Pendulo de Foucault

El Péndulo de Foucault Presentado por:

Leonel Máximo Pauro VelásquezDénilson Manuel Lobo Llacza

1. OBJETIVOS: Demostrar que la tierra esta girando sobre

sí misma.

Utilizar el método de RK de 4to orden para resolver las ecuaciones diferenciales del movimiento del péndulo Foucault.

2. Reseña Histórica En 1851 Jean León Foucault colgó un péndulo de

67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris. Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre, el hilo de arena que caía del cubo mientras oscilaba el péndulo señalaba la trayectoria. Demostró experimentalmente que el plano de oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora.

El experimento de Foucault es una prueba efectiva de la rotación de la Tierra. Aunque la Tierra estuviera cubierta de nubes, este experimento hubiese demostrado que tiene un movimiento de rotación.

3. FUNDAMENTO TEÓRICO

La fuerza de Coriolis es la responsable de la rotación del plano del péndulo de Foucault, la circulación del aire alrededor de los centros de baja o alta presión, la desviación de la trayectoria de proyectiles de largo alcance, la rotación del agua cuando sale por el desagüe de la bañera, etc.

3.1 PARA RECORDAR La fórmula general que La fórmula general que

relaciona la aceleración relaciona la aceleración aparenteaparente (medida en el (medida en el sistema no inercial) con la sistema no inercial) con la aceleración verdadera aceleración verdadera (medida en el sistema (medida en el sistema inercial F) es la siguiente:inercial F) es la siguiente:

…… …….….....(I).….....(I)

rwwdtrd

wrdtwd

Cuando los orígenes de los sistemas XYZ y xyz no coinciden En este caso,

introducimos:

Entonces:

)...()(22

IIrwwdtrd

wrdtwd

3.2 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CON RELACION A UN OBSERVADOR EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA

Tenemos:

Por la SLN y la ec. (I):

)...())(2( 2

IIIrwwvwdtrd

3.3 El Péndulo de Foucault Suponemos que el origen

O es la posición de equilibrio de la perilla B. El punto de suspensión es A y la longitud de la cuerda AB es l. Para la tensión:

Fuerza neta sobre B:T+mg

kTjTiT

kkTjjTiiTT

ˆˆˆ

ˆcosˆcosˆcos

ˆ)ˆ.(ˆ)ˆ.(ˆ)ˆ.(

3.2.1 ECUACIONES A UTILIZAR De (III), cambiando la fuerza

de gravedad por la fuerza neta, llegamos a la siguiente ecuación de movimiento:

Despreciamos el ultimo termino ya que w=0.00007292 Rad./s y hacemos g=-gk, nuestras componentes serán:

Pero podemos simplificar estas ecuaciones suponiendo que el movimiento se realiza en el plano XY, entonces: z=0.

)()(22

rwwmvwmgmTdt

senymwmglzlTzm

senzxmwlyTym

ymwlxTxm

)cos(2)/(

cos2)/(

xwlgyy

ywlgxx

senymwmgT

lsenywy

lsenywx

USANDO EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

Realizamos los siguientes cambios de variable:

Para luego obtener:

xwlgxx

PROGRAMA PROGRAMA UTILIZADOUTILIZADO

Para poder determinar los puntos en la trayectoria del péndulo se hemos implementado en el MATLAB el metodo de Runge Kutta de cuarto orden mediante el programa ROTACIÓN.

Su sintaxis es :

function Rotacion

%Simulacion del Péndulo de Foulcault

clc;clear all;

fprintf('\nSIMULACIÓN DEL PENDULO DE FOUCAULD \n\n\n')

fprintf('Mediante el péndulo de Foucauld se puede demostrar que\n')

fprintf('la tierra esta girando. Para realizar la simulación,\n')

fprintf('ingrese los parámetros que se piden:\n\n')

%Ingreso de parametros experimentales

N=input('Nùmero de puntos dato :\nN=');

L=input('Longitud del pendulo(en metros):\nL=');

w=input('Frecuencia angular de la tierra(~10^( 5)rad/segundo):\nw=');

landa=input('Ángulo de colatitud (en grados sexagesimales):\nlanda=');

landa=landa*(pi/180);

h=input('Intervalo de tiempo(<10):\nh=');

g=input('Valor de gravadad en la región (m/s):\ng=');

teta0=input('Amplitud angular inicial(theta0~=0 ,grados sexagesimales):\ntheta0=');

teta=teta0*(pi/180);A=L*sin(teta);

ec1='x3'; %da la poscicion x

ec2='x4'; %da la poscicion y

ec3='-g*x1/L+2*w*x4*cos(landa)'; %da la velocidad en x

ec4='-g*x2/L-2*w*x3*cos(landa)'; %da la velocidad en y

s=str2mat(ec1,ec2,ec3,ec4);

fprintf('\n\tPunto\t\ttiempo\t\t\tX(i) \t\t\tY(i)\t\t\tVx(i)\t\t\tVy(i) \n')

y=zeros(N,4);

t(1)=0;

%Condiciones iniciales

y(1,:)=[0,A,0,0];

for i=1:N+1 for j=1:4 nombre_f=s(j,:); x1=y(i,1); x2=y(i,2); x3=y(i,3); x4=y(i,4); k1(j)=h*(eval(nombre_f)); end for j=1:4 nombre_f=s(j,:); x1=y(i,1)+k1(1)/2; x2=y(i,2)+k1(2)/2; x3=y(i,3)+k1(3)/2; x4=y(i,4)+k1(4)/2; k2(j)=h*(eval(nombre_f)); end

for j=1:4 nombre_f=s(j,:); x1=y(i,1)+k2(1)/2; x2=y(i,2)+k2(2)/2; x3=y(i,3)+k2(3)/2; x4=y(i,4)+k2(4)/2; k3(j)=h*(eval(nombre_f)); end for j=1:4 nombre_f=s(j,:); x1=y(i,1)+k3(1); x2=y(i,2)+k3(2); x3=y(i,3)+k3(3); x4=y(i,4)+k3(4); k4(j)=h*(eval(nombre_f)); end for j=1:4 y(i+1,j)=y(i,j)+(k1(j)+2*k2(j)+2*k3(j)+k4(j))/6; end t(i+1)=i*h;

%Graficando los puntos calculadosclf;fprintf('Desea ver graficas: X,Y,Vx,Vy vs. tiempo')swich1=input(' (si):','s'); if swich1=='si' subplot(2,2,1),grid on ;hold on;plot(t,y(:,1));xlabel('tiempo (s)');ylabel('poscición X (m)'); title('Grafica 1 : X vs.t','color','b') subplot(2,2,2),grid on ;hold on;plot(t,y(:,2));xlabel('tiempo (s)');ylabel('poscición Y (m)'); title('Grafica 2 : Y vs.t','color','r') subplot(2,2,3),grid on ;hold on;plot(t,y(:,3)),xlabel('tiempo (s)');ylabel('Velocidad en X (m/s)'); title('Grafica 3 : Vx vs.t','color','m') subplot(2,2,4),grid on ;hold on;plot(t,y(:,4)),xlabel('tiempo (s)');ylabel('Velocidad en Y (m/s)'); title('Grafica 4 : Vy vs.t','color','g') end swich2=input('Desea ver trayectoria X vs. Y(si):','s');if swich2=='si' clf;grid on;hold on; plot(y(:,1),y(:,2),'b') xlabel('Poscición X (m)');ylabel('Poscición Y (m)'); title('SIMULACIÓN DEL PENDULO DE FOUCAULD','color','b')end

swich3=input('Desea ver Grafica Vx vs. Vy(si):','s');if swich3=='si' clf;grid on;hold on; plot(y(:,3),y(:,4),'r') xlabel('Velocidad en x (m/s)');ylabel('Velocidad en y (m/s)'); title('SIMULACIÓN DEL PENDULO DE FOUCAULD','color','m')endswich4=input('Desea ver trayectoria 3D ; X vs. Y vs. tiempo(si):','s');if swich4=='si' clf;grid on;hold on;

plot3(y(:,1),y(:,2),t,'b') xlabel('Poscición X (m)');ylabel('Poscición Y (m)');zlabel('tiempo (segundos)') title('TRAYECTORIA DEL PÉNDULO EN EL TIEMPO','color','c')End

%guardando los datos en un archivo savefile = 'PENDULO DE FOUCAULD';datos=[t',y]; save(savefile,'datos','-ASCII')

DIVERSAS PRUEBAS DEL PROGRAMA

ROTACIÓN

Condiciones iniciales

Debido a que una prueba de Péndulo de Foulcauld (P.F.) depende de la colatitud y la gravedad g del lugar donde se lleva a cabo; Si variamos g y , podemos ensayar la simulación del P.F. en distintas ubicaciones geográficas .

Además el éxito del experimento dependera fundamentalmentefundamentalmente de los valores de , y L .

PRUEBA 1Probemos el P.F. con las condiciones de originales

la primera vez que se uso en Francia en 1851:

0.00007292 /

9.8094 /

rad seg

PRUEBA 1

0 50 100 150-0.1

tiempo

poscic

ión X

Grafica 1 : X vs.t

0 50 100 150-0.1

tiempo

poscic

ión Y

Grafica 2 : Y vs.t

0 50 100 150-0.1

tiempo

Grafica 3 : Vx vs.t

0 50 100 150-0.1

tiempo

Grafica 4 : Vy vs.t

Prueba 1

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015-2.5

Velocidad en x

SIMULACIÓN DEL PENDULO DE FOUCAULD

Prueba 1

x 10-3

-1-0.5

Poscición X (m)

TRAYECTORIA DEL PÉNDULO EN EL TIEMPO

Poscición Y (m)

(segundos)

OBSERVACIÓN 1:

La comparación de las coordenadas en X con Y nos indican que el plano oscilador del pendulo rota muy lentamente .

Para evitar veamos que pasa si hacemos : 1 /rad seg

PRUEBA 2Siguiendo la indicación anterior, ahora sea:

También hemos alargado el pendulo.

9.8094 /

rad se

Prueba 2

0 50 100 150-1

tiempo

poscic

ión X

Grafica 1 : X vs.t

0 50 100 150-1

tiempo

poscic

ión Y

Grafica 2 : Y vs.t

0 50 100 150-0.4

tiempo

Grafica 3 : Vx vs.t

0 50 100 150-0.4

tiempo

Grafica 4 : Vy vs.t

Prueba 2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

Poscición X

Poscic

ión Y

Prueba 2

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3-0.3

Velocidad en x

Prueba 2

-1-0.8

-0.6-0.4

0.20.4

0.60.8

Poscición X

TAYECTORIA DEL PENDULO EN EL TIEMPO

Poscición Y

PRUEBA 3

Entonces veamos que ocurre si usamos un P.F. mas corto:

9.8094 /

rad seg

Prueba 3

0 50 100 150-0.1

tiempo

poscic

ión X

Grafica 1 : X vs.t

0 50 100 150-0.1

tiempo

poscic

ión Y

Grafica 2 : Y vs.t

0 50 100 150-0.1

tiempo

Grafica 3 : Vx vs.t

0 50 100 150-0.1

tiempo

Grafica 4 : Vy vs.t

Prueba 3

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.1

Poscición X

Prueba 3

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.1

Velocidad en x

Prueba 3

-0.1-0.08

-0.06-0.04-0.02

0.040.060.08

Poscición X

TAYECTORIA DEL PENDULO EN EL TIEMPO

Poscición Y

Ahora veamos como funciona el P.F.

Pruebas del P.F. Alrrededor del mundo

P.F. En el polo norte

Para este caso :

0.05 /

9.8321

rad seg

0 50 100 150-4

tiempo (s)

poscic

ión X

Grafica 1 : X vs.t

0 50 100 150-1

tiempo (s)

poscic

ión Y

Grafica 2 : Y vs.t

0 50 100 150-2

tiempo (s)

Grafica 3 : Vx vs.t

0 50 100 150-0.4

tiempo (s)

Grafica 4 : Vy vs.t

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

Poscición X (m)

Poscic

ión Y

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.4

Velocidad en x (m/s)

P.F. En el Ecuador

-3 -2 -1 0 1 2 3

x 10-16

Poscición X (m)

Poscic

ión Y

P.F. En el Ecuador

x 10-16

Poscición X (m)

Poscición Y (m)

(segundos)

OBSERVACIÓN 2:

Aquí ocurre lo mismo que en la primera prueba .

Etonces :

Vemos que la latitud reduce el efecto de la aceleración de Coriolis.

El P.F. En Lima-Perú

En donde nos encontramos :

9.7822 /

rad seg

-3 -2 -1 0 1 2 3

x 10-16

Poscición X (m)

Poscic

ión Y

-1-0.5 0

0.5 1 -1

Poscición Y (m)

Poscición X (m)

(segundos)

OBSERVACIÓN 2:De las 2 ultimas graficas vemos el efecto Corilis en el Hemisferio Sur es opuesto al que existe en el Hemisferio Norte

Por lo tanto un cuerpo con velcidad V en Hemisferio Norte (Sur) , siempre se desviara

hacia la derecha (izquierda) de su trayectoria.

CONCLUSIONES

1.- Para realizar una correcta simulación del P.F. :

i) debe ser grande para maximizar el efecto Coriolis.

ii)A su vez este efecto es maximo en los polos y practicamente nulo en el Ecuador.

iii)Siempre el valor de debe ser muy pequeño (1° según las pruebas).

2.-Las graficas experimentales nos indican claramente que un cuerpo en la tierra siempre sufrira una desviación de su trayectoria original.

3.- Este experimento es una clara evidencia de la gran utilidad de los MÉTODOS

NÚMERICOS a los problemas reales de la FÍSICA.

4.- En particular se comprobado la eficiencia del MRK 4.

BIBLIOGRAFIA ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. FISICA

Volumen I: Mecánica. México: ADDISON-WESLEY; 1986. PP 128/130.

SPIEGEL, Murray. MECÁNICA TEÓRICA. México: ED. MC GRAW-HILL;1978. PP 152/155.

GRACIAS!!

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