Sesion 03 y Sesion 04 - El Plano en El Espacio
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FAING EPIE MATEMATICA BASICAII I UNIDAD : GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO SESION 02: EL PLANO EN EL ESPACIO - I 1. LA ECUACION DEL PLANO Un plano es un conjunto P de puntos p(x,y,z) de R 3 si existe un punto p(x 0 ,y 0 ,z 0 ) de R 3 y dos vectores no paralelos a=(a 1, a 2, ,a 3 ) y b =(b 1, b 2, ,b 3 ) de R 3 de tal manera que: P = { P(x,y,z) ϵ R 3 / P (x,y,z) = p(x 0 ,y 0 ,z 0 ) + t a + λ b / t y λ ϵ R} Consideremos un plano P que pasa por el punto p 0 ( x 0 ,y 0 ,z 0 ) yqueesparalelo a los vectores: a =( a 1 ,a 2 ,a 3 ¿ y b =( b 1 ,b 2 ,b 3 ¿ . Sea p ∈P(p pertenece al plano P) entonces existen t, λ ∈R tal que: p 0 p = t a+ λ b→ p −p 0 =¿t a+ λ b p = p 0 +¿ t a+ λ b ∴ P = { p 0 +¿ t a+ λ b } →Ecuacion vectorial delplano Ejemplo 01: Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto M(3,4,-5) y es paralelo a los vectores a=(3,4,5) y b =(1,- 2,2) OBSERVACIÓN.- A) Vector normal a un plano. 2.1 Definición: Vector normal a un plano P es cualquier vector perpendicular (Ortogonal) al plano P. De la ecuación vectorial del plano P = { p 0 +¿ t a+ λ b} se obtiene la normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano N = a× b = | i ❑ j ❑ k ❑ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | B) Si N es una normal al plano: P = { p 0 +¿ t a+ λ b } y si p 1 ,p 2 ϵP entonces N es ortogonal a p 1 p 2 = p 2 −p 1 C) Si p 0 esunpuntofijodel plano P y N es su normal entonces la ecuación del plano es: P: N. ( p−p 0 ) =0 Es la ecuación del plano que pasa por p 0 ycuyanormales N. _________________________________________________________________________________________ ___________________ Ing. Edwin Valencia [email protected] Pag. 1 de 3
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FAING EPIE MATEMATICA BASICAIII UNIDAD: GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO SESION 02: EL PLANO EN EL ESPACIO - I
1. LA ECUACION DEL PLANO
Un plano es un conjunto P de puntos p(x,y,z) de R3 si existe un punto p(x0,y0,z0) de R3 y dos vectores no paralelos =(a1,a2,,a3) y =(b1,b2,,b3) de R3 de tal manera que:
P = { P(x,y,z) R3 / P (x,y,z) = p(x0,y0,z0) + t + / t y R}
Consideremos un plano P que pasa por el punto paralelo a los vectores: =( y =(. Sea p (p pertenece al plano P) entonces existen t, tal que: = tpt p = t P = {t} Ejemplo 01: Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto M(3,4,-5) y es paralelo a los vectores =(3,4,5) y=(1,-2,2)
OBSERVACIN.-
A) Vector normal a un plano.
2.1 Definicin:Vector normal a un plano P es cualquier vector perpendicular (Ortogonal) al plano P.
De la ecuacin vectorial del plano P = {t} se obtiene la normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano = =
B) Si es una normal al plano: P = {t} y si entonces es ortogonal a =
C) Si del plano P y es su normal entonces la ecuacin del plano es: P: Es la ecuacin del plano que pasa por
Ejemplo 02: hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto P0 (2,1,-1) y cuyo vector normal es =(1,-2,3)
2. ECUACION PARAMETRICA DEL PLANOConsideremos el plano P = {tSi p entonces: p = t, reemplazando por sus respectivas componentes se tiene: (x, y, z) = (+ t( +. (x, y, z ) = (+()+()Igualando ambos miembros:
P :
Conocida como la ecuacin paramtrica del plano que pasa por el punto P0 y cuyos vectores generadores son: y
Ejemplo 03: Calcula la ecuacin paramtrica del plano que pasa por el punto P = (2, 3, 1) y tienen por vectores directores los vectores y .
3. ECUACION GENERAL DEL PLANO
Sea P el plano que pasa por el punto (cuyo vector normal es: = (A, B, C), si p entonces:
Ejemplo 04: hallar la ecuacin del plano que pasa por le punto (2,4,-1) con vector normal = (2,3,4)
Ejemplo 05: Halla la ecuacin del plano que pasa por los puntos A = (2, 1, 1), B = (0, 4, 1) y C = (2, 1, 4).
4. PLANOS PARALELOS Y ORTOGONALES
Consideremos los planos: P1 = A1x + B1y + C1z +D2 = 0 y P2 = A2x + B2y + C2z +D2 = 0 donde = (A1, B1, C1) y = (A2, B2, C2)
a) El plano P1 es paralelo al plano P2 (P1//P2) si y solo si sus normales y son paralelas es decir:
P1//P2 //
Si // => r R tal que N1 = N2, lo que quiere decir que los coeficientes de las ecuaciones cartesianas de los planos deben de ser proporcionales, o sea que debe de cumplirse:
Ejemplo 06: demostrar que los planos P1 = 3x -7z +2 = 0 y P2 = 6x +10y -14z +5 = 0 son paralelos.
b) El plano P1 es ortogonal al plano P2 (P1 P2) si y solo si sus normales Si y son ortogonales, es decir:
P1 P2
Si => . = 0 => A1A2 +B1B2 +C1C2 = 0 por lo que
Ejemplo 07: demostrar que el plano P1 : 4x y +2z = 7 es ortogonal al plano P2 : x + 6y +z = 16____________________________________________________________________________________________________________Ing. Edwin Valencia [email protected]
