Post on 26-May-2015
description
04/12/2304/12/23 11
ISTP” Gilda Liliana Ballivian Rosado”ISTP” Gilda Liliana Ballivian Rosado”
ESTADISTICA IESTADISTICA IUnidad Formativa IIUnidad Formativa II
Por Lic. Yaya Gómez, MaríaPor Lic. Yaya Gómez, María
04/12/2304/12/23 22
ESTADISTICAESTADISTICA
MEDIDAS DE RESUMEN:MEDIDAS DE RESUMEN:
-Medidas de Tendencia CentralMedidas de Tendencia Central
04/12/2304/12/23 33
MEDIDAS DE TENDENCIA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALCENTRAL
04/12/2304/12/23 44
Son indicadores estadísticos que resumen Son indicadores estadísticos que resumen todos los datos en un sólo númerotodos los datos en un sólo númeroHan sido obtenidos a través de fórmulasHan sido obtenidos a través de fórmulas
Se utiliza generalmente para variables Se utiliza generalmente para variables cuantitativascuantitativas
Por lo tanto: Por lo tanto: son vson valores que alores que representan a un conjunto de datosrepresentan a un conjunto de datos..
Son llamados tendencia central, ya que seSon llamados tendencia central, ya que se ubican generalmente en el centro de la ubican generalmente en el centro de la distribución de los datos.distribución de los datos.
DEFINICION:
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
04/12/2304/12/23 55
PRINCIPALES MEDIDAS DE PRINCIPALES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALTENDENCIA CENTRAL
1. Media Aritmética1. Media Aritmética
2. Mediana2. Mediana
3. Moda 3. Moda
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
04/12/2304/12/23 66
1. MEDIA ARITMÉTICA :1. MEDIA ARITMÉTICA : XX• Indicador estadístico que representa a un conjunto de datos cuantitativos
• REQUISITO: Se usa solo para datos homogéneos
• Es conocido como: Media o Promedio
• REPRESENTACION: X, M(X)
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
EJEM.: El promedio del número de hijos de los empleados de la empresa EL REY es 3, X=3
Significa que cada empleado en promedio tiene 3 hijos.
04/12/2304/12/23 77
1.1Fórmulas de Cálculo de la 1.1Fórmulas de Cálculo de la Media AritmeticaMedia Aritmetica
a)a) Pocos datosPocos datos (datos originales): (datos originales):• Se obtiene de la suma de todos los datos, Se obtiene de la suma de todos los datos,
dividido entre el número total de ellos.dividido entre el número total de ellos.
Variables CD,CCVariables CD,CC
1.1Fórmulas de Cálculo de la 1.1Fórmulas de Cálculo de la Media AritmeticaMedia Aritmetica
a)a) Pocos datosPocos datos (datos originales): (datos originales):• Se obtiene de la suma de todos los datos, Se obtiene de la suma de todos los datos,
dividido entre el número total de ellos.dividido entre el número total de ellos.
Variables CD,CCVariables CD,CC
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
n
XX
04/12/2304/12/23 88
Ejemplos de Cálculo de la MediaEjemplos de Cálculo de la Media
a)a) Pocos datosPocos datos (datos originales): (datos originales):• Estos datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de empresas de Estos datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de empresas de
confecciones: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3confecciones: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3
Ejemplos de Cálculo de la MediaEjemplos de Cálculo de la Media
a)a) Pocos datosPocos datos (datos originales): (datos originales):• Estos datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de empresas de Estos datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de empresas de
confecciones: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3confecciones: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3
X = xi /n = 59 / 11=5.36 = 5
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Cada empresa en promedio tiene 5 trabajadores.
04/12/2304/12/23 99
1.2 Fórmulas de Cálculo de la Media1.2 Fórmulas de Cálculo de la Media
b) Datosb) Datos agrupados agrupados (Discretos):(Discretos):• Se obtiene de la suma de los productos de los valores que Se obtiene de la suma de los productos de los valores que
toma la variable por su respectiva frecuencia, dividido entre toma la variable por su respectiva frecuencia, dividido entre el número total de datos. el número total de datos.
1.2 Fórmulas de Cálculo de la Media1.2 Fórmulas de Cálculo de la Media
b) Datosb) Datos agrupados agrupados (Discretos):(Discretos):• Se obtiene de la suma de los productos de los valores que Se obtiene de la suma de los productos de los valores que
toma la variable por su respectiva frecuencia, dividido entre toma la variable por su respectiva frecuencia, dividido entre el número total de datos. el número total de datos.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
n
niXX iXhX
04/12/2304/12/23 1010
Ejemplos de Cálculo de la MediaEjemplos de Cálculo de la Mediab) b) DatosDatos Agrupados (Discretos): Agrupados (Discretos):
NUMERO DE HIJOS DE EMPLEADOSNUMERO DE HIJOS DE EMPLEADOS
Nº Nº Hijos=XHijos=X
nini X niX ni
00 44 00
11 1515 1515
22 99 1818
33 22 66
TOTALESTOTALES 3030 3939Cada empleado tiene en promedio 1 hijo
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
= 39 / 30
= 1.3 hijos
∼ 1 hijo
n
niXX
04/12/2304/12/23 1111
1.3 Fórmulas de Cálculo de la Media1.3 Fórmulas de Cálculo de la Media
c) c) DatosDatos tabulados tabulados (con intervalos):(con intervalos):• Se obtiene de la suma de los productos de las marcas de clase por su Se obtiene de la suma de los productos de las marcas de clase por su
frecuencia, dividido entre el número total de ellos. frecuencia, dividido entre el número total de ellos.
• Y: Puntos medios= Y: Puntos medios= semisuma de límites de intervalossemisuma de límites de intervalos
1.3 Fórmulas de Cálculo de la Media1.3 Fórmulas de Cálculo de la Media
c) c) DatosDatos tabulados tabulados (con intervalos):(con intervalos):• Se obtiene de la suma de los productos de las marcas de clase por su Se obtiene de la suma de los productos de las marcas de clase por su
frecuencia, dividido entre el número total de ellos. frecuencia, dividido entre el número total de ellos.
• Y: Puntos medios= Y: Puntos medios= semisuma de límites de intervalossemisuma de límites de intervalos
Y = yi ni /n
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Y = yi hi
04/12/2304/12/23 1212
SUELDO MENSUAL(miles S/) DE EMPLEADOSSUELDO MENSUAL(miles S/) DE EMPLEADOS
SUELDOSSUELDOS YiYi nini Yi niYi ni2.0 – 2.52.0 – 2.5 2.252.25 22 4.504.50
2.5 – 3.02.5 – 3.0 2.752.75 88 22.0022.00
3.0 – 3.53.0 – 3.5 3.253.25 1717 55.2555.25
3.5 – 4.03.5 – 4.0 3.753.75 33 11.2511.25
TOTALESTOTALES 3030 93.0093.00
FUENTE: Empresa el
REY:
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Ejemplos de Cálculo de la MediaEjemplos de Cálculo de la Mediab) b) DatosDatos Agrupados Agrupados
= 93 / 30
= 3.10 miles S/.
= 3,100 soles
Cada empleado tiene en promedio un sueldo mensual de 3100 soles
n
niYY
04/12/2304/12/23 1313
1.- Los datos son homogéneos1.- Los datos son homogéneos
1.5 CASOS PARA USAR LA MEDIA:1.5 CASOS PARA USAR LA MEDIA:
2.- No hay presencia de valores extremos en la Variable X
3.- Las Distribuciones de Frecuencia son simétricas o aproximadamente simétrica
X
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
04/12/2304/12/23 1414
1.- La media de una constante M(a) = a1.- La media de una constante M(a) = a
1.6 PROPIEDADES DE LA MEDIA:1.6 PROPIEDADES DE LA MEDIA:
2.- La media de una constante por una variable M(a X) = a M(X)
X
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
3.- La media de la suma de dos variables M(X + Y) = M(X) + M(Y)
04/12/2304/12/23 1515
2. MEDIANA: X2. MEDIANA: X• Es un indicador estadístico que divide al conjunto de datos en dos partes iguales.
• REQUISITO: Se usa si los datos son heterogéneos
•REPRESENTACION: Md(X)
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
EJEM.: Si la mediana del número de trabajadores de un grupo de empresas de transporte es 4:
Significa que el 50% de las empresas de transporte tiene menos de 4 trabajadores y el otro 50%, mayor de 4
~ ~
04/12/2304/12/23 1616
Md = x( n+1)/2
Md =(1/2)*(x n/2+x (n+2)/2 )
a) a) Datos Originales ( Datos Originales ( pocos pocos datosdatos ) )
Procedimiento:Procedimiento:
i) Ordenar los datos en forma crecientei) Ordenar los datos en forma creciente
ii) Observar el número de datos (n) y elegir:ii) Observar el número de datos (n) y elegir:
* * Si n es parSi n es par : :
* * Si n es impar Si n es impar ::
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
2.1Fórmulas de Cálculo de la Mediana2.1Fórmulas de Cálculo de la Mediana
04/12/2304/12/23 1717
Ejemplos de Cálculo de la MedianaEjemplos de Cálculo de la Mediana
a)a) Datos OriginaleDatos Originale(datos sin tabular):(datos sin tabular):• Los siguientes datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de Los siguientes datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de
empresas del Callao: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3empresas del Callao: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3
• Procedimiento: 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9Procedimiento: 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9
Ejemplos de Cálculo de la MedianaEjemplos de Cálculo de la Mediana
a)a) Datos OriginaleDatos Originale(datos sin tabular):(datos sin tabular):• Los siguientes datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de Los siguientes datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de
empresas del Callao: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3empresas del Callao: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3
• Procedimiento: 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9Procedimiento: 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9
n= 11 (n+1)/2=(11+1)/2=6 : x6 = 5, Md = 5
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
El 50% de las empresas tienen menos de 5 trabajadores
04/12/2304/12/23 1818
Md = xj
Md = (xj + xj-1) / 2
b) b) Mediana para DatosMediana para Datos Agrupados ( Agrupados (discretos)discretos)::
Procedimiento:Procedimiento:
i) Calcular las frecuencias absoluta acumuladas Nii) Calcular las frecuencias absoluta acumuladas Ni ii) Encontrar n/2ii) Encontrar n/2
iii) Ubicar Niii) Ubicar Njj tal que N tal que Nj - 1 j - 1 < < n/2n/2 < N < Njj
* * Si NSi Nj-1j-1 < n/2 < n/2 : :
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
* Si NSi Nj-1j-1 = n/2 = n/2 :
donde: xj = Valor de x correspondiente a Nj
xj-1 = Valor de x correspondiente a Nj-1
2.2 Fórmulas de Cálculo de la Mediana2.2 Fórmulas de Cálculo de la Mediana
04/12/2304/12/23 1919
Ejemplos de Cálculo de la MedianaEjemplos de Cálculo de la Medianab) b) DatosDatos TabuladosTabulados (Discretos): (Discretos):
NUMERO DE HIJOS DE EMPLEADOS NUMERO DE HIJOS DE EMPLEADOS
Nº Nº Hijos=XHijos=X
nini NiNi
00 44 44
11 1515 1919
22 99 2828
33 22 3030
TOTALESTOTALES 3030
Md = xj
El 50% de los empleados tienen menos de un hijo y el otro 50% tienen mas de un hijo
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Md = 1 hijo
n/2 = 15
4 ‹ n/2 ‹ 19
04/12/2304/12/23 2020
Md = L j
c) Mediana para Datosc) Mediana para Datos Agrupados Agrupados (continuos)(continuos)::Procedimiento:Procedimiento:
i) Calcular las frecuencias absoluta acumuladas Nii) Calcular las frecuencias absoluta acumuladas Ni ii) Encontrar n/2ii) Encontrar n/2
iii) Ubicar Niii) Ubicar Njj tal que N tal que Nj - 1 j - 1 < < n/2n/2 < N < Njj
* * Si N Si N j -1 j -1 < n/2< n/2: :
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
* Si N Si N j -1j -1 = n/2 = n/2:
donde: L j = límite real inferior de Nj
cj = Amplitud del Intervalo que corresponde a Nj
2.3 Fórmulas de Cálculo de la Mediana2.3 Fórmulas de Cálculo de la Mediana
1
12/*
jj
jjj
NNNn
cLMd
04/12/2304/12/23 2121
SUELDO MENSUAL(miles S/) DE EMPLEADOS de la SUELDO MENSUAL(miles S/) DE EMPLEADOS de la Empresa AlfaEmpresa Alfa
SUELDOSSUELDOS XXf:Nº de f:Nº de
EmpleadosEmpleados NiNi2.0 – 2.52.0 – 2.5 2.252.25 22 22
2.5 – 3.02.5 – 3.0 2.752.75 88 1010
3.0 – 3.53.0 – 3.5 3.253.25 1717 2727
3.5 – 4.03.5 – 4.0 3.753.75 33 3030
TOTALESTOTALES 3030
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Ejemplos de Cálculo de la MedianaEjemplos de Cálculo de la Medianab) b) DatosDatos Agrupados: Agrupados:
n/2 = 15 , 10 ‹ n/2 ‹ 27, Nj-1=10, Nj=27
1
12/*
jj
jjj
NNNn
cLMd
04/12/2304/12/23 2222
1.- Los datos no son homogéneos, es decir 1.- Los datos no son homogéneos, es decir la Variable X tiene valores extremosla Variable X tiene valores extremos
2.4 CASOS PARA USAR LA MEDIANA:2.4 CASOS PARA USAR LA MEDIANA:
2.- Los límites de intervalos no estan definidos
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
3.- La amplitud de intervalos son diferentes
04/12/2304/12/23 2323
3. MODA: M3. MODA: Moo
• Es el valor que mas se repite en un conjunto de datos
• REPRESENTACION: Mo(X)
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
EJEM.: Si la moda de la especialidad de los trabajadores de la empresa ALFA es TECNICOS
Significa que el cargo que más se repite en la empresa Alfa es el de Tecnico
04/12/2304/12/23 2424
Mo = dato que más se repite
Mo = Xi con mayor ni
3.1 Fórmulas de Cálculo de la Moda3.1 Fórmulas de Cálculo de la Moda
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
a) a) Datos cualitativosDatos cualitativos
bb) ) Datos Agrupados discretosDatos Agrupados discretos
(por observación)
(por observación)
04/12/2304/12/23 2525
llMOMO = límite real inferior con mayor frecuencia = límite real inferior con mayor frecuencia
11 = diferencia de > ni y la anterior a ella = diferencia de > ni y la anterior a ella
22 = diferencia de > ni y la posterior a ella = diferencia de > ni y la posterior a ellaCj = amplitud del intervalo con mayor Cj = amplitud del intervalo con mayor frecuenciafrecuencia
llMOMO = límite real inferior con mayor frecuencia = límite real inferior con mayor frecuencia
11 = diferencia de > ni y la anterior a ella = diferencia de > ni y la anterior a ella
22 = diferencia de > ni y la posterior a ella = diferencia de > ni y la posterior a ellaCj = amplitud del intervalo con mayor Cj = amplitud del intervalo con mayor frecuenciafrecuencia
3.2 Fórmulas de Cálculo de la Moda3.2 Fórmulas de Cálculo de la Moda
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
c) Datos Agrupados (continuos) c) Datos Agrupados (continuos)
21
1*
ddd
cLM jmoo
dd
04/12/2304/12/23 2626
3.4 Casos en que se recomienda 3.4 Casos en que se recomienda usarusar la Moda:la Moda:
b1 .- Los Datos son Cualitativosb1 .- Los Datos son Cualitativos
b2. Cuando se solicita el dato que más se b2. Cuando se solicita el dato que más se repiterepite
b3.Cuando se solicita el valor más frecuenteb3.Cuando se solicita el valor más frecuente
Se pueden presentar más de una moda (aceptar un máximo 3 modas) o puede no presentarse.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
04/12/2304/12/23 2727
4. C u a r t i l e s ( Q4. C u a r t i l e s ( Q k k ) , ) , kk= 1, 2, 3= 1, 2, 3Son estadígrafos que dividen a una Son estadígrafos que dividen a una distribución de frecuencias en cuatro distribución de frecuencias en cuatro porciones iguales o intervalosporciones iguales o intervalos
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Se representan por Q1Q1, Q2Q2,Q3 Q3 y se ilustran en el esquema siguiente:
04/12/2304/12/23 2828
A. C u a r t i l e s ( QA. C u a r t i l e s ( Q k k ) para ) para datos originalesdatos originales
es importante considerar que si el cálculo no corresponde con la posición exacta entonces se usa interpolación lineal.
4y3,2,1,
4
1
k
nk
4,3,2,1,
4
k
LLkLQ isik
;SuperiorLimite;,inferiorlimite;Cuartil fik LLkQ s
04/12/2304/12/23 2929
EjemploEjemploConsideremos la siguiente información Consideremos la siguiente información tabla de temperaturas reportadas en los tabla de temperaturas reportadas en los últimos 24 días en la ciudad de IQUITOS:últimos 24 días en la ciudad de IQUITOS:
25 °C28 °C25 °C26 °C28 °C28 °C35 °C32 °C31 °C31 °C32 °C27 °C25 °C29 °C26 °C28 °C27 °C28 °C30 °C30 °C31 °C31 °C30 °C31 °C
Ordenando los datos tenemos: 25, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 31, 31, 31, 32, 32, 35
04/12/2304/12/23 3030
La posición del primer cuartil es:
25.6
4
25
4
1241
lo que significa que el primer cuartil se encuentra entre la posición 6 y 7, como en este caso el número es el mismo entonces por lo que el primer cuartil es igual a .
0 fi LL
CQ 271
04/12/2304/12/23 3131
B. Datos agrupados ( Q B. Datos agrupados ( Q kk ) ) kk = 1, 2, 3 = 1, 2, 3
Procedimiento Procedimiento : : Similar al de la Similar al de la mediana (Md) pero en vez de n/2 se mediana (Md) pero en vez de n/2 se considera (k*n)/4.considera (k*n)/4.
Nk-1<kn/4
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1
14/*
kk
kkk
NNNkn
cLQ
04/12/2304/12/23 3232
5.5. D e c i l e s ( Di ) , i = 1, 2, 3, ...9D e c i l e s ( Di ) , i = 1, 2, 3, ...9
Son 9 números que dividen a los datos en Son 9 números que dividen a los datos en 10 partes iguales,cada uno con el 10 % 10 partes iguales,cada uno con el 10 % de los datos.de los datos.
Son 9 números que dividen a los datos en Son 9 números que dividen a los datos en 10 partes iguales,cada uno con el 10 % 10 partes iguales,cada uno con el 10 % de los datos.de los datos.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
04/12/2304/12/23 3333
Si se estudia el 10% de las Si se estudia el 10% de las observaciones, se dice que se esta observaciones, se dice que se esta analizando el decil 1(D1 )analizando el decil 1(D1 )
Si se estudia el 10% de las Si se estudia el 10% de las observaciones, se dice que se esta observaciones, se dice que se esta analizando el decil 1(D1 )analizando el decil 1(D1 )
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Se interpreta como el límite máximo Se interpreta como el límite máximo del 10% de las observaciones del 10% de las observaciones inferiores; o como el limite mínimo inferiores; o como el limite mínimo del 90% de las observaciones del 90% de las observaciones superiores.superiores.
Se interpreta como el límite máximo Se interpreta como el límite máximo del 10% de las observaciones del 10% de las observaciones inferiores; o como el limite mínimo inferiores; o como el limite mínimo del 90% de las observaciones del 90% de las observaciones superiores.superiores.
04/12/2304/12/23 3434
*Procedimiento :*Procedimiento : Similar al de la MEDIANA Similar al de la MEDIANA ( Md ) pero en lugar de n/2, se considera ( Md ) pero en lugar de n/2, se considera ( k*n)/( k*n)/1010
*Procedimiento :*Procedimiento : Similar al de la MEDIANA Similar al de la MEDIANA ( Md ) pero en lugar de n/2, se considera ( Md ) pero en lugar de n/2, se considera ( k*n)/( k*n)/1010
Nj-1<kn/10
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1
110/*
jj
jjji
NNNkn
cLD
04/12/2304/12/23 3535
6. P e r c e n t i les ( Pi ) , k= 1, 2, 3, ...996. P e r c e n t i les ( Pi ) , k= 1, 2, 3, ...99Son 99 números que dividen a los datos en 100 partes iguales, cada una con el 1 % de los datos.Son 99 números que dividen a los datos en 100 partes iguales, cada una con el 1 % de los datos.
ProcedimientoProcedimiento : similar a la MEDIANA : similar a la MEDIANA ( Md ) pero en lugar de n/2 se considera (k*n)/100( Md ) pero en lugar de n/2 se considera (k*n)/100
Son 99 números que dividen a los datos en 100 partes iguales, cada una con el 1 % de los datos.Son 99 números que dividen a los datos en 100 partes iguales, cada una con el 1 % de los datos.
ProcedimientoProcedimiento : similar a la MEDIANA : similar a la MEDIANA ( Md ) pero en lugar de n/2 se considera (k*n)/100( Md ) pero en lugar de n/2 se considera (k*n)/100
Nj-1<in/100
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL1
1100/*
jj
jjji
NN
NkncLP