Medidas Estadísticas de VariaciónDESVIACIÓN ESTÁNDAR, VARIANZA, COEFICIENTE DE VARIANZA

Medidas Estadísticos

Objetivos de

Clase

Calcular la Desviación estándar.

Definir la desviación estándar como

medida de variación.

Calcular la Varianza.

Medidas Estadísticas

Son medidas que se

identifican o calculan usando

los datos de una variable

cuantitativa generalmente.

Su significado permite

describir un conjunto de

datos

Son tan significativos cuanto

más cuidado se tenga al

recoger los datos.

Medidas Estadísticas

Pueden

clasificarse en:

• Medida de Tendencia Central

µ, 𝑥, Me,

• Medidas de Ubicación

Percentiles, Deciles

• Medidas de Variación

𝜎2, 𝑠2, σ

• Medidas de forma

A, K

Medidas de Tendencia central

Medidas que

describen la parte

central de los

datos.

Se encuentran de

tres formasM

edia • Promedio

Aritmético

Media

na

• Dato central

Moda • Dato con

mayor frecuencia

Un caso:

En su empresa se le ha encargado realizar la renovación de

equipos. Debe examinar la propuesta de dos marcas. Para tomar

una decisión más acertada pone a prueba 7 PC’s de cada marca

contabilizando el tiempo de encendido como uno de los

parámetros a considerar para decidir. A continuación se

presentan los resultados obtenidos

Intel 23 33 34 35 30 31 37

Celeron 33 23 35 21 48 33 30

Medidas de Variación

Medidas que

describen la

variación,

fluctuación de los

datos con

respecto de la

media

Se encuentran de

tres formas

Desv

iaci

ón

Est

ándar

• Promedio de la variaciones.

Var

ianza

• El cuadrado de la variación.

Coefici

ente

de V

aria

ción

• Medida relativa de la variación

Las Desviación Estándar

Si en conjunto de datos la µ = 20.

µ=20

𝑥1=21

𝑥2=25

𝑥3=23

Distancia de cada

dato a la media:

Las Desviación Estándar

Si en conjunto de datos la µ = 20.

µ=20

𝑥1=21

𝑥2=25

𝑥3=23

Distancia de cada

dato a la media:

• (𝑥𝑖 − 𝜇)

• (21-20) = 1

• (25-20) = 5

• (23-20) = 3

21 − 20 + 25 − 20 + (23 − 20)

3= 3

Distancia

promedio

Variación

con

respecto a

la media

Las Desviación Estándar

Si en conjunto de datos la µ = 20.

µ=20

𝑥1=21

𝑥2=25

𝑥3=23

Distancia de cada

dato a la media:

• (𝑥𝑖 − 𝜇)

• (21-20) = 1

• (25-20) = 5

• (23-20) = 3

21 − 20 + 25 − 20 + 23 − 20 + 19 − 20 + (17 + 20)

5= 1

¿Distancia promedio?

𝑥4=17

𝑥5=19• (17-20) = -3

• (19-20) = -1

Las Desviación Estándar

Si en conjunto de datos la µ = 20.

µ=20

𝑥1=21

𝑥2=25

𝑥3=23

Distancia de cada

dato a la media:

• (𝑥𝑖 − 𝜇)

• (21-20)2 = 1

• (25-20) 2 = 25

• (23-20) 2 = 9

21 − 20 2 + 25 − 20 2 + 23 − 20 2 + 19 − 20 2 + (17 + 20)2

5= 9

¿Distancia promedio?

𝑥4=17

𝑥5=19• (17-20) 2 = 9

• (19-20) 2 = 1

Las Desviación Estándar

Si en conjunto de datos la µ = 20.

µ=20

𝑥1=21

𝑥2=25

𝑥3=23

Distancia de cada

dato a la media:

• (𝑥𝑖 − 𝜇)

• (21-20)2 = 1

• (25-20) 2 = 25

• (23-20) 2 = 9

21 − 20 2 + 25 − 20 2 + 23 − 20 2 + 19 − 20 2 + (17 + 20)2

5= 3

Distancia promedio

𝑥4=17

𝑥5=19• (17-20) 2 = 9

• (19-20) 2 = 1Variación de los datos

respecto de la media

Desviación Estándar

Las Desviación Estándar

Si en conjunto de datos la µ = 20.

µ=20

𝑥1=21

𝑥2=25

𝑥3=23

Distancia de cada

dato a la media:

• (𝑥𝑖 − 𝜇)

• (21-20)2 = 1

• (25-20) 2 = 25

• (23-20) 2 = 9

21 − 20 2 + 25 − 20 2 + 23 − 20 2 + 19 − 20 2 + (17 + 20)2

5

𝑥4=17

𝑥5=19• (17-20) 2 = 9

• (19-20) 2 = 1

Desviación Estándar Poblacional

σ =1 𝑥𝑖 − 𝜇2

𝑛

Desviación Estándar

En realidad existen cuatro formas de calcular la desviación

estándar:

Datos No Agrupados

Pobla

ción

𝜎 = 𝑥𝑖 − 𝜇

2

𝑛

Muest

ra s= 𝑥𝑖− 𝑥

2

𝑛−1

Datos Agrupados

𝜎 = 𝑥𝑖 − 𝜇

2 ∗ 𝑓𝑖𝑛

s= 𝑥𝑖− 𝑥

2∗𝑓𝑖

𝑛−1

Calcula la desviación estándar de los datos:

Define en cuál de estas muestras la media es más confiable

23; 35; 34; 35; 36; 38

25; 38; 54; 33; 33; 36

Ejemplo 02

Calcula la desviaciones estándar y mencione cual de estas

poblaciones tiene una media más confiable:

A 0.345 0.378 0.346 0.277

B 1.023 1.062 1.001 1.034

C 0.003 0.001 0.012 0.13

µ σ

A 0.3365 0.0368

B 1.03 0.0219

C 0.0365 0.0541

Varianza

Es el cuadrado de la

desviación Estándar

Pobla

cional

• 𝜎2

Muest

ral

• 𝑠2

Desviación estándar en datos agrupados:

Calcule la desviación estándar y la varianza de las siguientes

muestras:

xi fi xi fi

0 10 5 13 5 15 10 15

10 20 15 46 15 25 20 26

20 30 25 24 25 35 30 44

30 40 35 17 35 45 40 15

100 100

Desviación estándar en datos agrupados:

Calcule la desviación estándar de las siguientes muestras:

xi fi

0 10 5 13

10 20 15 46

20 30 25 24

30 40 35 17

100

𝑥 =5(13)+ 15(46)+ 25(24)+ 35(17)

1000

𝑥 = 19.5

𝑠 = 𝑥𝑖 − 𝜇

2 ∗ 𝑓𝑖𝑛 − 1

2 ∗5 - 19.5 13 = 2733.25

2 ∗15 - 19.5 46 = 931.5

2 ∗25 -19.5 24 = 726

2 ∗35 -19.5 17 = 4084.25

Σ=8475

𝑠 =8475

100 − 1

𝑠 = 9.252

Coeficiente de variación

Es una medida relativa de variación y se aplica a las

comparaciones de datos provenientes de poblaciones diferentes

𝐶𝑉 =σ

𝜇𝑥100%

𝐶𝑉 =𝑠

𝑥𝑥100%

Población

Muestra

Ejemplos

Cuál de las siguientes muestras tiene una media más confiable:

Pesos : 45; 50: 72; 56 Kg

Estaturas: 1.67; 1.70: 1.68; 1.73 m.

Ingresos: S/. 1300; 1500; 3600