Post on 04-Jul-2015
PORIBLEMAS RESUELTOS DE DOS ECUAICIONES CON DOS INCOGNITAS
Problemas resueltos de sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas
1
Juan compró un ordenador y un televisor por 2000 € y los vendió por 2260 €. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganó
el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%?
x precio del ordenador.
y precio del televisor.
precio de venta del ordenador.
precio de venta del televisor.
800 € precio del ordenador.
1200 € precio del televisor.
2
¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?
x base del rectángulo.
y altura del rectángulo.
2x + 2y perímetro.
6 cm base del rectángulo.
2 cm altura del rectángulo.
3 Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
x número de pavos.
y número de cerdos.
32 número de pavos.
26 número de cerdos.
4 Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?
x dinero de Antonio.
y dinero de Pedro.
24 dinero de Antonio.
12 dinero de Pedro.
5 En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?
x número de hombres.
y número de mujeres.
hombres con gafas.
mujeres con gafas.
35 número de hombres.
25 número de mujeres.
6 La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las
unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta
al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número? x cifra de las unidades
y cifra de las decenas
10x + y número
10y + x número invertido
y = 2x (10y + x) − 27 = 10x + y 10 · 2x + x − 27 = 10x + 2x 20x + x − 12x = 27 x = 3 y = 6
Número 63
7 Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado 3500 €. Si en el primero nos
hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado 3170 €. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
x precio del 1º.
y precio del 2º.
descuento en el 1º.
descuento en el 2º.
2500 € precio del 1º.
1000 € precio del 2º.
8 Encuentra un número de dos cifras sabiendo que su cifra de la decena suma
5 con la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un número que es igual al primero menos 27.
x cifra de las unidades
y cifra de las decenas
10x + y número
10y + x número invertido
Nùmero 41
Ejemplo 1
El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros
de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.
SOLUCIÓN: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos.
Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:
La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es
$4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse
fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el
costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33. Ejemplo 2
Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de sus
recíprocos sea 1. SOLUCIÓN: Sea x= el número menor y y= el número mayor. La suma y la diferencia de
sus recíprocos son, respectivamente,
Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incógnitas
1/x y 1/y. Así, sumando las dos ecuaciones tenemos:
de donde y
Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos:
de donde y
Por tanto, los dos números son 1/3 y ½ . Ejemplo 3
Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es 1/2 , y si a los
dos términos se resta 1, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción. SOLUCIÓN: Sea x el numerador y y el denominador. Entonces x/y = la fracción.
Añadiendo 3 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones
del problema el valor de esta fracción es 1/2 ; luego:
Restando 1 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones del
problema el valor de esta fracción es 1/3 ; luego: Reuniendo las dos ecuaciones tenemos el sistema de ecuaciones:
Quitando los denominadores:
Trasponiendo y reduciendo:
Restando: Ejemplo 3 Se tienen $120.00 en 33 billetes de a $5 y de a $2. ¿Cuántos billetes son de $5 y cuántos de $2? SOLUCIÓN: Sea x= el número de billetes de $2 y y= el número de billetes de $5. Según las condiciones: x+y =33. Con x billetes de $2 se tienen $2x y con y billetes de $5 se tienen $5 billetes de $5 se tienen $5y, y como la cantidad es $120, tendremos: 2x + 5y = 120.
Reuniendo las ecuaciones tenemos el sistema: Resolviendo se encuentra x=15, y y=18; luego, hay 15 billetes de $2 y 18 billetes de $5.
Ejercicios resueltos de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss
1
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el coeficiente en x
más bajo.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para eliminar el
término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
E'2 = E2 − 3E1
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación,
para eliminar el término en x. E'3 = E3 − 5E1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer
reducción y eliminar el término en y. E''3 = E'3 − 2E'2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
6º Encontrar las soluciones.
z = 1 − y + 4 ·1 = −2 y = 6 x + 6 −1 = 1 x = −4
2
Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6
kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada
artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg
de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.
leche x
jamón y
aceite z
leche 1 €jamón 16 €aceite 3 €
6 Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada
vértice se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.