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TRABAJO DINMICA ESTRUCTURAL
ANLISIS DE LAS VIBRACIONES EN UN BRAZOROBOT FANUC-LR-MATE-200iC/5F
Jos Manuel Durn Snchez 70.581.444-X
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INDICE:
1. Introduccin2. Anlisis del mecanismo o estructura. Ecuaciones del movimiento
3. Casos de estudio/Resultadosa. 3.1. Casos de Estudiob. 3.2.Resultados
4. Discusin
5. Conclusiones
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1. Introduccin
El robot Fanuc LR-Mate-200ic es un robot que permite el trabajo montado en el
suelo, en la pared o invertido sin ninguna restriccin, consigue una velocidad mximade 4m/s, permitiendo el trabajo de varios robots unos cerca de otros. Para el vamos a
realizar su anlisis de vibraciones, de manera que nos permita conocer los lmites que
estas le suponen.
2. Anlisis del mecanismo o estructura. Ecuaciones del movimiento
Para el anlisis de la vibraciones en primer lugar es fundamental el conocimiento
de las dimensiones del robot, identificar cada una de las partes as como las
caractersticas de estas que las definen y sus grados de libertad.
Dimensiones del robot:
VISTA LATERAL
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VISTA FRONTAL
VISTA AREA
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Esquema del robot
Tenemos 6 grados de libertad:
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Ecuaciones de movimiento
Para obtener las ecuaciones del movimiento, aplicamos las leyes de Newton, en
nuestro caso considerando slo rotaciones. . Cada cuerpo vendr definido
por una masa, un momento de inercia y una rigidez.
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Partes del brazo
Cuerpo 1 (base)
m1= 6.32kg
Cuerpo 2 (brazo 1)
Sus dimensiones las aproximo a 110x200x180mm y le quito la parte superior
izquierda para aproximarlo ms a la realidad.
m2= 3.607kg
1155000kg/mm
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Cuerpo 3 (brazo 2)
Sus dimensiones las aproximo a 150x150x300mm y le quito la parte superior
izquierda para aproximarlo ms a la realidad.
m3= 6.243kg
1575000kg/mm
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Cuerpo 4 (brazo 3)
m4= 2.606kg
1312500kg/mm
Cuerpo 5 (brazo 4)
m5= 6.814kg
kg/mm
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Cuerpo 6 (disco 1)
m6= 0.7kg
mm4
Cuerpo 7 (disco 2)m7= 0.655kg
1553156mm4
kg/mm
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3. Casos de estudio / resultados.
3.1. Casos de Estudio.
Analizando las ecuaciones vemos que estn acopladas por lo que es necesario la
introduccin de una serie de condiciones iniciales de velocidad y desplazamiento.
X01= 1mm; 01=0.1mm/s;
X02= 1mm; 02= 0.1mm/s;
X03= 1mm; 03= 0.1mm/s;
X04= 1mm; 04= 0.1mm/s;
X05= 1mm; 05= 0.1mm/s;
X06= 1mm; 06= 0.1mm/s;
Una vez obtenidas las ecuaciones del movimiento libre pasamos a calcular las
frecuencias y amplitudes de las vibraciones.
En primer lugar creamos las matrices de inercia y rigidez de orden 6x6:
Matriz de inercia.
I=
Matriz de rigideces.
K=
Las condiciones iniciales las expresamos de forma vectorial
x0=
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A continuacin pasamos a calcular las frecuencias naturales (autovalores)
aplicando K-w2M =0 y los modos de vibracin (autovectores) de la matriz anterior, es
decir, (k-(w2)1,2M)v1,2=0
Si lo realizsemos as se nos complicaran muchos los clculos para ello usamos
el Mathematica y aplicamos M-1/2
IM1/2
-1/2
KM1/2
q= 0
De aqu extraemos los autovectores y autovalores.
Frecuencias naturales
w1=12.6491; w211547; w3 349482; w4 .19132; w5= 0.0645199; w6= 0.0431226;
Modos de vibracin
v1= {0.,0.,0.,0.,0.,1.}; v2= {0.,0.,0.,0.,1.,0.}; v3= {0.,0.,0.,1.,0.,0.};v4= 0.,-0.490524,0.871428,0.,0.,0.}; v5= {1.,0.,0.,0.,0.,0.}; v6={0.,0.871428,0.490524,0.,0.,0.};
A continuacin creamos la matriz modal P con los autovalores (modos de
vibracin) de dimensiones 6x6 de manera que tendremos PTP= I.
P=
200 400 600 800 1000 1200
100000
50000
50000
100000
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Matriz espectral y sus componentes principales.
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
H11
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
H22
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
4
2
2
4
0.5 1.0 1.5 2.0
25
20
15
10
5
0.5 1.0 1.5 2.0
500
400
300
200
100
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H33
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
H44
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
H55
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
0.5 1.0 1.5 2.0
500
400
300
200
100
2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
30
20
10
10
20
10 11 12 13 14
10
5
5
10
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H66
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
El primer caso surge de aplicar un impulso, en el cual introducimos una fueza
mediante una funcin delta de dirac, aplicada en la ltima pieza del robot (6), en el
segundo caso aplicamos diversas cargas de forma sinusoidal sobre las distintas partes
del robot.
Vibracin forzada
Para ello introducimos la fuerza en las ecuaciones de movimiento obteniendo:
Obteniendo la solucin general para los distintos modos de vibracin
Caso 1 (delta dirac) F1=0; F2=0; F3=0; F4=0; F5=0; F6=5;
Caso 2 (sinusoidal) F1=15000; F2=4000; F3=5000; F4=1000; F5=2000; F6=3000;
Una de las formas de determinar cmo responde el robot a esa excitacin es
emplear Transformadas de Fourier, ya que sabemos que la respuesta estacionaria
verifica que F[x(t)]= H(w) F[f(t)].
11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0
10
5
5
10
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Aplicando la Transformada inversa al resultado de ese producto obtenemos la
solucin particular de las ecuaciones de movimiento. A Continuacin se recalculan las
constantes de integracin a partir de las condiciones iniciales, para la obtencin de la
solucin homognea.
La respuesta total ser la suma de la solucin homognea y de la particular:xT1= xh1 + xe1
xT2= xh2 + xe2
xT3= xh3 + xe3
xT4= xh4 + xe4
xT5= xh5 + xe5
xT6= xh6 + xe6
Datos del ejemplo con delta de dirac a modo de ejemplo.
XT1{0. Sin[0.407133 +0.0431226 t]+1.84451 Sin[0.572992 +0.0645199
t]+0. Sin[0.829036 +0.109132 t]+0. Sin[1.54219 +3.49482 t]+0.
Sin[1.56214 +11.547 t]+(0. +0. ) Sinh[(1.0059410-9+1.56289
)+12.6491 t]}
XT2{2.99724 Sin[0.407133 +0.0431226 t]+0. Sin[0.572992 +0.0645199
t]-0.253421 Sin[0.829036 +0.109132 t]+0. Sin[1.54219 +3.49482
t]+0. Sin[1.56214 +11.547 t]+(0. +0. ) Sinh[(1.0059410-
9+1.56289 )+12.6491 t]}
XT3{1.68714 Sin[0.407133 +0.0431226 t]+0. Sin[0.572992 +0.0645199
t]+0.450209 Sin[0.829036 +0.109132 t]+0. Sin[1.54219 +3.49482
t]+0. Sin[1.56214 +11.547 t]+(0. +0. ) Sinh[(1.0059410-
9+1.56289 )+12.6491 t]}
XT4{0. Sin[0.407133 +0.0431226 t]+0. Sin[0.572992 +0.0645199 t]+0.
Sin[0.829036 +0.109132 t]+1.00041 Sin[1.54219 +3.49482 t]+0.
Sin[1.56214 +11.547 t]+(0. +0. ) Sinh[(1.0059410-9+1.56289
)+12.6491 t]}
XT5{0. Sin[0.407133 +0.0431226 t]+0. Sin[0.572992 +0.0645199 t]+0.
Sin[0.829036 +0.109132 t]+0. Sin[1.54219 +3.49482 t]+1.00004
Sin[1.56214 +11.547 t]+(0. +0. ) Sinh[(1.0059410-9+1.56289
)+12.6491 t]}
XT6
{1.2725210-7 Cos[12.6491 t]+0. Sin[0.407133 +0.0431226 t]+0.
Sin[0.572992 +0.0645199 t]+0. Sin[0.829036 +0.109132
t]+1.2725210-7
Sin[12.6491 t]+0. Sin[1.54219 +3.49482 t]+0.
Sin[1.56214 +11.547 t]-(1.2724810-7+1.00003 ) Sinh[(1.0059410-9+1.56289 )+12.6491 t]}
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XT1
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
XT2
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
XT3
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
500 1000 1500 2000 2500 3000
3
2
1
1
2
3
500 1000 1500 2000 2500 3000
4
2
2
4
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XT4
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
XT5
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
XT6
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
500 1000 1500 2000 2500 3000
3
2
1
1
2
3
5 10 15 20 25
3
2
1
1
2
3
5 10 15 20 25
3
2
1
1
2
3
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3.2. Resultados
Variamos el valor de la fuerza aplicada a la delta de dirac, para ver su evolucin. (la
evolucin de la sinusoidal no la he copiado en este documento).
f0=5
XT6= {1.2725210-7 Cos[12.6491 t]+0. Sin[0.407133 +0.0431226
t]+0. Sin[0.572992 +0.0645199 t]+0. Sin[0.829036 +0.109132
t]+1.2725210-7
Sin[12.6491 t]+0. Sin[1.54219 +3.49482 t]+0.
Sin[1.56214 +11.547 t]-(1.2724810-7+1.00003 ) Sinh[(1.0059410
-
9+1.56289 )+12.6491 t]}
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
f0=5000
XT6= {0.0127252 Cos[12.6491 t]+0. Sin[0.407133 +0.0431226
t]+0. Sin[0.572992 +0.0645199 t]+0. Sin[0.829036 +0.109132
t]+0.0127252 Sin[12.6491 t]+0. Sin[1.54219 +3.49482 t]+0.
Sin[1.56214 +11.547 t]-(0.0127251 +1.00001 ) Sinh[(0.000061318
+1.56598)-12.6491
t]}
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
5 10 15 20 25
3
2
1
1
2
3
5 10 15 20 25
3
2
1
1
2
3
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f0=5000000
XT6= {0.127252 Cos[12.6491 t]+0. Sin[0.407133 +0.0431226
t]+0. Sin[0.572992 +0.0645199 t]+0. Sin[0.829036 +0.109132
t]+0.127252 Sin[12.6491 t]+0. Sin[1.54219 +3.49482 t]+0.
Sin[1.56214 +11.547 t]-(0.126369 +1.00699 ) Sinh[(0.0147428
+1.45386 )-12.6491 t]}
Amplitud en el eje de ordenadas (mm), tiempo en el eje de abscisas (s).
5 10 15 20 25
3
2
1
1
2
3
5 10 15 20 25
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
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4. Discusin
La relacin entre el aumento de la fuerza de impulso y la amplitud de la onda es
pequea, varia poco aunque se aprecia como a medida que se aumenta la carga,
disminuye ligeramente la amplitud de esta.
TIEMPO (s)
1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3
FUERZA
5000000 0,811252 0,308676 -0,313308 -0,814092 -0,99995 -0,798984
5000 0,811252 0,308676 -0,313308 -0,814092 -0,99995 -0,7989845 0,811252 0,308676 -0,313308 -0,814092 -0,99995 -0,798984
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8
AMPLITUD
(mm)
TIEMPOS
Excitacin Delta Dirac
FUERZA 5000000
FUERZA 5000
FUERZA 5
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En el caso de la excitacin mediante una onda sinusoidal a medida que aumenta
el valor de la fuerza que provoca la excitacin se aprecia como aumenta el valor de la
amplitud, en la grafica a penas se aprecia pero en la frmula considerablemente mejor.
TIEMPO (s)
1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3
FUERZA
3000 0,997234 0,760168 0,229034 -0,3907 -0,8593 -0,99548 -0,74657
10000 0,997236 0,760207 0,229092 -0,39065 -0,85928 -0,9955 -0,74662
30000 0,997244 0,76032 0,229256 -0,39052 -0,85924 -0,99557 -0,74675
100000 0,997271 0,760715 0,22983 -0,39004 -0,85907 -0,99578 -0,74723
En el caso de introducir una excitacin sinusoidal con una frecuencia idntica a
la frecuencia natural en lugar de acoplarse que serie lo natural, apenas sufre
modificacin la onda y no se consigue apreciar la resonancia debida al acoplamiento
que debiera existir.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8
AMPLITUD(m
m)
TIEMPOS
Excitacin sinusoidal
3000
10000
30000
100000
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