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Curso: TOPOGRAFÍA
UNIDAD 11.3 POLIGONALES
A
D
B
NAz
(1000,1000,100)
C
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POLIGONALES• Definición• Tipos de Poligonales
• Cálculo y Ajuste de Poligonales Cerradas
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POLIGONALES
Una poligonal es una serie de líneas consecutivas cuyas longitudes y direcciones se
determinan a partir de mediciones en campo.
Las poligonales se usan para establecer puntos de control y puntos de apoyo para el
levantamiento de detalles, replanteo de proyectos y para el control en la ejecución de
obras.
PUNTO DECONTROL
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VERTICES DE LA POLIGONAL
Los vértices de las poligonales se materializan en campo mediante hitos de concreto.
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TIPOS DE POLIGONALES
Las poligonales pueden ser cerradas o abiertas. Sólo las poligonales cerradas permitenobtener un control sobre la precisión obtenida.
Las poligonales abiertas se usan normalmente para propósitos exploratorios.
Poligonal cerrada Poligonal abierta
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POLIGONALES CERRADAS
•Son aquellas que se inician y finalizan en el mismo vértice o en vértices diferentespero de coordenadas conocidas.
• Proporcionan comprobaciones de los ángulos y de las distancias medidas.
• Se emplean en levantamientos de control, levantamientos de detalles o replanteos
de obras.
Poligonal cerrada
A
D
B
NAz
(1000,1000,100)
C
Una poligonal cerrada queda definida por:
• Sus lados
• Sus ángulos interiores
• Las coordenadas de un vértice, que puedenser arbitrarias o verdaderas
• El azimut del lado de partida.
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Solucionar una poligonal consiste en el cálculo de las coordenadas rectangulares de
cada vértice.
CÁLCULO Y AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
Procedimiento:
1. Cálculo y compensación del error de cierre angular.
2. Cálculo de azimutes de los lados de la poligonal.
3. Cálculo de las proyecciones de los lados.
4. Cálculo del error de cierre lineal.
5. Compensación del error lineal.
6. Cálculo de las coordenadas de los vértices.
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AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
1. ERROR DE CIERRE ANGULAR:
Una vez establecidos los vértices de la poligonal se procede a medir sus ángulos
internos y las distancias de cada lado.
Debido a errores instrumentales y operacionales no siempre la suma de los ángulosmedidos coincide con la suma geométrica.
El error angular (e) esta dado por la diferencia entre el valor medido en campo y elvalor teórico.
i : ángulo interno poligonal
n : número de vértices o lados de la poligonal
n
1i
iα 2)(n180ºαe
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1. ERROR DE CIERRE ANGULAR (continuación):Se debe verificar que el error angular sea menor que la tolerancia angular:
naTolerancia a: aproximación del equipo
n : número de vértices o lados
AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
Por ejemplo, si el equipo utilizado en la medición angular tiene una precisión de 20”,
se asume que el error repartido en cada vértice es 20”. Por tanto el error admisible(tolerancia) se considera igual a:
nTolerancia "20
Si e es mayor que la tolerancia se procede a medir nuevamente los ángulos de lapoligonal.
Si e es menor que la tolerancia se procede al ajuste angular ; repartiendo el errorentre todos los ángulos, asumiendo que el error es independiente de la magnitud
del ángulo medido.
n
eC α
α
C : corrección angular
e : error angular
n: número de vértices
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AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
2. CÁLCULO DE AZIMUTES:
Los azimutes de los de lados una poligonal se pueden calcular a partir de un azimut
conocido y de los ángulos medidos.
180
180
ABBC
B ABBC
BC
luego
siendo
:seráBCdeazimutEl
B
AB
N
B
C
A
AB
BC
B
Datos:
Azimut AB = AB
Angulo en B =
Azimut BC = BC = ?
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AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
2. CÁLCULO DE AZIMUTES (continuación):
Generalizando el cálculo de azimut, tenemos la siguiente ecuación aplicable a
poligonales etiquetadas en sentido anti-horario.
ϕi = ϕi−1 + i ± 180º
ϕi = azimut del lado
ϕi-1 = acimut anteriori = ángulo interno en el vértice
Aplicando los siguientes criterios:
Si ( ϕi−1 + i ) < 180º se suma 180º
Si ( ϕi−1 + i ) ≥ 180º se resta 180º
Si ( ϕi−1 + i ) ≥ 540º se resta 540º (los azimuts son menores a 360º)
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3. CÁLCULO DE LAS PROYECCIONES DE LOS LADOS:
Las proyecciones de los lados de la poligonal se calculan en función de los azimuts y
distancias de los lados, aplicando las siguientes ecuaciones:
AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
Cos(Az)DistancProy xN
Sen(Az)DistancProy xE
N
E
A
B
D
C
ProyN AB(+)
ProyNBC(+)
ProyEBC(-)ProyECD(-)
ProyNCD(-)
ProyNDA(-)
ProyEDA(+) ProyE AB(+)
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La suma de proyecciones sobre el eje Este-Oeste debe ser igual a cero. De manera
similar la suma de proyecciones sobre el eje Norte-Sur debe ser igual a cero.
Pero esto no se cumple debido a los errores instrumentales y operacionales en la
medición de distancias.
n
1i
EsteEste Proye
n
1i
NorteNorte Proye
4. CÁLCULO DEL ERROR DE CIERRE LINEAL:
N
E
A
B
D
C
ProyN AB(+)
ProyNBC(+)
ProyEBC(-)ProyECD(-)
ProyNCD(-)
ProyNDA(-)
ProyEDA(+) ProyE AB(+)
AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
Por lo tanto se tendrán
errores en las proyecciones
Este y Norte:
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El error de cierre lineal será:
eee 2
Norte
2
EsteL
Y la precisión lineal de la poligonal estaría dada por:
LePerímetro
1Precisión
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4. CÁLCULO DEL ERROR DE CIERRE LINEAL (continuación):
D
A
A’
eEste
eNorte
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Determinado el error lineal se verifica que éste sea menor a la tolerancia lineal
especificada por las normas, condiciones topográficas y precisión de los equipos.
AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
5. COMPENSACIÓN DEL ERROR DE CIERRE LINEAL:
El método de compensación depende de la precisión lograda por los instrumentos yprocedimientos empleados en la medición.
Algunos de los métodos de compensación utilizados son: el método de la brújula, el
del tránsito, el de Crandall, el de los mínimos cuadrados, etc.
Actualmente los equipos han igualado la precisión obtenida en la medición de
distancias con la precisión obtenida en la medición angular, lo que hace al métodode la brújula el método más adecuado para la compensación del error lineal, no sólopor asumir esta condición sino por la sencillez de los cálculos involucrados.
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Método de la Brújula:
Método propuesto por Nathaniel Bowditch (1800) y es el más utilizado en los trabajos
normales de topografía. El método asume que :
• Los ángulos y distancias se miden con igual precisión.
• El error ocurre en proporción directa a la distancia
• Las proyecciones se corrigen proporcionalmente a la longitud de los lados.
PerímetroLado)e(C
NorteNorte
PerímetroLado)e(C
EsteEste
5. COMPENSACIÓN DEL ERROR DE CIERRE LINEAL (continuación):
AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
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Las coordenadas de los nuevos vértices se determinan sumando a las coordenadas del vértice
anterior las proyecciones corregidas. Es recomendable trabajar de manera tabulada:
Lado Distanc. med correg Az ProyN ProyE CNorte CEste ProyNcorr ProyEcorr X Y
Corr_Poligonal_
UPC.xls
Perim i eNorte eEste
Cos(Az)xDistancProyN
Sen(Az)xDistancProyE
NorteNcorr N CProyProy
EsteEcorr E CProyProy
PerímetroLado
)e(CNorteNorte
PerímetroLado)e(C
EsteEste
AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
6. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DE LOS VÉRTICES:
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/Corr_Poligonal_UPC.xlshttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/Corr_Poligonal_UPC.xlshttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/Corr_Poligonal_UPC.xlshttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/Corr_Poligonal_UPC.xlshttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/Corr_Poligonal_UPC.xls
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AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas - UPC
Curso: Topografía
Ubicación: Fundo Sta. María - Huachipa Fecha: 19/04/2004 Equipo: Wild T1 - aprox 20"
Levantado por: Manuel Sánchez Coordenada de A (X,Y) = X=2000 Y=1000
Calculado por: Revisado: Azimut de AB ( º ' " ) = 144º 29' 48''
Proyecc. Corregidas
Vertice Lado Distancia (m) grad min seg grad min seg Azimut( º ' " ) ProyN ProyE CNORTE CESTE ProyNcorr ProyEcorr X Y Vertice
A AB 380.390 90 43 15 90 43 14 144 º 29 ' 48 '' -309.669 220.912 -0.022 -0.024 -309.691 220.887 2220.887 690.309 B
B BC 326.855 112 34 50 112 34 49 77 º 4 ' 37 '' 73.099 318.576 -0.019 -0.021 73.079 318.555 2539.442 763.388 C
C CD 278.120 64 54 58 64 54 57 321 º 59 ' 34 '' 219.140 -171.255 -0.016 -0.018 219.124 -171.273 2368.169 982.512 D
D DE 252.200 205 3 21 205 3 20 347 º 2 ' 54 '' 245.784 -56.525 -0.015 -0.016 245.769 -56.542 2311.628 1228.281 E
E EA 386.262 66 43 41 66 43 40 233 º 46 ' 34 '' -228.258 -311.603 -0.023 -0.025 -228.281 -311.628 2000.000 1000.000 A
0 0 0 53 º 46 ' 34 '' 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2000.000 1000.000
0 0 0 233 º 46 ' 34 '' 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2000.000 1000.000
1623.827 540 0 5 540 0 0 0.095 0.104 -0.095 -0.104 0.000 0.000 2220.887 690.309 B
Perimetro e N e E
eLineal = 0.141
Numero de Vertices = 5
Error Angular ( " ) = 5 Exceso 1
Error Admisible ( " ) = +/- 45 11500
Correccion Angular ( " ) = -1 Restar a cada angulo
Restar a cada angulo Area = 14.10 Ha
CORRECCION DE POLIGINAL - ESTACIONES EN SENTIDO ANTI HORARIO
Correciones Coordenadas Vertice Angulo Interno ( )
Precisión =
Proyecciones corregido Azimut
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Método de Coordenadas:
AREAS DE POLIGONALES CERRADAS
Conociendo las coordenadas de cada uno de los vértices de la poligonal se puede
calcular su área mediante sumas y restas de figuras conocidas.
N
E
A
B
C
D
E
) x x ( 2
) y y ( ) x x (
2
) y y ( ) x x (
2
) y y ( ) x x (
2
) y y ( ) x x (
2
) y y ( A E D
D E A E
E A C D
D C B C
C B A B
B A
n
1i
1i1ii )x(xy2
1 A
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Método de Coordenadas:
AREAS DE POLIGONALES CERRADAS
También puede usar la fórmula determinante de Gauss:
N
E
A
B
C
D
E
Norte
A YAB YB
C YC
D YD
E YE
A YA
Este
XAXB
XC
XD
XE
XA
2A = - AECBB A
yx......yxyx
AECBB A xy.......xyxy
:
Donde:
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RELLENO DE UNA POLIGONAL
Consiste en obtener las coordenadas de puntos pertenecientes a un terreno oconstrucción.
Dependiendo de las características de la zona de trabajo las poligonales pueden ser
interiores, exteriores o coincidentes con los vértices del terreno en estudio.
A (1000,1000,100)
D
B
NM
Az
CPoligonal exterior
A
B
D
NM
(1000,1000,100)
C
Poligonal coincidente con los vértices del terreno.
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/Poligonal%201.pdfhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/Poligonal%201.pdfhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/Poligonal%201.pdfhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/Poligonal%201.pdfhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_7/Poligonal%201.pdf