Metodo de integracion por sustitucion trigonometrica
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METODO DE INTEGRACION
POR SUSTITUCION
TRIGONOMETRICA
CALCULO INTEGRAL
π2 β π’2
PARA ESTE CASO, SE REALIZARΓ LA
SUSTITUCION SIGUIENTE UTILIZANDO COMO
βuβ UNA NUEVA VARIABLE:
ππ β ππ β π = π β πππ π½
π’2 β π2
PARA ESTE CASO, SE REALIZARΓ LA
SUSTITUCION SIGUIENTE UTILIZANDO COMO
βuβ UNA NUEVA VARIABLE:
π’π β ππ β π = π β π ππ π½
π’2 + π2
PARA ESTE CASO, SE REALIZARΓ LA
SUSTITUCION SIGUIENTE UTILIZANDO COMO
βuβ UNA NUEVA VARIABLE:
π’π + ππ β π = π β π‘ππ π½
π ππ2 π½ + cos2 π½ = 1
π ππ2π½ = 1 β cos2 π½ cos2 π½ = 1 β π ππ2π½1 + π‘π2 π½ = sec π½
π‘π2π½ = sec2 π½ β 1 sec2 π½ β π‘π2π½ = 1
π πππ½ =1
cπ π π½csc π½ =
1
π ππ π½
πππ π½ =1
sec π½sec π½ =
1
cos π½
π‘π π½ =1
ππ‘π π½ππ‘π π½ =
1
π‘π π½
ππ₯
9 β π₯232
SOLUCION:
AL ANALIZAR UN POQUITO DE ESTA INTEGRAL, VEMOS QUE TIENE DEL TIPO
π2 β π’2, DONDE SE REALIZARA LA SUSTITUCION SIGUIENTE:
π2 = 9 π’2 = π₯2
π = 3 π’ = π₯ππ’ = ππ₯
ASI QUE, SUSTITUYENDO, SE OBTIENE LO SIGUIENTE:
ππ₯
9 β π₯232
= ππ’
π2 β π’232
Y TAMBIEN REALIZAR LA SUSTITUCION SIGUIENTE PARA ESTE TIPO DE CASOS:
π’ = π β π ππ π½ππ’ = π β πππ π½ ππ½
Y POR LO TANTO:
ππ’
π2 β π’232
= ππ’
π2 β π β π ππ π½ 232
= π β cosπ½ ππ½
π2 1 β π ππ2π½32
= π β cos π½ ππ½
π2 cos2 π½32
= π β cos π½ ππ½
π232 cos2 π½
32
= π β πππ π½ ππ½
π3 πππ 3π½
=1
π2
ππ½
cos2 π½=1
π2 sec2 π½ ππ½ =
1
π2π‘π π½ + πΆ
Y RECORDANDO LAS SUSTITUCIONES QUE SE REALIZARON EN EL PROCESO DE
LA SOLUCION DEL PROBLEMA, SE VUELVEN A DESPEJAR, QUEDANDO DE LA
SIGUIENTE MANERA:
π ππ π½ =π’
π
cos π½ =π2 β π’2
π
π‘π π½ =π’
π2 β π’2
1
π2π‘π π½ + πΆ =
1
π2β
π’
π2 β π’2+ πΆ
Y RECORDANDO QUE:π2 = 9 π = 3π’2 = π₯2 π’ = π₯
1
π2β
π’
π2 β π’2+ πΆ =
1
9β
π₯
9 β π₯2+ πΆ
ππ₯
9 β π₯232
=1
9β
π₯
9 β π₯2+ πΆ
ππ§
π§2 + 632
SOLUCION:π2 = 6 π’2 = π§2
π = 6 π’ = π§ππ’ = ππ§
ππ§
π§2 + 632
= ππ’
π’2 + π232
π’ = π β π‘π π½ππ’ = π β sec2 π½ ππ½
ππ’
π’2 + π232
= π β sec2 π½ ππ½
π β π‘π π½ 2 + π232
= π β sec2 π½ ππ½
π2π‘π2π½ + π232
= π β sec2 π½ ππ½
π2 π‘π2 π½ + 132
= π β sec2 π½ ππ½
π2 sec2 π½32
= π β sec2 π½ ππ½
π3 π ππ3π½=1
π2 ππ½
sec π½=1
π2 cosπ½ ππ½
=1
π2π ππ π½ + πΆ
Y AL REALIZAR EL TRIANGULO RECTANGULO CON SUS RESPECTIVAS VARIABLES,
TOMAREMOS LO SIGUIENTE:
π ππ π½ =π’
π’2 + π2
πππ π½ =π
π’2 + π2
tg π½ =π’
π
Y TAMBIEN RECORDAR QUE
π2 = 6 π’2 = π₯2
π’ = π₯
1
π2π ππ π½ + πΆ =
π’
π2 π’2 + π2+ πΆ =
π₯
6 π₯2 + 6+ πΆ
β΄ ππ§
π§2 + 632
=π₯
6 π₯2 + 6+ πΆ
π₯2 β 25
π₯ππ₯
SOLUCION:
π’2 = π₯2 π2 = 25π’ = π₯ π = 5ππ’ = ππ₯
π₯2 β 25
π₯ππ₯ =
π’2 β π2
π’ππ’
π’ = π β sec π½ππ’ = π β sec π½ π‘π π½ ππ½
π’2 β π2
π’ππ’ =
π2 sec2 π½ β π2
π β sec π½π β sec π½ β π‘π π½ ππ½ = π‘π π½ π2 sec2 π½ β 1 ππ½
= π‘π π½ π2π‘π2π½ππ½ = π π‘π π½ β π‘π π½ ππ½ = π π‘π2 π½ ππ½ = π (sec2 π½ β 1)ππ½
= π π ππ2 π½ ππ½ β π ππ½ = π π‘π π½ β π β π½ + πΆ
Y AL ANALIZAR EL TRIANGULO, SUSTITUIMOS LO SIGUIENTE PARA βtg Bβ:
π ππ π½ =π’2 β π2
π’
cosπ½ =π
π’
π‘π π½ =π’2 β π2
π
π π‘π π½ β π β π½ + πΆ = π βπ’2 β π2
πβ π β π½ + πΆ
PARA EL CASO DE βbetaβ, SE DESPEJARA CUALQUIERA DE ESAS FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS Y, POR LOGICA, SE TRANSFORMARAN A FUNCIONES
INVERSAS TRIGONOMETRICAS (ES DECIR, arc sen, arc cos y/o arc tg). PARA
OBTENER UNA FACILIDAD ALTA, DESPEJAREMOS BETA PARA LA FUNCION
βCOSβ, ES DECIR:
cosπ½ =π
π’β π½ = πππ cos
π
π’
Y VOLVIENDO A LA SOLUCION:
π βπ’2 β π2
πβ π β π½ + πΆ = π β
π’2 β π2
πβ π β πππ cos
π
π’+ πΆ
Y SIN OLVIDAR QUE:
π2 = 25 π’2 = π₯2
π = 5 π’ = π₯ππ’ = ππ₯
π βπ’2 β π2
πβ π β πππ cos
π
π’+ πΆ = 5 β
π₯2 β 25
5β 5 β πππ cos
5
π₯+ πΆ
= π₯2 β 25 β 5 β πππ cos5
π₯+ πΆ
β΄ π₯2 β 25
π₯ππ₯ = π₯2 β 25 β 5 β πππ cos
5
π₯+ πΆ
BIBLIOGRAFIAS
W. SWOKOWSKI, EARL, βCALCULO CON GEOMETRIA ANALITICAβ, SEGUNDA
EDICION, E.U.A, 1097 PAGS.
Garza Olvera, BenjamΓn, CΓ‘lculo Integral, MatemΓ‘ticas VDGETI, 1ra
EdiciΓ³n, 269-275 pΓ‘gs.
AGUILAR, Gerardo y Castro, Jaime, βPROBLEMARIOS DE CΓLCULO
INTEGRALβ, 1ra ediciΓ³n, DivisiΓ³n Iberoamericana, Julio 2003, pΓ‘gs. 37-38.