FAING EPIE MATEMATICA BASICAIII UNIDAD: GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO SESION 02: EL PLANO EN EL ESPACIO - I

1. LA ECUACION DEL PLANO

Un plano es un conjunto P de puntos p(x,y,z) de R3 si existe un punto p(x0,y0,z0) de R3 y dos vectores no paralelos =(a1,a2,,a3) y =(b1,b2,,b3) de R3 de tal manera que:

P = { P(x,y,z) R3 / P (x,y,z) = p(x0,y0,z0) + t + / t y R}

Consideremos un plano P que pasa por el punto paralelo a los vectores: =( y =(. Sea p (p pertenece al plano P) entonces existen t, tal que: = tpt p = t P = {t} Ejemplo 01: Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto M(3,4,-5) y es paralelo a los vectores =(3,4,5) y=(1,-2,2)

OBSERVACIN.-

A) Vector normal a un plano.

2.1 Definicin:Vector normal a un plano P es cualquier vector perpendicular (Ortogonal) al plano P.

De la ecuacin vectorial del plano P = {t} se obtiene la normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano = =

B) Si es una normal al plano: P = {t} y si entonces es ortogonal a =

C) Si del plano P y es su normal entonces la ecuacin del plano es: P: Es la ecuacin del plano que pasa por

Ejemplo 02: hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto P0 (2,1,-1) y cuyo vector normal es =(1,-2,3)

2. ECUACION PARAMETRICA DEL PLANOConsideremos el plano P = {tSi p entonces: p = t, reemplazando por sus respectivas componentes se tiene: (x, y, z) = (+ t( +. (x, y, z ) = (+()+()Igualando ambos miembros:

P :

Conocida como la ecuacin paramtrica del plano que pasa por el punto P0 y cuyos vectores generadores son: y

Ejemplo 03: Calcula la ecuacin paramtrica del plano que pasa por el punto P = (2, 3, 1) y tienen por vectores directores los vectores y .

3. ECUACION GENERAL DEL PLANO

Sea P el plano que pasa por el punto (cuyo vector normal es: = (A, B, C), si p entonces:

Ejemplo 04: hallar la ecuacin del plano que pasa por le punto (2,4,-1) con vector normal = (2,3,4)

Ejemplo 05: Halla la ecuacin del plano que pasa por los puntos A = (2, 1, 1), B = (0, 4, 1) y C = (2, 1, 4).

4. PLANOS PARALELOS Y ORTOGONALES

Consideremos los planos: P1 = A1x + B1y + C1z +D2 = 0 y P2 = A2x + B2y + C2z +D2 = 0 donde = (A1, B1, C1) y = (A2, B2, C2)

a) El plano P1 es paralelo al plano P2 (P1//P2) si y solo si sus normales y son paralelas es decir:

P1//P2 //

Si // => r R tal que N1 = N2, lo que quiere decir que los coeficientes de las ecuaciones cartesianas de los planos deben de ser proporcionales, o sea que debe de cumplirse:

Ejemplo 06: demostrar que los planos P1 = 3x -7z +2 = 0 y P2 = 6x +10y -14z +5 = 0 son paralelos.

b) El plano P1 es ortogonal al plano P2 (P1 P2) si y solo si sus normales Si y son ortogonales, es decir:

P1 P2

Si => . = 0 => A1A2 +B1B2 +C1C2 = 0 por lo que

Ejemplo 07: demostrar que el plano P1 : 4x y +2z = 7 es ortogonal al plano P2 : x + 6y +z = 16____________________________________________________________________________________________________________Ing. Edwin Valencia esvalenciac@hotmail.com