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Elaboró: AREA DE CIENCIAS BASICAS Revisó: Coordinador Área Aprobó: Consejo de facultad
UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA
SECCIONAL BOGOTA AREA: CIENCIAS BÁSICAS
CURSO: CALCULO INTEGRAL
FECHA: 2012-30-01
VERSION:2
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TEMA: METODOS DE INTEGRACION-SUSTITUCION TRIGNONOMÉTRICA
TIEMPO ESTIMADO: 2 HORA
JUSTIFICACION:
La integración tiene algunos métodos, llamados técnicas de integración que permiten reducir ciertas integrales a otra ya conocidas (la tabla). Entre esas técnicas se tiene el cambio de variable que se estudia a continuación.
OBJETIVOS: 1. Establecer las sustituciones trigonométricas apropiadas como método para calcular algunas integrales de las formas y (x²-a² )r
2. Reducir integrales que contienen trinomios de la forma ax²+ bx+ c, con a ≠ 0, a alguna de las formas expresadas en el objetivo 1. FUNDAMENTACION TEORICA:
Expresión en el integrando Sustitución trigonométrica
Integración por sustitución trigonométrica
Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a
cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:
con y
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La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que
contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.
Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:
a.
El integrando contiene una función de la forma con
Se hace el cambio de variable escribiendo
donde
Si entonces
Además:
pues y como
entonces por lo que
Luego:
Como entonces
Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a
partir de la figura siguiente:
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Ejemplos:
1.
Sea con
Luego:
Sustituyendo:
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Como entonces y
Además por lo que
Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:
Por último:
2.
Sea
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Luego
Sustituyendo
Como entonces por lo que puede utilizarse la siguiente
figura para dar el resultado final:
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Luego:
3.
Sea
Además:
Sustituyendo:
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4.
Sea
Luego
Sustituyendo
pues y
También puede utilizarse:
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5. Ejercicio para el estudiante
6. Ejercicio para el estudiante
7. Ejercicio para el estudiante
b.
El integrando contiene una expresión de la
forma con
Hacemos un cambio de variable escribiendo donde y
Si entonces
Además
Como y entonces es positiva
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y por tanto
Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente
figura:
Ejemplos:
1.
Sea
Luego:
Sustituyendo
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2.
Sea
Luego:
Sustituyendo
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3.
Sea
Luego
Sustituyendo
Como
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de la sustitución
inicial
Por tanto:
4.
Sea
Luego
Sustituyendo
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Como entonces
Por lo que:
se
obtiene:
Por último:
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5. Ejercicio para el estudiante
6. Ejercicio para el estudiante
c.
El integrando contiene una expresión de la
forma con y
En este caso la sustitución adecuada es:
donde
y
Si entonces
Además
de donde
pues y para
Como entonces por lo que
Utilizando el siguiente triángulo puede obtenerse las otras funciones
trigonométricas:
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Ejemplos:
1.
Sea
Luego
Sustituyendo:
2.
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Sea
Luego
Sustituyendo:
3.
Sea
Luego
Sustituyendo:
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Como puede utilizarse la siguiente figura para determinar
Por último:
4. Ejercicio para el estudiante
5. Ejercicio para el estudiante
Otras integrales en las que se utiliza alguna de las sustituciones trigonométricas
que hemos estudiado, son aquellas que contienen una expresión de la
forma . En los siguientes ejemplos se ilustra el procedimiento a
seguir:
Ejemplos:
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1.
Podemos escribir como o sea
Luego es la integral que debemos calcular
Sea
Luego
Sustituyendo:
2.
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Se tiene que:
Luego la integral se convierte en:
y se utiliza la sustitución de donde:
Luego:
Sustituyendo:
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con o sea
3.
Se tiene que
por lo que , con
sea de donde
Luego y
Sustituyendo
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4.
Se tiene que (completando cuadrados)
Luego la integral que se debe determinar es:
Sea
Luego
Sustituyendo
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Como entonces y utilizando que
se obtiene finalmente que
con
APLICACIONES:
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WEBGRAFIA: http://www.calculointegrales.com/p/mnetodos-de-integracion-integral-cambio.html http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node13.html