Post on 24-Apr-2015
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Tema 1 - Transformaciones geométricas 2D
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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Definición
• Aplicaciones de R2 � R2 (ei � ei’)– Elementos que intervienen (puntos y rectas):
• Originales (ei):• Imágenes (ei’)
– ei y ei’ son Homólogos– Si ei y ei’ coinciden son Dobles– Invariantes: propiedades que no varían en la
transformación
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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Clasificación
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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Homología 2D (I)
• Elementos definitorios:– Centro de homología (H)– Eje de homología (E)– 2 puntos homólogos
• Obtención:– Puntos homólogos:
alineados con H– Rectas homólogas:
se cortan en E
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Homología 2D (II)
• Características:– Deforma segmentos y ángulos– Los puntos de E son dobles– Las rectas que pasan por H son dobles– Invariantes:
• Pertenencia• Intersección• Ordenación
– Puede invertir el sentido del plano
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Homología 2D (III)
• Rectas límite:– L’: puntos homólogos
de puntos impropios de la figura F
– L: puntos homólogos de puntos impropios de la figura F’
– Paralelas a E– Equidistantes de H y E
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HA
E
B
C
L'Q'
A'C'
Homología 2D (IV)• Obtener el triángulo A’B’C’,
homólogo del triángulo ABC, conociendo la recta límite L’:
HA
A'
E
B
C
C '
B'L'Q '
HA
E
B
C
L'
Q’: homólogo del punto impropio de la recta AC
(está en L’ y en A’C’)
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HA
E
B
C
L
A'C 'P
Homología 2D (V)• Obtener el triángulo A’B’C’,
homólogo del triángulo ABC, conociendo la recta límite L:
HA
E
B
C
L
P: homólogo del punto impropio de la recta A’C’
(está en L y en AC)
HA
E
B
C
C '
B'
L
A'
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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Afinidad 2D (I)
• Homología de centro impropio (dirección de afinidad)
• Rectas límites impropias
• Invariantes añadidos:– Paralelismo – Proporcionalidad
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Afinidad 2D (II)
• Razón de afinidad (k):– Razón de distancias al eje entre puntos afines
(medidas sobre la dirección de afinidad)
– Si los puntos afines están al mismo lado del eje la razón es positiva, si no, es negativa
BB
BB
AA
AAk
E
E
E
E '' ==
0<k0>k
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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Simetría Oblicua 2D• Afinidad de k = -1 (invierte el sentido)• Elementos definitorios:
– r (E): eje de simetría (recta doble)
– 2 puntos simétricos
• Dos puntos simétricos A y A’ están:– A la misma distancia de r– En lados opuestos
BBBB
AAAA
EE
EE
−=−=
'
'
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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• Homología de eje impropio• Escalado• Elementos definitorios:
– Centro de homotecia: O (H) (punto doble)– Razón de homotecia (k): razón de distancias al centro
entre puntos homólogos. Mantiene el sentido del plano
Homotecia 2D (I)
Oa
Oak
'=
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Homotecia 2D (II)• Conserva ángulos pero no segmentos• Rectas límites impropias• Invariantes añadidos:
– Paralelismo – Proporcionalidad
• La homotecia de una circunferencia de radio R es una circunferencia de radio k·R
O'
P'
P
O
H Q
Q'
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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Rectas y semirrectas
• Recta: conjunto de puntos linealmente ordenado:
• Semirrecta: un punto de una recta y todos los que le siguen. El punto divide a la recta en dos semirrectas
A B C
1º 2º 3º
P1 P2 P3
A B C
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Semiplanos
• Semiplano: cada una de las partes en que una recta r (borde) divide al plano
• Designación:– rP (recta y punto)– rQ
• Ecuaciones:– Recta: Ax+By+C=0– Semiplano: Ax+By+C>0– Semiplano: Ax+By+C<0
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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Movimientos 2D (I)
• Características:– Forman grupo– Conservan segmentos
y ángulos– Invariantes:
• Pertenencia, Intersección, Ordenación• Paralelismo, Proporcionalidad
– Dada cualquier semirrecta r y su semiplano αsy otra semirrecta r’ y su semiplano αs‘, existe un movimiento que transforma r y αs en r’ y αs‘
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Movimientos 2D (II)
• Tipos de movimientos:
– Directos: mantienen el sentido del plano
– Inversos: cambian el sentido del plano
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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Simetría Central 2D (I)• Transforma una semirrecta r y uno de sus
semiplanos en los opuestos• Elementos definitorios:
– O (H): centro de simetría (punto doble)
• Dos puntos simétricos A y A’ están:– Alineados con O– A la misma distancia– En lados opuestos
• Movimiento directo• Giro de 180º, homotecia de k = -1
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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Simetría Axial 2D (I)• Transforma una semirrecta r en sí misma y uno
de sus semiplanos en el opuesto• Elementos definitorios:
– r (E): eje de simetría (recta doble)
• Dos puntos simétricos A y A’ están:– En una recta perpendicular a r– A la misma distancia de r– En lados opuestos
• Movimiento inverso• Afinidad de k = -1 y dirección perpendicular a E
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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• Transforma una semirrecta rA en otra r’A’ contenidas ambas en la misma recta r y uno de sus semiplanos en sí mismo
• Elementos definitorios:– Vector determinado por dos
puntos homólogos A y A’
• Las rectas paralelas al vector son dobles
• Movimiento directo• Afinidad y Homotecia (H y E impropios)
Traslación 2D (I)
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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Giro 2D (I)• Transforma una semirrecta y uno de sus
semiplanos en otra con origen común (O) y un semiplano que queda al mismo lado
• Elementos definitorios:– O: centro de giro (punto doble)– Ángulo de giro
• Movimiento directo
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• 2 Puntos homólogos:– Están en circunferencias
de centro O– El centro está
en la mediatriz
• 2 Rectas homólogas:– El ángulo entre ellas
es el ángulo de giro– El centro está en la
bisectriz
Giro 2D (II)
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Giro 2D (III)
• Centro instantáneo de rotación (CIR):– Cualquier movimiento directo de una figura
entre 2 posiciones del plano se puede representar con un giro
– El CIR es el centro de rotación de dicho giro
– Si el movimiento es una traslación, el CIR es un punto impropio
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Giro 2D (IV)
• Obtener el CIR, a partir de:– 2 posiciones de 1 segmento � Intersección
de mediatrices determinadas por los extremos correspondientes
– 2 posiciones de 1 punto + 2 pos. de 1 recta �Intersección de mediatriz determinada por los 2 puntos y bisectriz de las 2 rectas
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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Invariantes de las transformaciones geométricas
IntersecciónPertenenciaOrdenación
ParalelismoProporcionalidad
Tamaño de los
segmentosÁngulos Sentido
Homología X A veces
Afinidad X X A veces
Homotecia X X X X
Simetría Central X X X X X
Simetría Oblicua X X
Simetría Axial X X X X
Traslación X X X X X
Giro X X X X X
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Índice• Definición• Clasificación• Homología 2D• Afinidad 2D• Simetría Oblicua 2D• Homotecia 2D• Rectas, semirrectas
y semiplanos
• Movimientos 2D:– Simetría Central 2D– Simetría Axial 2D– Traslación 2D– Giro 2D
• Invariantes• Composición y
Parametrización de transformaciones
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• Aplicar consecutivamente varias transformaciones • No es, generalmente, conmutativa• Ejemplo. Composición de:
– Giro de centro O y 90º– Simetría oblicua de eje E y
dirección de afinidad horizontal
Composición de transformaciones
E
OA
B
C
B'
A'
C'C''
A''
B''
E
O
A
BC C'
B'
A'C''
A''
B''
Simetría seguida de giro
Giro seguido de Simetría
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Parametrización de transformaciones
• Los movimientos pueden parametrizarse. Ejemplo: giro con el parámetro ángulo
• Posibilidades:– Animación: parámetro
asociado al tiempo– Generación de trayectoria
o curva: si la transformación se aplica a un punto
A
B
CA'
A''
A'''
O
θ3
θ2
θ1