Post on 30-Jun-2015
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POLÍGONOS
TRIÁNGULOS
Características Generales
Rectas y puntos notablesCircunferencias vinculadas
C
BA
b
a
c
ha hb
H
hc
IES Camp de Túria. Departamento de Dibujo. DIBUJO TÉCNICO I. 1º Bachillerato
POLÍGONO:
Polígono es la porción del plano limitada por rectas que se cortan dos a dos.
Elementos de un polígono: LADOS: Son los segmentos que lo limitan (a, b, c, d). VÉRTICES: Son los extremos de los lados (A, B, C, D).
ÁNGULOS: Son los que forman cada dos lados
consecutivos ( a, b, g, e )CONTORNO: Es la línea quebrada que forman sus lados.PERÍMETRO: Es la suma de sus lados (a + b + c + d).DIAGONAL: Es el segmento que une dos vértices no consecutivos.
Ÿ
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Ÿ
Ÿ
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
P. EQUILÁTEROS P. EQUIÁNGULOS P. REGULARES
POLÍGONOS I. Característica Generales. Triángulos 1
POLÍGONO
A
C
D
a
a
a
g
bb b
g ge
a a
a = b = g = e a = b = g = ea = b = c = d
e
e
g
b
b
cd
B
lanogaid
Según el número de lados, los polígonos se llaman:
Si seguimos aumentando el número de lados conseguiremos el UNDECÁGONO (11 lados), DODECÁGONO ( 12 lados) POLÍGONO DE TRECE LADOS, POLÍGONO DE 14 LADOS, PENTADECÁGONO...
Los que tienen todossus lados iguales
Los que tienen todossus ángulos iguales
Son equiláteros y equiángulosa la vez. Todos los que no
son regulares son IRREGULARES
TRIÁNGULOTres lados
HEPTÁGONOSiete lados
CUADRILÁTEROCuatro lados
OCTÓGONOOcho lados
PENTÁGONOCinco lados
ENEÁGONONueve lados
HEXÁGONOCinco lados
DECÁGONODiez lados
ac
dd
a
b
c a c
bb
a = b = c = d
IES Camp de Túria. Departamento de Dibujo. DIBUJO TÉCNICO I. 1º Bachillerato
POLÍGONOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS
POLÍGONO INSCRITO Y POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA
POLÍGONOS CONVEXOS
POLÍGONOS CÓNCAVOS
POLÍGONO CONVEXO es el que se encuentra
por entero en el semiplano que define una recta que pasa por uno cualquiera
de sus lados.
POLÍGONO CÓNCAVOEs cóncavo si no se encuentra
por completo en elsemiplano que define
una recta que pasa por cualquiera de sus lados.
El polígono cóncavo puede ser cortado en más de
dos puntos por una recta.
El polígono convexo sólo puede ser cortado en
dos puntos por una recta coplanaria con él.
semiplano semiplano
semiplano semiplano
sem
ipla
no
sem
ipla
no
sem
ipla
no
sem
ipla
no
P
P
P
Q
Q
S
S
R
R
P
Q Q
POLÍGONO INSCRITO en una circunferencia es aquel
que tiene sus vérticesapoyados en la circunferencia.
A su vez, la circunferencia es circunscrita al triángulo.
POLÍGONO CIRCUNSCRITO a una circunferencia es aquel
cuyos lados sontangentes a la circunferencia.
A su vez, la circunferencia está inscrita en el triángulo.
IA CC IRN CE UR NE SF CN RU IC T A R I C
CIRCUNFERENCIA INSCRITA
POLÍGONOS I. Característica Generales. Triángulos 2
A + B + C = 180º
A B + CB A + CC A + B
TRIÁNGULOS
Los triángulos son figuras planas formadas por tres puntos no alineados y por tres segmentos que los unen dos a dos (los tres
puntos son los vértices y los tres segmentos los lados.
Los VÉRTICES se designan con letras mayúsculas. El orden de los vértices es el contrario de
las agujas del reloj
Los ÁNGULOS se designan con letras mayúsculas oletras
griegas ( a, b, g )
Los LADOS se designan por las letras de sus extremos o por una letra minúscula igual a la del vértice opuesto
( lado AB o c)
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS
PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO
1. La suma de los ángulos interiores vale 180º
2. Cada lado tiene que ser menor que la sumade los otros dos y mayor que su diferencia.
3. A mayor lado se opone mayor ángulo
La consecuencia de que la suma de ángulos de 180º es la siguiente:
El perímetro de un triángulo es la suma de todos sus lados. Se expresa por 2p.
2p = a + b + c
A
A
ag
a
b
b
c
c
C
C
B
B
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b
g
a
A
a
c
b
2p
C´ C´´B
C
Un triángulo sólo puede tener un ángulo recto u obtuso yentonces los otros dos han de ser agudos.
a a
a
ab b
bg g
g
POLÍGONOS I. Característica Generales. Triángulos 3
TRIÁNGULOS
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES. CIRCUNFERENCIAS VINCULADAS
BISECTRICES. INCENTRO
BISECTRICES EXTERIORES. EXINCENTROS
A
A
EB
EC
EA
I
I
B
B
C
C
ba
ab
c
bb
bc
Los tres ángulos interiores (A, B y C) tienen sus bisectrices
correspondientes (ba , bb, bc ) que se cortan en un punto I
llamado incentro, que equidista de los tres lados a, b y c, siendo centro
de una circunferencia tangente a ellos: la circunferencia inscrita al triángulo.
La bisectriz como magnitud es el segmento
de bisectriz comprendido entre el vértice y el lado opuesto.
Las bisectrices de los ángulos adyacentes a los interiores, se
cortan entre sí y con las bisectrices antes descritas en tres puntos:Ea ,Eb ,Ec que equidistan de
las tres rectas;a estos puntos se les denomina exincentros y son centros de
tres circunferencias exinscritasal triángulo.
Evidentemente se verifica que:• Cada bisectriz exterior es
perpendicular a su respectiva interior.
• Cada exincentro pertenece a la bisectriz interior del ángulo que los comprende y también alas exteriores de las otras dos.
IES Camp de Túria. Departamento de Dibujo. DIBUJO TÉCNICO I. 1º Bachillerato
BASE DE UN TRIÁNGULO ÁNGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO
Base de un triánguloEs un lado cualquiera.
A menudo se llama base al lado horizontal sobre el
cual parece que descansa el triángulo.
ÁNGULO EXTERIOREs el formado por un lado y la prolongación de otro.
Es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes,por tanto mayor que cualquiera de ellos.
abase
POLÍGONOS I. Característica Generales. Triángulos 4
TRIÁNGULOS
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES. CIRCUNFERENCIAS VINCULADAS
ALTURAS Y ORTOCENTRO
MEDIATRICES Y CIRCUNCENTRO
A
A
P
R
Q
Mc
Mb
Ma
Ma
Md
Md
C
I
B
B
C
BA
b
a
c
ha hb
H
hc
D
D
mb
ma
md
Las tres mediatrices ma, mb y mc se cortan
en el punto C, llamado circuncentro, que equidista de los vértices y, por tanto, es centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices
A, B y C: es la denominada
circunferencia circunscrita al triángulo.
• Dado que el triángulo que tienen por vérticeslos pies Ma , Mb ,Md de las mediatrices tienesus lados respectivamente palalelos a los del
ABD (paralelas medias), resulta que el circuncentro
de este último es ortocentro del primero.
• La circunferencia circunscrita contiene a losrespectivos arcos capaces de los ángulos interiores
del triángulo.
Ÿ Las mediatrices de los lados de todo triángulocortan a la circunferencia circunscrita en los
puntos medios, P,Q,R, de los respectivos arcosque completan los capaces de sus ángulos
interiores. Por tanto, dichospuntos pertenecen a las bisectrices interiores
del triángulo; esto es, la mediatriz de un lado yla bisectriz de su ángulo opuesto se cortan en
un punto de la circunferencia circunscrita. Además, las bisectrices exteriores (no dibujadas)
pasan por los diametralmente opuestosa P,Q, R.
• Los pies (Ma , Mb , Md) de las perpendicularestrazadas desde el circuncentro a cada uno de los lados del triángulo, son a su vez puntos extremos
o de intersección de las medianas deltriángulo con los lados de éste .
C
Se denominan alturas a las distancias perpendiculares de cada vértice al lado opuesto. Se designan por h con el subíndice correspondiente
a su vértice, ha, hb , hc . Sus pies se designan por Ha ,Hb ,Hc .
Las tres alturas se cortan en un punto H llamado
ortocentro .Se denomina triángulo órtico o pedal al quetiene por vértices los pies Ha ,Hb ,Hc de las alturas
del triángulo considerado. Dichas alturasson bisectrices de su triángulo órtico y, por tanto,
el ortocentro de un triángulo acutángulo es elincentro de su triángulo órtico.
IES Camp de Túria. Departamento de Dibujo. DIBUJO TÉCNICO I. 1º Bachillerato
POLÍGONOS I. Característica Generales. Triángulos 5
TRIÁNGULOS
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES. CIRCUNFERENCIAS VINCULADAS
MEDIANAS Y BARICENTRO
A
Mb Ma
Mc
B
B
C
ma
2/31/3
mb
mC
Llamamos medianas a los segmentos ma, mb, mc
que unen cada uno de los vértices del triángulocon el punto medio de su lado opuesto.
Se cortan en un punto B llamado baricentro ocentro de gravedad del triángulo.
• En las medianas de cualquier triángulo el baricentroestá a 1/3 del punto medio del lado y a 2 /3
del vértice opuesto. La recta que une los puntosmedios de dos lados es la paralela
media al tercer lado y mide la mitad de éste.• El triángulo definido por los puntos medios
Ma, Mb ,Mc de los lados de un triángulo dado, es semejante a dicho triángulo (TRIÁNGULO
COMPLEMENTARIO) y corta a sus medianasen su punto medio. Es decir, las paralelas a
los lados de un triángulo por su vértice opuestoforman un triángulo semejante al primero, cuyoslados miden el doble y sus medianas también.
IES Camp de Túria. Departamento de Dibujo. DIBUJO TÉCNICO I. 1º Bachillerato
Ejercicio de construcción de un triángulo rectángulo
Construcción de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura sobre la hipotenusa mide 3 cm, y la proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa mide 2 cm. Una vez dibujado, determina su baricentro,
circuncentro e incentro, indicando cual es cada uno de ellos
1. Sobre una recta r, dibujamos el segmento MC = 2 cm (proyección del cateto sobre la hipotenusa), y en el punto
M trazamos una perpendicular a r que mida 3 cm ( altura sobre la hipotenusa). Así obtenemos el vértice A
3. El punto N es el BARICENTRO, se obtiene en la intersección de las medianas del triángulo.
El ORTOCENTRO es donde se cortan las alturas, que en este caso coincide con el punto A (la altura de b coincide con el lado c y la hc coincide con el lado b)
4. El CIRCUNCENTRO P se obtiene donde se cortan las mediatrices. (En este caso coincide con el lado BC).
Y por último, el INCENTRO O donde se cortan las bisectrices.
2. Por A trazamos una perpendicular a AC que corta a r en el vértice B. Uniendo ABC tenemos el triángulo que
se pide.
r
r r
Mc Mb
Ma
r
M M
A
A A
A
B
B
N
hb=c
hc=b
a
ha
B P
O
B
20 mm
30
mm
20 mm
C
C C
C
POLÍGONOS I. Característica Generales. Triángulos 6