Post on 16-Apr-2015
Tema III: Solución de ecuaciones no lineales
•Método de la Bisección•Método de Newton•Método de la Secante•Método de Regula Falsi •Método de Sustitución Sucesiva
¿Qué buscan estos métodos?
Hallar raíces de funciones, f(x)=0
•Caso particular: Funciónes polinómicas
•Primer Grado: ax + b = 0 -> una raíz x=-b/a
•Segundo Grado: ax2 + bx + c -> dos raíces
•Tercer Grado: ax3 + bx2 + cx + d -> tres raíces
a
cabb
2
42
Método de Bisección
•Definición: Es el método más elemental y antiguo
para determinar las raíces de una ecuación. Consiste
en partir de un intervalo [x0,x1] tal que f(x0)f(x1) <
0 . A partir de este punto se va reduciendo el
intervalo, hasta que sea menor al error
(Tolerancia).
X
f(X)
X1
Xo
Cambio de Signo de f(x)
X
f(X)
X1
XoX
f(X)
X1
Xo
Método de Bisección
•Ejemplo: Hallar por el método de bisección la raíz de
la siguiente función en el intervalo con un
error )1()2()1()( xxxxf
Raíces: x=1, x=2, x=-1
]2
3,0[ 1.0
0 3/2
Método de Bisección
No: Sigo
Si: Fin
Si X0=m
No X1=m
210 xx
m
0)()( 1 xfmf0x 1x || 01 xx || 01 xx
m X1X0
Método de Bisección
0 1.5 1.5 No 0.75
0.75 1.5 0.75 No 1.125
0.75 1.125 0.5 No 0.813
0.813
1.125 0.312 No 0.969
0.969
1.125 0.156 No 1.047
0.969
1.047 0.078 Si
210 xx
m
0)()( 1 xfmf0x 1x || 01 xx || 01 xx
34.0)5.1()75.0( ff
15.0)5.1()125.1( ff
09.0)125.1()813.0( ff
015.0)125.1()969.0( ff
021.0)125.1()047.1( ff
Método de Bisección
•Ejemplo: Hallar por el método de bisección la raíz de
la siguiente función en el intervalo con un
error )1()2()1()( xxxxf
Raíces: x=1, x=2, x=-1
]0,2[ 1.0
0 3/2
Método de Bisección
-2 0 2 No -1
-1 0 1 No -0.5
-1 -0.5 0.5 No -0.75
-1 -0.75 0.25 No -0.875
-1 -0.875 0.125 No -0.9375
-1 -0.9375
0.0625
Si
210 xx
m
0)()( 1 xfmf0x 1x || 01 xx || 01 xx
0)0()1( ff
75.3)0()5.0( ff
26.2)5.0()75.0( ff
81.0)75.0()875.0( ff
24.0)875.0()9375.0( ff
Método de Bisección
•Ventajas del Método−Algoritmo muy sencillo−Muy estable (Está garantizada su convergencia)
•Desventajas del Método−De muy lenta convergencia
Método de Newton
•Definición: Partiendo de un punto x0, el método
de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x0,f(x0)) y cuya pendiente
coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x0)
)(
)(
0'
001 xf
xfxx
))(()( 00'
0 xxxfxfy )( 00 xxmyy
),( 00 yx
Raíz
Método de Newton
•Ejemplo: Hallar por el método de newton la raíz de la
siguiente función partiendo de x0 = 3 con un error
)1()2()1()( xxxxf
Raíces: x=1, x=2, x=-1
1.0
0 3/2
22)( 23 xxxxf
143)( 2' xxxf
Método de Newton
3 8 14 2.429 0.571 No
2.429 2.102 6.984 2.128 0.3 No
2.128 0.4516 4.073 2.017 0.11 No
2.017 0.0522 3.137 2.00036 0.0166 Si
nx )(
)('1
n
nnn xf
xfxx || 1 nn xx)( nxf )(' nxf || 1 nn xx
Método de Newton
Zoom
Método de Newton
•Ventajas del Método−Convergencia muy rápida
•Desventajas del Método−Muy inestable (No se garantiza la convergencia)−La función debe ser derivable y contínua−Se requiere conocer la primera derivada de la función
Método de Newton
•Inestabilidad del Método de Newton
X0
X1
X0 X2 X1
(A) (B)
A : No se alcanza la convergenciaB : Converge pero fuera de la raíz
Método de la Secante
•Definición: Partiendo de dos puntos [x0,f(x0)] y
[x1,f(x1)]. El método de la secante utiliza una
aproximación de la pendiente mediante la
expresión:
)()()( 001
0102 xf
xfxf
xxxx
)()()(
)( 001
010 xx
xx
xfxfxfy
)( 00 xxmyy
),( 00 yx
Raíz
01
01
01
01 )()(
xx
xfxf
xx
yym
),( 11 yx
Método de la Secante
•Ejemplo: Hallar por el método de la secante la raíz
de la siguiente ecuación partiendo de X0 = 0 y X1 =
3/2 con error
)1()2()1()( xxxxf
Raíces: x=1, x=2, x=-1
1.0 0 3/2
22)( 23 xxxxf
Ejemplo:
0 1.5 2 -0.625 1.143 0.357 No
1.5 1.143 -0.625 -0.2626
0.8843 0.259 No
1.143 0.8843
-0.2626
0.243 1.0086 -0.1243 No
0.8843
1.0086
0.2432 -0.0171
1.000424 0.00436
Si
1nx || 11nn xx)( 1nxf )( nxf || 1 nn xxnx 1nx
)()()( 11
111
n
nn
nnnn xf
xfxf
xxxx
Método de la Secante
•Ventajas del Método−Convergencia muy rápida, aunque no tan rápida comoEl Método de Newton-No requiere conocer la derivada de la función
•Desventajas del Método−Muy inestable (No se garantiza la convergencia)
Método Regula Falsi (Falsa Posición)•Definición: Es un método similar al de bisección, con la diferencia que en vez de tomar el punto medio, se toma como nuevo valor, la intersección con el eje x de una línea recta formada por los dos puntos del intervalo.
X
f(X)
X1
Xo
X2
01
01
01
01 )()(
xx
xfxf
xx
yym
)()()( 001
0102 xf
xfxf
xxxx
)( 00 xxmyy 0x2
Método Regula Falsi (Falsa Posición)
•Ejemplo: Hallar por el método Regula Falsi la raíz de
la siguiente función en el intervalo con un
error )1()2()1()( xxxxf
Raíces: x=1, x=2, x=-1
]2
3,0[ 1.0
0 3/2
Método Regula Falsi (Falsa Posición)
0 1.5 2 -0.625
1.143
No No
0 1.143 2 -0.263
1.01 No No
0 1.01 2 -0.02 1 Si
0)()( 1 nn xfxf1nx nx
)()()( 11
111
n
nn
nnnn xf
xfxf
xxxx
)( 1nxf )( nxf 1nx || 1nn xx
Método Regula Falsi (Falsa Posición)
•Ventajas del Método−Convergencia intermedia, más rápido que el método de bisección, aunque no tan rápida como el Método de Newton o de la Secante.-Muy estable
•Desventajas del Método−Como converge a partir de un sólo extremo del intervalo, si ese extremo se encuentra muy lejos de la raíz, la convergencia sería mucho más lenta.
Método de Sustitución Sucesiva
•Definición: Dada una función f(x), la idea es reemplazar la ecuación f(x) = 0 por otra de la forma x = g(x) (Si s es una solucion de f(x), entonces s = f(s)). Se calcula x1 a partir de x0 y se repite el proceso, esta vez con el nuevo valor x1, hasta que |x1 – x0|<Error.Por ejemplo:
1813)( 3 xxxf 018133 xx
31 1813)( xxxg
Raíz, ya queg(x) = x
13
18)(
3
2
x
xxg
13
18)(
23
x
xxg
Método de Sustitución Sucesiva
• Condiciones para Aplicación del Método:
1. Partiendo de un intervalo I = [a,b], tal que para
todo x Є I, se debe cumplir que g(x) Є I
a) La función de iteración g(x) debe ser continua sobre I=[a,b].
b) La función de iteración es diferenciable sobre I = [a,b]. Además, existe una constante no negativa K < 1 tal que para todo x Є I, | g’(x) | ≤ K < 1
Método de Sustitución Sucesiva
Zoom
-4,1622
2 2,1622
1813)( 3 xxxf
Método de Sustitución Sucesiva
Raíz
Intervalo [1,4]
g(x) Pertenece a [1,4] ?
13
18)(
3
2
x
xxg
13
18)(
23
x
xxg3
1 1813)( xxxg
Método de Sustitución Sucesiva
Raíz
Raíz
Raíz
Método de Sustitución Sucesiva
•Ejemplo: Hallar por el método de la sustituciones
sucesivas la raíz de la siguiente ecuación partiendo
de x0 = 3/2 con un error
22)( 231 xxxg
Raíces: x=1, x=2, x=-1
01.00 3/2
22)( 23 xxxxf
3 22 22)( xxxg
Método de Sustitución Sucesiva
22)( 231 xxxg
xxf )(
3 22 22)( xxxg
X=1.5
2
1
Ejemplo:
1.5 1.5874 0.0874 No
1.5874 1.666 0.0786 No
1.666 1.7344 0.06838 No
1.7344 1.79157 0.05175 No
1.79157 1.83818 0.04661 No
1.83818 1.8754 0.0372 No
1.8754 1.90466 0.0292 No
1.90466 1.9274 0.02275 No
1.9274 1.9449 0.0175 No
1.9449 1.958 0.01344 No
1.958 1.9686 0.0106 No
1.9686 1.9763 0.0077 Si
nx || 11nn xx)(1 nn xgx || 1 nn xx
3 2 22)( xxxg
Método de la Sustitución Sucesiva
•Ventajas del Método-Convergencia rápida (dependiendo de la g(x))-No requiere conocer la derivada de la función
•Desventajas del Método−Muy inestable (No se garantiza la convergencia)−Depende de una escogencia adecuada de la g(x)