PORIBLEMAS RESUELTOS DE DOS ECUAICIONES CON DOS INCOGNITAS

Problemas resueltos de sistemas de dos

ecuaciones con dos incógnitas

1

Juan compró un ordenador y un televisor por 2000 € y los vendió por 2260 €. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganó

el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%?

x precio del ordenador.

y precio del televisor.

precio de venta del ordenador.

precio de venta del televisor.

800 € precio del ordenador.

1200 € precio del televisor.

2

¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?

x base del rectángulo.

y altura del rectángulo.

2x + 2y perímetro.

6 cm base del rectángulo.

2 cm altura del rectángulo.

3 Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

x número de pavos.

y número de cerdos.

32 número de pavos.

26 número de cerdos.

4 Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

x dinero de Antonio.

y dinero de Pedro.

24 dinero de Antonio.

12 dinero de Pedro.

5 En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?

x número de hombres.

y número de mujeres.

hombres con gafas.

mujeres con gafas.

35 número de hombres.

25 número de mujeres.

6 La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las

unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta

al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número? x cifra de las unidades

y cifra de las decenas

10x + y número

10y + x número invertido

y = 2x (10y + x) − 27 = 10x + y 10 · 2x + x − 27 = 10x + 2x 20x + x − 12x = 27 x = 3 y = 6

Número 63

7 Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado 3500 €. Si en el primero nos

hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado 3170 €. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

x precio del 1º.

y precio del 2º.

descuento en el 1º.

descuento en el 2º.

2500 € precio del 1º.

1000 € precio del 2º.

8 Encuentra un número de dos cifras sabiendo que su cifra de la decena suma

5 con la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un número que es igual al primero menos 27.

x cifra de las unidades

y cifra de las decenas

10x + y número

10y + x número invertido

Nùmero 41

Ejemplo 1

El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros

de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.

SOLUCIÓN: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos.

Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:

La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es

$4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse

fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el

costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33. Ejemplo 2

Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de sus

recíprocos sea 1. SOLUCIÓN: Sea x= el número menor y y= el número mayor. La suma y la diferencia de

sus recíprocos son, respectivamente,

Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incógnitas

1/x y 1/y. Así, sumando las dos ecuaciones tenemos:

de donde y

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos:

de donde y

Por tanto, los dos números son 1/3 y ½ . Ejemplo 3

Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es 1/2 , y si a los

dos términos se resta 1, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción. SOLUCIÓN: Sea x el numerador y y el denominador. Entonces x/y = la fracción.

Añadiendo 3 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones

del problema el valor de esta fracción es 1/2 ; luego:

Restando 1 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones del

problema el valor de esta fracción es 1/3 ; luego: Reuniendo las dos ecuaciones tenemos el sistema de ecuaciones:

Quitando los denominadores:

Trasponiendo y reduciendo:

Restando: Ejemplo 3 Se tienen $120.00 en 33 billetes de a $5 y de a $2. ¿Cuántos billetes son de $5 y cuántos de $2? SOLUCIÓN: Sea x= el número de billetes de $2 y y= el número de billetes de $5. Según las condiciones: x+y =33. Con x billetes de $2 se tienen $2x y con y billetes de $5 se tienen $5 billetes de $5 se tienen $5y, y como la cantidad es $120, tendremos: 2x + 5y = 120.

Reuniendo las ecuaciones tenemos el sistema: Resolviendo se encuentra x=15, y y=18; luego, hay 15 billetes de $2 y 18 billetes de $5.

Ejercicios resueltos de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss

1

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el coeficiente en x

más bajo.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para eliminar el

término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación,

para eliminar el término en x. E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer

reducción y eliminar el término en y. E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

z = 1 − y + 4 ·1 = −2 y = 6 x + 6 −1 = 1 x = −4

2

3

4

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6

kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada

artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg

de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

leche x

jamón y

aceite z

leche 1 €jamón 16 €aceite 3 €

6 Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada

vértice se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.