSFORMADAS FINITAS DE FOURIER) ha hecho posible el desarrollo
de equipo electrónico digital con la capacidad de cálculo de espectros de frecuencia para
señales del mundo real, por ejemplo:
• Osciloscopio digital Fuke 123
• Osc. Digital Tektronix THS720P
• Power Platform PP-4300
Osciloscopio digital
Fuke 123
Osc. Digital Tektronix
THS720P
Power Platform PP-4300
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Integral de Fourier
f(x) satisface las siguientes condiciones:
1) )(xf satisface las condiciones de Drichlet en cada intervalo finito ππ ≤≤− t
2) dttf∫∞
∞−
)( es convergente, es decir es absolutamente integrable en ∞≤≤∞− t
Entonces el teorema de la integral de Fourier establece que:
{ }∫∞
+=0
)sin()()cos()()( λλλλλ dtBtAtf
De donde
dtttfA ∫∞
∞−
= )cos()(1
)( λπ
λ
dtttfB ∫∞
∞−
= )sin()(1
)( λπ
λ