Problemas Propuestos Unidad 4.

17.- Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:

a) al 5% efectivo anual.

VA = 100 n= 10 años i= 5% efectivo anual

VF=VA∗(1+ i)n

VF=100∗(1+0,05 )10

VF=100∗1,628894627

VF=162,8894627

b) al 5% capitalizable mensualmente.

VA = 100 n= 10 años i= 5% capitalizable trimestralmente.

VF=VA∗(1+ i)n

VF=100∗(1+ 0,0512 )

12∗10

VF=100∗1,647009498

VF=164,7009498

c) al 5% capitalizable trimestralmente.

VA = 100 n= 10 años i= 5% capitalizable trimestralmente

VF=VA∗(1+ i)n

VF=100∗(1+ 0,054 )

4∗10

VF=100∗1,643619463

VF=164,3619463

d) al 5% capitalizable semestralmente

VA = 100 n= 10 años i= 5% capitalizable semestralmente.

VF=VA∗(1+ i)n

VF=100∗(1+ 0,052 )

2∗10

VF=100∗1,63861644

VF=163,861644

18.- Hallar el valor futuro a interés compuesto de:

a) $5.000 al 6% capitalizable semestralmente en 20 años.

VA = 5000 n= 20 años i = 6% capitalizable semestralmente

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=5.000∗(1+ 0,062 )

2∗20

VF=5.000∗3,262037792

VF=16.310,18896

b) $4.000 al 7% capitalizable semestralmente en 70 años.

VA = 4.000 n= 70 años i = 7% capitalizable semestralmente

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=4.000∗(1+ 0,072 )

2∗70

VF=4.000∗123,4948853

VF=493.979,5411

c) $9.000 al 7 ½ % capitalizable trimestralmente en 12 años.

VA = 9.000 n = 12 años i = 7 ½ % capitalizable trimestralmente.

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=9.000∗(1+ 0,0754 )

4∗12

VF=9.000∗2,439191196

VF=21.952,72077

d) $8.000 al 6 ½ % capitalizable mensualmente en 30 años.

VA = 8.000 n = 30 años i = 6 ½ % capitalizable mensual

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=8.000∗(1+ 0,06512 )

12∗30

VF=8.000∗6,991797982

VF=55.934,38386

19.- Hallar el VF de $20.000 depositados al 8% capitalizable anualmente

durante 10 años 4 meses en forma: a) Teórica, b) Comercial

VA = 20.000 n = 10 años 4 meses i = 8% capitalizable anualmente

a) Teórica:

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=20.000∗(1+0,08 )(10+ 4

12)

VF=20.000∗2,21502589

VF=44.300,51779

b) Comercial: como tiene periodo de capitalización fraccionario, se calculan

los años por interés compuesto y los meses por interés simple

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=20.000∗(1+0,08 )10

VF=20.000∗2,158924997

VF=43.178,49995

ahora calculamos los meses restantes con la formula de valor futuro en interés

simple.

Valor Futuro en interés simple VF=C (1+ i∗t)

VF=43.178,49995∗(1+ 0,08∗412

)

VF=43.178,4995∗1,026666667

VF=44.329,9 2661

20.- Hallar el VF de $10.000 depositados al 8% capitalizable trimestralmente

durante 32 años 7 meses 22 días.

VA = 10.000 i= 8% capitalizable trimestral n= 32 años 7 meses 22 días, lo

que es equivalente a 130 trimestres y 52 días.

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=10.000∗(1+ 0,084 )

130

VF=10.000∗13,12267367

VF=131.226,7367

ahora el periodo fraccionario por interés simple

VF=C (1+ i∗t)

VF=131.226,7367∗(1+ 0,08∗52360 )

VF=132.743,1345

21.- Una persona deposita $3.000 el 22 de abril de 1995, en una caja de

ahorros que paga el 6% capitalizable semestralmente el 30 de junio y el 31 de

diciembre de cada año. ¿Cuánto podrá retirar el 14 de noviembre del 2002?

VA = 3.000 i = 6% capitalizable semestral

n = del 22 de abril de 1995 al 30 de junio del 1995 = 69 días

del 01 de julio de 1995 al 30 de junio de 2002 = 7 años

del 1 de julio de 2002 al 14 de noviembre de 2002 = 137 días

VF=C (1+ i∗t)

VF=3.000∗(1+ 0,06∗69360 )

VF=3.000∗1,0115

V F=3.034,5

ahora calculamos los periodos completos

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=3.034,5∗(1+ 0,062 )

2∗7

VF=3.034,5∗1,512589725

VF=4.589,95352

ahora calculamos los días restantes por interés simple.

VF=C (1+ i∗t)

VF=4.589,95352∗(1+ 0,06∗137360 )

VF=4.589,95352∗1,022833333

VF=4.694,757459

22.- Un banco pagaba el 5% de interés compuesto, capitalizable

trimestralmente. El 1ª de enero de 1996 modifico la tasa, elevándola al 7%

capitalizable semestralmente. Calcular el monto compuesto que tendrá el 1º de

enero del 2016, un deposito de $10.000 efectuado el 1ª de abril de 1993.

VP = 10.000 i = 7% capitalizable semestralmente

n = 1 de abril de 1993 al 31 de diciembre de 1995 = 11 trimestres.

1 de enero de 1996 al 1 de enero de 2016 = 20 años.

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=10.000∗(1+ 0,054 )

11

VF=10.000∗1,146424215

VF=11.464,24215

Ahora calculamos con la nueva tasa de interés de 7% capitalizable

semestralmente

VF=11.464,24215∗(1+ 0,072 )

40

VF=11.464,24215∗3,959259721

VF=45.389,91218

23.- Un padre muere el 20 de marzo de 1996, y deja a su hija $100.000 para

que les sean entregados al cumplir 18 años. La herencia se deposita en una

cuenta que gana el 6% capitalizable anualmente. El 22 de septiembre del año

en que murió el padre, la hija cumplió 10 años; calcular la cantidad que recibirá

en la edad fijada ( interés real).

VA = 100.000 i = 6% capitalizable anualmente

n = 20 de marzo de 1996 al 31 de diciembre de 1996 = 286 días

1 de enero de 1997 al 31 de diciembre de 2003 = 7 años

1 de enero de 2004 al 22 de septiembre del 2004 = 265 días.

VF=C (1+ i∗t)

VF=100.000∗(1+ 0,06∗286365 )

VF=100.000∗1,047013699

VF=104.701,3699

Ahora calculamos los periodos completos por interés compuesto

VF=VA∗(1+ i)n

VF=104.701,3699∗(1+0,06 )7

VF=104.701,3699∗1,503630259

VF=157.432,1479

Ahora calculamos los días restantes por interés simple

VF=C (1+ i∗t)

VF=157.432,1479∗(1+ 0,06∗265365 )

VF=157.423,1479∗1,043561644

VF=164.290,1511

24.- Hallar el valor futuro de un capital de $100 depositados durante 10 años 5

meses, a la tasa efectiva anual del 6,32%

VA = 100 i = 6,32% n = 10 años 5 meses.

VF=VA∗(1+ i)n

VF=100∗(1+0,0632 )10

VF=100∗1,845651412

VF=184,5651412

Ahora los meses restantes por interés simple

VF=C (1+ i∗t)

VF=184,5651412∗(1+ 0,06∗512 )

VF=184,5651412∗1,025

VF=189,1792698

25.- ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8% capitalizable

trimestralmente?

j = 8% capitalizable trimestralmente

1+i=(1+ jm)

m

1+i=(1+0,084 )

4

1+i=1,024

1+i=1,08243216

i=0,08243216

La tasa del 8% capitalizable trimestralmente es igual a una tasa del 8,24312%

efectiva anual.

Ahora se transforma la efectiva anual a una tasa semestral

1+i=(1+ jm)

m

1+0,08243216=(1+ j2 )

2

Elevamos a raíz cuadrada para eliminar el exponente

√1,08243216=1+ j2

1,0404=1+ j2

1,0404−1= j2

2∗0,0404= j

0,0808= j

la tasa del 8% capitalizable trimestral es equivalente a una tasa de 8,08%

capitalizable semestral

26.- Calcular la tasa de interés simple equivalente al 7% capitalizable

semestralmente durante 12 años.

1+i=(1+ jm)

m

1+12∗i=(1+ 0,072 )

12∗2

1+12∗i=2,283328487

12∗i=1,283328487

i=1,28332848712

i=0,10694404

La tasa del 7 % capitalizable semestralmente es igual a la tasa del

10,694404% de interés simple.

27.- Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual $10.000 se

convierten en $12.500 en 5 años

VF = 12.500 VA = 10.000 n= 5 años i = X convertible semestralmente

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

12.500=10.000∗(1+ x2 )

10

12.50010.000

=(1+ x2 )

10

elevamos a raíz decima para eliminar el exponente

10√(12.50010.000 )=1+ x

2

10√1,25=1+ x2

1,022565183 = 1 + x2

1,022565183−1= x2

2∗0,022565183=x

0,045130365=x

la tasa nominal convertible semestralmente es de 4,5130365%

28.- Se estima que un bosque maderable avaluado en $750.000 aumentara su

valor cada año en 8,5% durante los próximos 6 años. ¿Cuál será su valor al final

del plazo calculado?

VA= 750.000 i= 8,5% n= 6 Años

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=750.000∗(1+0,085 )6

VF=750.000∗1,631467509

VF=1.223 .600,632

29.- ¿Cuántos años deberá dejarse un deposito de $6.000 en una cuenta de

ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?

VA = 6.000 i = 8% semestral VF = 10.000

n= logVF−logVPlog(1+i)

n= log10.000−log 6.000

log (1+0,08

2)

n=0,2218487490,017033339

n=13.02438383

el valor de “n” es semestral, por lo tanto lo dividimos por 2 para sacar el valor

en años, lo que da un resultado de 6,512191917 años

30.- Calcular el monto de $4.000 depositados durante 12 años 5 meses al 6,4%

con acumulación semestral.

VP = 4.000 i = 6,4 acumulación semestral n= 12 años 5 meses

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=4.000¿ (1+ 0,0642

)2∗(12+ 5

12)

VF=4.000∗2,186313733

VF=8.745,254939

31.- ¿Qué es mas conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza

duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de

ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?

n = 10 años

Supuesto:

VF= 2 VP=1

Sociedad Maderera

i=n√(VPVP )−1

i=10√ 21−1

i=0,071773462

la tasa de interés de la sociedad maderera equivale a 7,1773462% anual

ahora calculamos la tasa efectiva anual de la cuenta de ahorros

1+i=(1+ jm)

m

1+i=(1+0,064 )

4

1+i=1,061363551

i=0,061363551

la tasa de interés de la cuenta de ahorro es del 6,1363551% anual.

La tasa obtenida en la sociedad maderera es del 7,1773462% anual, por lo

cual es mas conveniente invertir en la sociedad maderera.

32.- Una población aumento de 475.000 habitantes a 1.235.000 en 25 años.

¿Cuál fue el tipo anual aproximado de crecimiento?

VP = 475.000 VP = 1.235.000 n = 25 años

i=n√(VPVP )−1

i=25√( 1.235.000475.000 )−1

i=25√2,6−1

i=0,038960254

la población creció a una tasa de 3,8960254% anual

33.- Un inversionista ofreció comprar un pagare de $120.000 sin intereses que

vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual;

calcular el precio ofrecido.

VF = 120.000 n = 3 años i = 8% anual

VP= VF

(1+i )n

VP= 120.000

(1+0,08 )3

VP= 120.0001,259712

VP=95.259,86892

34.- Un pagare de $18.000 a intereses simples del 6% con vencimiento a 5

años, es comprado por un inversionista 3 años antes de su vencimiento por la

cifra de $20.300. Hallar la tasa efectiva de rendimiento que produce la

inversión.

VP= VF1+i∗n

18.000=20.3001+i∗2

18.000∗(1+i∗2 )=20.300

18.000+36.000∗i=20.300

36.000∗i=20.300−18.000

i= 2.30036.000

i=0,0638

la tasa efectiva es de 6,38%

35.- Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa continua

del 5% de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%,

convertible mensualmente.

VP = 20.000 n = 10 años i = 5%

Interés Continuo

VF=VA∗ei∗n

VF=20.000∗e0,05∗10

VF=20.000∗1,648721271

VF=32.974,2541

Interés convertible mensualmente

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=20.000∗(1+ 0,0512 )

120

VF=20.000∗1,647009498

VF=32.940,18997

Problemas Propuestos Capitulo 5

13.- Hallar el valor actual de:

a)$10.000 pagaderos dentro de 10 años al 5% con acumulación anual

VF = 10.000 n= 10 años i= 5% acumulación anual

VP= VF

(1+i )n

VP= 10000

(1+0,05 )10

VP= 10.0001,628894627

VP=6.139,132535

b)$5.000 pagaderos dentro de 6 años al 6% capitalizable trimestralmente

VF = 5.000 n= 6 años i= 6% capitalizable trimestralmente

VP= VF

(1+i )n

VP= 5.000

(1+ 0,064 )

6∗4

VP= 5.0001,429502812

VP=3.497,719598

c)$8.000 pagaderos dentro de 7 ½ años al 8% capitalizable semestralmente.

VF = 8.000 n = 7 ½ años i = 8% capitalizable semestral

VP= VF

(1+i )n

VP= 8.000

(1+ 0,082 )

2∗7,5

VP= 8.0001,800943506

VP=4.442,116022

d)$4.000 pagaderos dentro de 5 años al 7,4% con capitalización anual.

VF = 4.000 n = 5 años i = 7,4% capitalizable anualmente

VP= VF

(1+i )n

VP= 4.000

(1+0,074 )5

VP= 4.0001,428964392

VP=2.799,230004

14-.- Hallar el valor actual de $6.000 pagaderos dentro de 5 años 4 meses al 6%

capitalizable trimestralmente:

VF = 6.000 i = 6% capitalizable trimestralmente n= 5 años 4 meses

n = 21 trimestres 1 mes

a) según la regla comercial.

VP= VF

(1+i )n

VP= 6.000

(1+ 0,064 )

21

VP= 6.0001,367057832

VP=4.388,987694

Ahora el valor que tenemos, según regla comercial, lo calculamos por el mes

restante con la formula de interés simple.

VP= VF1+i∗n

VP=4.388,987694

1+0,06∗1

12

VP=4.388,9876941,005

VP=4.367,151934

b) Efectuando el calculo teórico.

VP= VF

(1+i )n

VP= 6.000

(1+ 0,064 )4∗(5+ 4

12)

VP= 6.0001,373859226

VP=4.367,259676

15.- Hallar el valor actual de $96.000 pagaderos dentro de 20 años al 8% con

capitalización mensual.

VF = 96.000 n = 20 años i = 8% capitalización mensual

VP= VF

(1+i )n

VP= 96.000

(1+ 0,0812 )

12∗20

VP= 96.0004,926802775

VP=19.485,2533

16.- Hallar la cantidad que es necesario depositar en una cuenta que paga el

8% capitalización trimestral, para disponer de $20.000 al cabo de 10 años

VF = 20.000 n = 10 años i = 8% capitalización trimestral

VP= VF

(1+i )n

VP= 20.000

(1+ 0,084 )

4∗10

VP= 20.0002,208039664

VP=9.057,808304

17.- ¿Qué oferta es mas conveniente para la venta de una propiedad, si la tasa

de interés es del 10%, con capitalización semestral?

a) $ 60.000 al contado

b) $ 30.000 al contado y $ 35.000a 3 años plazo.

i = 10 % capitalización semestral

para comparar ambas opciones traemos a valor presente los $35.000 a 3 años

plazo le sumamos los 30.000 y los comparamos con la primera oferta.

VP= VF

(1+i )n

VP= 35.000

(1+ 0,102 )

2∗3

VP= 35.0001,340095641

VP=26.117,53888

26.117,53888 + 30.000 = $56.117,53888

La oferta A de $60.000 es mayor a la oferta B de $56.117,53888

Por lo tanto, la oferta mas conveniente en la oferta A

18.-Una persona vende una propiedad avaluada en $120.000 y por ella ofrecen

$70.000 al contado. ¿ por cuanto debe aceptar un pagare por el saldo a 2 años

de plazo, si el tipo de interés es del 9%, capitalización trimestral?

VP =120.000 i = 9% capitalización trimestral n = 2 años

Pago al contado = 70.000

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=50.000∗(1+ 0,094 )

8

VF=50.000∗1,194831142

VF=59.741,55709

19.- Una persona posee un pagare de $60.000 a 5 años de plazo a un interés del

8%, con acumulación semestral. Tres años antes de su vencimiento lo ofrece en

venta a un prestamista que invierte al 10%, con capitalización trimestral. ¿qué

suma le ofrece el prestamista?

VP = 60.000 i = 8% acumulación semestral n = 5 años

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=60.000∗(1+ 0,082 )

2∗5

VF=60.000∗1,480244285

VF=88.814 .61571

ahora el valor futuro obtenido lo traemos a 3 años antes de su vencimiento a

una tasa de interés del 10% con capitalización trimestral

VP= VF

(1+i )n

VP=88.814,61571

(1+ 0,104 )

4∗3

VP=88.814,65711.34488824

VP=66.038,66097

20.- Un comerciante compra $100.000 en mercancías y paga $20.000 al

contado, $40.000 en un pagare a 3 meses y $40.000 a 6 meses. Hallar el valor

de contado de la mercancía, si la tasa de interés local es del 9%, con

capitalización mensual.

0 3 6

20.000 40.000 40.000

VP= VF

(1+ I )n

VP=20.000+ 40.000

(1+ 0,0912 )

12∗3+ 40.000

(1+ 0,0912 )

12∗6

VP=20.000+ 40.0001,308645371

+ 40.0001,712552707

VP=20.000+30.565,95842+23.356,94536

VP=73.922,90378

21.- Una persona debe pegar $50.000 dentro de 2 años; el acreedor acepta un

pago al contado de $20.000 y un nuevo pagare a 3 años. Hallar el valor del

nuevo pagare a la tasa del 8%, con acumulación semestral.

VP = 50.000 i = 8% acumulación semestral n = 2 años

VP = 20.000 n = 3 años

Fecha focal = año 3

los $20.000, como son al contado, los llevamos a la fecha focal ( año 3)

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=20.000∗(1+ 0,082 )

2∗3

VF=20.000∗1,265319018

VF=25.306,38037

ahora los $50.000 los llevamos a la fecha focal (año 3)

VF=50.000∗(1+ 0,082 )

2

VF=50.000∗1,0816

VF=54.080

ahora descontando los $20.000 al contado a valor futuro a los $50.000 a valor

futuro, nos da el valor del nuevo pagare

valor nuevo pagare = 54.080 – 25.306,38037 = 28.773,61963

22.- Un acreedor de una sociedad en liquidación acepta que se le pague al

contado el 75% del valor de dos pagares a cargo de la sociedad; uno de

$50.000 esta vencido desde hace 18 meses y el otro por $60.000 vence dentro

de 15 meses, si el rendimiento convenido es del 10% con acumulación

trimestral, hallar la suma que recibe el acreedor.

VF=V A∗(1+ im )

n∗m

VP= VF

(1+i )n

50.000∗(1+ 0,14 )

6

+ 60.000

(1+ 0,14 )

5

50.000∗1,159693418+ 60.0001,131408213

57.984,67091+53.031,25726

VP=111.015,9282

el acreedor acepta recibir el 75% del valor de los pagares y este valor es

111.015,9282∗75 %

83.261,9413

23.- Un pagare de $8.000 pagaderos dentro de 2 años y otro de $10.000

pagaderos dentro de 5 años van a liquidarse en un pago único dentro de 3 ½

años. Hallar el valor del pago único a la tasa del 9%, convertible

semestralmente.

VP = 8000 n = 2 años

VP = 10.000 n = 5 años

Fecha focal = año 5 i = 9% convertible semestralmente

0 1 2 3 4 5 años

8.000 10.000

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VP= VF

(1+i )n

al lado izquierdo calculamos el valor futuro de los pagos y al lado derecho

calculamos el valor al año 3 ½ del nuevo pagare

10.000+8.000 (1+ 0,092 )

2∗3

=X∗(1+ 0,092 )

3

10.000+8.000∗1.302260125=X∗1,1411166125

10.000+10.418,0811,1411166125

=X

20.418 .0811,1411166125

=X

17.893 .07139=X

La X representa el valor del pagare que se pagare al 3 ½ año.

24.- Una persona debe $20.000 pagaderos dentro de 3 años y $40.000

pagaderos dentro de 5 años. Hallar el valor de dos pagos iguales, a 2 y 4 años,

que sustituyen las deudas con el tipo de interés del 6% con capitalización

semestral.

VP = 20.000 n = 3 años

VP = 40.000 n = 5 años

i = 6% capitalización semestral Fecha Focal = año 5

Fecha nuevo pagares = año 2 y años 4

0 1 2 3 4 5 años

x 20.000 x 40.000

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VP= VF

(1+i )n

40.000+20.000∗(1+ 0,062 )

2∗2

=X∗(1+ 0,062 )

2∗3

+X∗(1+ 0,062 )

2

40.000+20.000∗1,12550881=X∗1,194055297+X∗1,0609

62.510,1762=2,255852297∗X

62.510 .17622,254952297

=X

x=27.721,28541

la X representa el valor de los nuevos pagares.

25.- Una persona vende un terreno y recibe dos pagares de $60.000 a 2 y 4

años de plazo. Hallar el valor de contado, si el rendimiento es del 8% con

capitalización semestral.

VF = 60.000 i = 8% capitalización semestral

n = 2 y 4 años

0 1 2 3 4 5 años

60.000 60.000

VP= VF

(1+i )n

VP= 60.000

(1+ 0,082 )

2∗2+ 60.000

(1+ 0,082 )

2∗4

VP= 60.0001,16985856

+ 60.0001,36856905

VP=51.288,25146+43.841,41231

VP=95.129,66377

26.- Una persona debe $100.000 y propone efectuar tres pagos anuales iguales

sucesivos. Si el tipo de interés es del 7% capitalizable anual, hallar el valor de

estos pagares.

VF = 100.000 i = 7% capitalizable anual

n = 1, 2 y 3 años

0 1 2 3 4 5 años

x x x

VP= VF

(1+i )n

x1+0,07

+ x

(1+0,07 )2+ x

(1+0,07 )3=100.000

x1,07

+ x1,1449

+ x1,225943

=100.000

x=38105

27.- Hallar el tiempo equivalente para el pago de las siguientes deudas:

$10.000 a 4 años, $8.000 a 3 años y $6.000 a 2 años. Tasa efectiva del 8%

VF = 10.000 n = 4 años

VF = 8.000 n = 3 años

VF = 6.000 n = 2 años

i = 8%

0 1 2 3 4 5 años

6.000 8.000 10.000

VP= VF

(1+i )n

24.000

(1+0,08 ) x= 6.000

(1+0,08 )2+ 8.000

(1+0,08 )3+ 10.000

(1+0,08 )4

24.000∗(1,08 )− x=5.144,032922+6.350,657928+7.350,298528

24.000∗(1,08 )− x=18.844,98938

1,08−x=18.844,9893824.000

1,08−x=0,7852078907

aplicamos logaritmo natural (ln) para eliminar el exponente

−x ln 1,08=ln0,7852078907

−x= ln 0,7852078907ln 1,08

−x=−3,141937332

multiplicamos por -1 para dejar todo positivo

x=3,141937332

el tiempo obtenido es de 3,141937332 años

28.- Una deuda de $5.000 a 2 años, y otra de $8.000 a 4 años, se liquidan con un

pago único de $12.800 a 3 años. Analizar el problema.

0 1 2 3 4 5 años

5.000 12.800 8.000

VF=VA∗(1+ i)n

VP= VF

(1+ I )n

5.000∗(1+ x )+ 8.0001+x

=12.800

29.- ¿a que tasa efectiva, un pago único de $20.000 hoy sustituye dos pagares

de $11.000 cada uno, con vencimiento a 1 y 2 años respectivamente?

0 1 2 3 4 5 años

11.000 11.000

VP= VF

(1+i )n

20.000=11.0001+x

+ 11.000

(1+x )2

20.000=11.000∗(1+x )+11.000

(1+x )2

20.000∗(1+x )2=11.000∗(1+x )+11.000

20.000∗(1+x )2−11.000∗1+x¿−11.000=0

ahora dividimos por 1.000 para trabajar con números mas pequeños

20∗(1+x )2−11 (1+x )−11=0

ahora (1+i) lo reemplazamos por X para trabajar más fácil con el

x=(1+i)

20∗x2−11∗x−11=0

ahora utilizamos la formula de ecuación cuadrática, la cual es:

x=−b±√(b2−4∗a∗c)

2∗a

x=11±√¿¿¿

x=11±√1.00140

x1=1,065964601x 2=−0,515964601

ahora que tenemos el valor de x, lo reemplazamos en x = (1+i)

1,065964601=1+i

1,065964601−1=i

0,065964601=i

la tasa efectiva de los pagares es del 6,5964601%

30.- Una persona debe $20.000 a 3 años de plazo al 10% acumulable

semestralmente y $30.000 sin intereses, a 2 años de plazo. Propone la

siguiente operación comercial a la tasa efectiva del 9%: pagar $10.000 al

contado, $25.000 a 2 años de plazo y el saldo a 3 años. Hallar el monto del

ultimo pago.

Fecha focal : año 3

0 1 2 3 4 5 años

10.000 25.000 30.000

VF=VA∗(1+ im )

n∗m

VF=20.000∗(1+ 0,012 )

6

VF=20.000∗1,340095641

VF=26.801,91281

ahora llevamos los 30.000 a la fecha focal

VF=30.000∗(1+0.9 )

VF=30.000∗1,09

VF=32.700

ahora los montos a repactar, que son los 10.000 y los 25.000 los llevamos a la

fecha focal para saber su valor

VF=10.000∗(1+0,09 )3

VF=10.000∗1,295029

VF=12.950 .29

VF=25.000∗(1+0,09 )

VF=25.000∗1,09

VF=27.250

ahora que tenemos todos los montos en valor futuro, procedemos a comparar y

descontar.

26.801,91281+32.700=59.501,91281

a los 59.501,91281 les descontamos los 10.000 en valor futuro y los 25.000 en

valor futuro, y el resultado es el valor del 3 pago.

59.501,91281−12.950,29−27250=19.301,62281

el monto del ultimo pago es de 19.301,62281