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ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
Ortogonalidad y ortonormalidad
Jana Rodriguez HertzGAL2
IMERL
2 de setiembre de 2010
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definiciones
vectores ortogonales
definición (vectores ortogonales)V e.v. con producto interno 〈, 〉
v ,w ∈ V son ortogonales si
〈v ,w〉 = 0
Notación:v⊥w
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definiciones
vectores ortogonales
definición (vectores ortogonales)V e.v. con producto interno 〈, 〉v ,w ∈ V son ortogonales si
〈v ,w〉 = 0
Notación:v⊥w
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definiciones
vectores ortogonales
definición (vectores ortogonales)V e.v. con producto interno 〈, 〉v ,w ∈ V son ortogonales si
〈v ,w〉 = 0
Notación:v⊥w
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definiciones
vectores ortogonales
definición (vectores ortogonales)V e.v. con producto interno 〈, 〉v ,w ∈ V son ortogonales si
〈v ,w〉 = 0
Notación:v⊥w
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definiciones
conjunto ortogonal
definicón (conjunto ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉
A ⊂ V conjunto ortogonal si
v ,w ∈ A,
v 6= w ⇒ v⊥w
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definiciones
conjunto ortogonal
definicón (conjunto ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉A ⊂ V conjunto ortogonal si
v ,w ∈ A,
v 6= w ⇒ v⊥w
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definiciones
conjunto ortogonal
definicón (conjunto ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉A ⊂ V conjunto ortogonal si
v ,w ∈ A,
v 6= w ⇒ v⊥w
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definiciones
conjunto ortogonal
definicón (conjunto ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉A ⊂ V conjunto ortogonal si
v ,w ∈ A, v 6= w
⇒ v⊥w
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definiciones
conjunto ortogonal
definicón (conjunto ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉A ⊂ V conjunto ortogonal si
v ,w ∈ A, v 6= w ⇒ v⊥w
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
observaciones
observación 1
el vector ~0~0⊥v ∀v ∈ V
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
observaciones
observación 2
v 6 ⊥v
v⊥v
⇒ v = ~0
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
observaciones
observación 2
v 6 ⊥v
v⊥v ⇒ v = ~0
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definición
conjunto ortonormal
definición (conjunto ortonormal)V e.v. con producto interno 〈, 〉
A ⊂ V conjunto ortonormal si:
1 A conjunto ortogonal2 ‖v‖ = 1 para todo v ∈ A
Obs: ‖.‖ norma inducida por 〈, 〉
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definición
conjunto ortonormal
definición (conjunto ortonormal)V e.v. con producto interno 〈, 〉A ⊂ V conjunto ortonormal si:
1 A conjunto ortogonal
2 ‖v‖ = 1 para todo v ∈ A
Obs: ‖.‖ norma inducida por 〈, 〉
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definición
conjunto ortonormal
definición (conjunto ortonormal)V e.v. con producto interno 〈, 〉A ⊂ V conjunto ortonormal si:
1 A conjunto ortogonal2 ‖v‖ = 1 para todo v ∈ A
Obs: ‖.‖ norma inducida por 〈, 〉
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definición
conjunto ortonormal
definición (conjunto ortonormal)V e.v. con producto interno 〈, 〉A ⊂ V conjunto ortonormal si:
1 A conjunto ortogonal2 ‖v‖ = 1 para todo v ∈ A
Obs: ‖.‖ norma inducida por 〈, 〉
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definición
observación
normalizaciónA conjunto ortogonal
~0 /∈ A⇒ el conjunto {
v‖v‖
: v ∈ A}
es ortonormal
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definición
observación
normalizaciónA conjunto ortogonal~0 /∈ A
⇒ el conjunto {v‖v‖
: v ∈ A}
es ortonormal
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definición
observación
normalizaciónA conjunto ortogonal~0 /∈ A⇒ el conjunto {
v‖v‖
: v ∈ A}
es ortonormal
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definición
observación
normalizaciónA conjunto ortogonal~0 /∈ A⇒ el conjunto {
v‖v‖
: v ∈ A}
es ortonormal
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definición
ejemplo
base canónica de Rn
V = Rn con producto interno usual
la base canónica {e1, . . . ,en} es un conjunto ortonormaldonde
ei = (0,0, . . . ,1, . . . 0,0)↑i
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definición
ejemplo
base canónica de Rn
V = Rn con producto interno usualla base canónica {e1, . . . ,en} es un conjunto ortonormal
dondeei = (0,0, . . . ,1, . . . 0,0)
↑i
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
definición
ejemplo
base canónica de Rn
V = Rn con producto interno usualla base canónica {e1, . . . ,en} es un conjunto ortonormaldonde
ei = (0,0, . . . , 1, . . . 0,0)↑i
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
teorema
teoremaV espacio vectorial con producto interno 〈, 〉
{v1, . . . , vk} conjunto ortogonal
vi 6= ~0 para todo i⇒ {v1, . . . , vk} es l.i.
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
teorema
teoremaV espacio vectorial con producto interno 〈, 〉{v1, . . . , vk} conjunto ortogonal
vi 6= ~0 para todo i⇒ {v1, . . . , vk} es l.i.
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
teorema
teoremaV espacio vectorial con producto interno 〈, 〉{v1, . . . , vk} conjunto ortogonal
vi 6= ~0 para todo i
⇒ {v1, . . . , vk} es l.i.
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
teorema
teoremaV espacio vectorial con producto interno 〈, 〉{v1, . . . , vk} conjunto ortogonal
vi 6= ~0 para todo i⇒ {v1, . . . , vk} es l.i.
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
demostración
sean a1, . . . ,ak ∈ K tales que a1v1 + · · ·+ akvk = ~0
⇒ para cada j = 1, . . . , k :
~0 = 〈a1v1, vj〉+ · · ·+ 〈akvk , vj〉= a1〈v1, vj〉+ · · ·+ ak 〈vk , vj〉= aj〈vj , vj〉 (〈vi , vj〉 = δij)
= aj‖vj‖2 = ~0
⇒ aj = 0 para todo j = 1, . . . , k⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
demostración
sean a1, . . . ,ak ∈ K tales que a1v1 + · · ·+ akvk = ~0⇒ para cada j = 1, . . . , k :
~0 = 〈a1v1, vj〉+ · · ·+ 〈akvk , vj〉= a1〈v1, vj〉+ · · ·+ ak 〈vk , vj〉= aj〈vj , vj〉 (〈vi , vj〉 = δij)
= aj‖vj‖2 = ~0
⇒ aj = 0 para todo j = 1, . . . , k⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
demostración
sean a1, . . . ,ak ∈ K tales que a1v1 + · · ·+ akvk = ~0⇒ para cada j = 1, . . . , k :
~0 = 〈a1v1, vj〉+ · · ·+ 〈akvk , vj〉
= a1〈v1, vj〉+ · · ·+ ak 〈vk , vj〉= aj〈vj , vj〉 (〈vi , vj〉 = δij)
= aj‖vj‖2 = ~0
⇒ aj = 0 para todo j = 1, . . . , k⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
demostración
sean a1, . . . ,ak ∈ K tales que a1v1 + · · ·+ akvk = ~0⇒ para cada j = 1, . . . , k :
~0 = 〈a1v1, vj〉+ · · ·+ 〈akvk , vj〉= a1〈v1, vj〉+ · · ·+ ak 〈vk , vj〉
= aj〈vj , vj〉 (〈vi , vj〉 = δij)
= aj‖vj‖2 = ~0
⇒ aj = 0 para todo j = 1, . . . , k⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
demostración
sean a1, . . . ,ak ∈ K tales que a1v1 + · · ·+ akvk = ~0⇒ para cada j = 1, . . . , k :
~0 = 〈a1v1, vj〉+ · · ·+ 〈akvk , vj〉= a1〈v1, vj〉+ · · ·+ ak 〈vk , vj〉= aj〈vj , vj〉 (〈vi , vj〉 = δij)
= aj‖vj‖2 = ~0
⇒ aj = 0 para todo j = 1, . . . , k⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
demostración
sean a1, . . . ,ak ∈ K tales que a1v1 + · · ·+ akvk = ~0⇒ para cada j = 1, . . . , k :
~0 = 〈a1v1, vj〉+ · · ·+ 〈akvk , vj〉= a1〈v1, vj〉+ · · ·+ ak 〈vk , vj〉= aj〈vj , vj〉 (〈vi , vj〉 = δij)
= aj‖vj‖2 = ~0
⇒ aj = 0 para todo j = 1, . . . , k⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
demostración
sean a1, . . . ,ak ∈ K tales que a1v1 + · · ·+ akvk = ~0⇒ para cada j = 1, . . . , k :
~0 = 〈a1v1, vj〉+ · · ·+ 〈akvk , vj〉= a1〈v1, vj〉+ · · ·+ ak 〈vk , vj〉= aj〈vj , vj〉 (〈vi , vj〉 = δij)
= aj‖vj‖2 = ~0
⇒ aj = 0 para todo j = 1, . . . , k
⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
demostración
sean a1, . . . ,ak ∈ K tales que a1v1 + · · ·+ akvk = ~0⇒ para cada j = 1, . . . , k :
~0 = 〈a1v1, vj〉+ · · ·+ 〈akvk , vj〉= a1〈v1, vj〉+ · · ·+ ak 〈vk , vj〉= aj〈vj , vj〉 (〈vi , vj〉 = δij)
= aj‖vj‖2 = ~0
⇒ aj = 0 para todo j = 1, . . . , k⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
demostración
sean a1, . . . ,ak ∈ K tales que a1v1 + · · ·+ akvk = ~0⇒ para cada j = 1, . . . , k :
~0 = 〈a1v1, vj〉+ · · ·+ 〈akvk , vj〉= a1〈v1, vj〉+ · · ·+ ak 〈vk , vj〉= aj〈vj , vj〉 (〈vi , vj〉 = δij)
= aj‖vj‖2 = ~0
⇒ aj = 0 para todo j = 1, . . . , k⇒ {v1, . . . , vk} l.i.
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
teorema (Pitágoras)
teorema (Pitágoras)V e.v. con producto interno
{v1, . . . , vk} conjunto ortogonal⇒
‖v1 + · · ·+ vk‖2 = ‖v1‖2 + · · ·+ ‖vk‖2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
teorema (Pitágoras)
teorema (Pitágoras)V e.v. con producto interno{v1, . . . , vk} conjunto ortogonal
⇒‖v1 + · · ·+ vk‖2 = ‖v1‖2 + · · ·+ ‖vk‖2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
teorema (Pitágoras)
teorema (Pitágoras)V e.v. con producto interno{v1, . . . , vk} conjunto ortogonal⇒
‖v1 + · · ·+ vk‖2 = ‖v1‖2 + · · ·+ ‖vk‖2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
demostración
∥∥∥∥∥k∑
i=1
vi
∥∥∥∥∥ =
⟨k∑
i=1
vi ,
k∑j=1
vj
⟩
=k∑
i=1
k∑j=1
〈vi , vj〉
=k∑
i=1
〈vi , vi〉 (〈vi , vj〉 = δij)
=k∑
i=1
‖vi‖2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
demostración
∥∥∥∥∥k∑
i=1
vi
∥∥∥∥∥ =
⟨k∑
i=1
vi ,
k∑j=1
vj
⟩
=k∑
i=1
k∑j=1
〈vi , vj〉
=k∑
i=1
〈vi , vi〉 (〈vi , vj〉 = δij)
=k∑
i=1
‖vi‖2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
demostración
∥∥∥∥∥k∑
i=1
vi
∥∥∥∥∥ =
⟨k∑
i=1
vi ,
k∑j=1
vj
⟩
=k∑
i=1
k∑j=1
〈vi , vj〉
=k∑
i=1
〈vi , vi〉 (〈vi , vj〉 = δij)
=k∑
i=1
‖vi‖2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
teoremas
demostración
∥∥∥∥∥k∑
i=1
vi
∥∥∥∥∥ =
⟨k∑
i=1
vi ,
k∑j=1
vj
⟩
=k∑
i=1
k∑j=1
〈vi , vj〉
=k∑
i=1
〈vi , vi〉 (〈vi , vj〉 = δij)
=k∑
i=1
‖vi‖2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
método Gram-Schmidt
teorema (método Gram-Schmidt)V e.v. con producto interno
{v1, . . . , vn} base de V⇒ existe B = {w1, . . . ,wn} base de V tal que
1 B conjunto ortonormal2 [v1, . . . , vk ] = [w1, . . . ,wk ] para todo k = 1, . . . ,n
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
método Gram-Schmidt
teorema (método Gram-Schmidt)V e.v. con producto interno{v1, . . . , vn} base de V
⇒ existe B = {w1, . . . ,wn} base de V tal que
1 B conjunto ortonormal2 [v1, . . . , vk ] = [w1, . . . ,wk ] para todo k = 1, . . . ,n
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
método Gram-Schmidt
teorema (método Gram-Schmidt)V e.v. con producto interno{v1, . . . , vn} base de V⇒ existe B = {w1, . . . ,wn} base de V tal que
1 B conjunto ortonormal2 [v1, . . . , vk ] = [w1, . . . ,wk ] para todo k = 1, . . . ,n
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
método Gram-Schmidt
teorema (método Gram-Schmidt)V e.v. con producto interno{v1, . . . , vn} base de V⇒ existe B = {w1, . . . ,wn} base de V tal que
1 B conjunto ortonormal
2 [v1, . . . , vk ] = [w1, . . . ,wk ] para todo k = 1, . . . ,n
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
método Gram-Schmidt
teorema (método Gram-Schmidt)V e.v. con producto interno{v1, . . . , vn} base de V⇒ existe B = {w1, . . . ,wn} base de V tal que
1 B conjunto ortonormal2 [v1, . . . , vk ] = [w1, . . . ,wk ] para todo k = 1, . . . ,n
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖
√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:
u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 =
〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0
w2 := u2‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal,
[v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:
u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:
u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 =
〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0
w2 := u2‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal,
[v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:
u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1
⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 =
〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0
w2 := u2‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal,
[v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:
u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :
〈u2,w1〉 =
〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0
w2 := u2‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal,
[v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:
u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 =
〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal,
[v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:
u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉
= 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal,
[v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:
u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉
= 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal,
[v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:
u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0
w2 := u2‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal,
[v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:
u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal,
[v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:
u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal, [v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:
u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal, [v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:
u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal, [v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1
w3 := u3‖u3‖
{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal, [v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖
{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal, [v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal, [v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:
uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal, [v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1
wk := uk‖uk‖
{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal, [v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖
{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal, [v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
demostración
Se procede inductivamente:1 w1 := v1
‖v1‖√
2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2
‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal, [v1, v2] = [w1,w2]
3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3
‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]
4 se procede inductivamente tomando:uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk
‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
corolarios
corolariosV e.v. de dimensión finita con producto interno
tiene una base ortonormaltodo subespacio vectorial tiene una base ortonormal
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
corolarios
corolariosV e.v. de dimensión finita con producto interno
tiene una base ortonormal
todo subespacio vectorial tiene una base ortonormal
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
método gram-schmidt
corolarios
corolariosV e.v. de dimensión finita con producto interno
tiene una base ortonormaltodo subespacio vectorial tiene una base ortonormal
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
En R3, encontrar una base ortonormal para el subespacio:
S =[(√
3,2,3), (0,2,4)]
w1 = (√
3,2,3)
‖(√
3,2,3)‖
= (√
34 ,
12 ,
34)
u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1
= (0,2,4)− 4w1 =(−√
3,0,1)
w2 = u2‖u2‖
= (−√
32 ,0,
12)
⇒ B =
{(√3
4,12,34
),
(−√
32,0,
12
)}base ortonormal de S
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
En R3, encontrar una base ortonormal para el subespacio:
S =[(√
3,2,3), (0,2,4)]
w1 = (√
3,2,3)
‖(√
3,2,3)‖
= (√
34 ,
12 ,
34)
u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1
= (0,2,4)− 4w1 =(−√
3,0,1)
w2 = u2‖u2‖
= (−√
32 ,0,
12)
⇒ B =
{(√3
4,12,34
),
(−√
32,0,
12
)}base ortonormal de S
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
En R3, encontrar una base ortonormal para el subespacio:
S =[(√
3,2,3), (0,2,4)]
w1 = (√
3,2,3)
‖(√
3,2,3)‖
= (√
34 ,
12 ,
34)
u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1
= (0,2,4)− 4w1 =(−√
3,0,1)
w2 = u2‖u2‖
= (−√
32 ,0,
12)
⇒ B =
{(√3
4,12,34
),
(−√
32,0,
12
)}base ortonormal de S
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
En R3, encontrar una base ortonormal para el subespacio:
S =[(√
3,2,3), (0,2,4)]
w1 = (√
3,2,3)
‖(√
3,2,3)‖ = (√
34 ,
12 ,
34)
u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1
= (0,2,4)− 4w1 =(−√
3,0,1)
w2 = u2‖u2‖
= (−√
32 ,0,
12)
⇒ B =
{(√3
4,12,34
),
(−√
32,0,
12
)}base ortonormal de S
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
En R3, encontrar una base ortonormal para el subespacio:
S =[(√
3,2,3), (0,2,4)]
w1 = (√
3,2,3)
‖(√
3,2,3)‖ = (√
34 ,
12 ,
34)
u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1
= (0,2,4)− 4w1 =(−√
3,0,1)
w2 = u2‖u2‖
= (−√
32 ,0,
12)
⇒ B =
{(√3
4,12,34
),
(−√
32,0,
12
)}base ortonormal de S
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
En R3, encontrar una base ortonormal para el subespacio:
S =[(√
3,2,3), (0,2,4)]
w1 = (√
3,2,3)
‖(√
3,2,3)‖ = (√
34 ,
12 ,
34)
u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1 = (0,2,4)− 4w1
=(−√
3,0,1)
w2 = u2‖u2‖
= (−√
32 ,0,
12)
⇒ B =
{(√3
4,12,34
),
(−√
32,0,
12
)}base ortonormal de S
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
En R3, encontrar una base ortonormal para el subespacio:
S =[(√
3,2,3), (0,2,4)]
w1 = (√
3,2,3)
‖(√
3,2,3)‖ = (√
34 ,
12 ,
34)
u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1 = (0,2,4)− 4w1 =(−√
3,0,1)
w2 = u2‖u2‖
= (−√
32 ,0,
12)
⇒ B =
{(√3
4,12,34
),
(−√
32,0,
12
)}base ortonormal de S
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
En R3, encontrar una base ortonormal para el subespacio:
S =[(√
3,2,3), (0,2,4)]
w1 = (√
3,2,3)
‖(√
3,2,3)‖ = (√
34 ,
12 ,
34)
u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1 = (0,2,4)− 4w1 =(−√
3,0,1)
w2 = u2‖u2‖
= (−√
32 ,0,
12)
⇒ B =
{(√3
4,12,34
),
(−√
32,0,
12
)}base ortonormal de S
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
En R3, encontrar una base ortonormal para el subespacio:
S =[(√
3,2,3), (0,2,4)]
w1 = (√
3,2,3)
‖(√
3,2,3)‖ = (√
34 ,
12 ,
34)
u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1 = (0,2,4)− 4w1 =(−√
3,0,1)
w2 = u2‖u2‖ = (−
√3
2 ,0,12)
⇒ B =
{(√3
4,12,34
),
(−√
32,0,
12
)}base ortonormal de S
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
En R3, encontrar una base ortonormal para el subespacio:
S =[(√
3,2,3), (0,2,4)]
w1 = (√
3,2,3)
‖(√
3,2,3)‖ = (√
34 ,
12 ,
34)
u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1 = (0,2,4)− 4w1 =(−√
3,0,1)
w2 = u2‖u2‖ = (−
√3
2 ,0,12)
⇒ B =
{(√3
4,12,34
),
(−√
32,0,
12
)}base ortonormal de S
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 2
En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt , encontrar baseortonormal de
S =[1, t ,et]
w1 = 1 (tiene norma 1)
u2 = t − 〈t ,1〉1
= t −∫ 1
0 t dt = t − 12
w2 = u2‖u2‖
= 12√
3(t − 1
2)
u3 = et − 112〈e
t , t − 12〉(t −
12)− 〈et ,1〉
=
et − 124(3− e)(t − 1
2)− (e − 1)
w3 = u3‖u3‖ ,
con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1
48(3− e)2 − (e − 1)2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 2
En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt , encontrar baseortonormal de
S =[1, t ,et]
w1 = 1 (tiene norma 1)
u2 = t − 〈t ,1〉1
= t −∫ 1
0 t dt = t − 12
w2 = u2‖u2‖
= 12√
3(t − 1
2)
u3 = et − 112〈e
t , t − 12〉(t −
12)− 〈et ,1〉
=
et − 124(3− e)(t − 1
2)− (e − 1)
w3 = u3‖u3‖ ,
con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1
48(3− e)2 − (e − 1)2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 2
En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt , encontrar baseortonormal de
S =[1, t ,et]
w1 = 1 (tiene norma 1)
u2 = t − 〈t ,1〉1
= t −∫ 1
0 t dt = t − 12
w2 = u2‖u2‖
= 12√
3(t − 1
2)
u3 = et − 112〈e
t , t − 12〉(t −
12)− 〈et ,1〉
=
et − 124(3− e)(t − 1
2)− (e − 1)
w3 = u3‖u3‖ ,
con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1
48(3− e)2 − (e − 1)2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 2
En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt , encontrar baseortonormal de
S =[1, t ,et]
w1 = 1 (tiene norma 1)
u2 = t − 〈t ,1〉1
= t −∫ 1
0 t dt = t − 12
w2 = u2‖u2‖
= 12√
3(t − 1
2)
u3 = et − 112〈e
t , t − 12〉(t −
12)− 〈et ,1〉
=
et − 124(3− e)(t − 1
2)− (e − 1)
w3 = u3‖u3‖ ,
con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1
48(3− e)2 − (e − 1)2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 2
En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt , encontrar baseortonormal de
S =[1, t ,et]
w1 = 1 (tiene norma 1)
u2 = t − 〈t ,1〉1 = t −∫ 1
0 t dt
= t − 12
w2 = u2‖u2‖
= 12√
3(t − 1
2)
u3 = et − 112〈e
t , t − 12〉(t −
12)− 〈et ,1〉
=
et − 124(3− e)(t − 1
2)− (e − 1)
w3 = u3‖u3‖ ,
con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1
48(3− e)2 − (e − 1)2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 2
En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt , encontrar baseortonormal de
S =[1, t ,et]
w1 = 1 (tiene norma 1)
u2 = t − 〈t ,1〉1 = t −∫ 1
0 t dt = t − 12
w2 = u2‖u2‖
= 12√
3(t − 1
2)
u3 = et − 112〈e
t , t − 12〉(t −
12)− 〈et ,1〉
=
et − 124(3− e)(t − 1
2)− (e − 1)
w3 = u3‖u3‖ ,
con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1
48(3− e)2 − (e − 1)2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 2
En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt , encontrar baseortonormal de
S =[1, t ,et]
w1 = 1 (tiene norma 1)
u2 = t − 〈t ,1〉1 = t −∫ 1
0 t dt = t − 12
w2 = u2‖u2‖
= 12√
3(t − 1
2)
u3 = et − 112〈e
t , t − 12〉(t −
12)− 〈et ,1〉
=
et − 124(3− e)(t − 1
2)− (e − 1)
w3 = u3‖u3‖ ,
con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1
48(3− e)2 − (e − 1)2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 2
En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt , encontrar baseortonormal de
S =[1, t ,et]
w1 = 1 (tiene norma 1)
u2 = t − 〈t ,1〉1 = t −∫ 1
0 t dt = t − 12
w2 = u2‖u2‖ = 1
2√
3(t − 1
2)
u3 = et − 112〈e
t , t − 12〉(t −
12)− 〈et ,1〉
=
et − 124(3− e)(t − 1
2)− (e − 1)
w3 = u3‖u3‖ ,
con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1
48(3− e)2 − (e − 1)2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 2
En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt , encontrar baseortonormal de
S =[1, t ,et]
w1 = 1 (tiene norma 1)
u2 = t − 〈t ,1〉1 = t −∫ 1
0 t dt = t − 12
w2 = u2‖u2‖ = 1
2√
3(t − 1
2)
u3 = et − 112〈e
t , t − 12〉(t −
12)− 〈et ,1〉
=
et − 124(3− e)(t − 1
2)− (e − 1)
w3 = u3‖u3‖ ,
con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1
48(3− e)2 − (e − 1)2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 2
En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt , encontrar baseortonormal de
S =[1, t ,et]
w1 = 1 (tiene norma 1)
u2 = t − 〈t ,1〉1 = t −∫ 1
0 t dt = t − 12
w2 = u2‖u2‖ = 1
2√
3(t − 1
2)
u3 = et − 112〈e
t , t − 12〉(t −
12)− 〈et ,1〉 =
et − 124(3− e)(t − 1
2)− (e − 1)
w3 = u3‖u3‖ ,
con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1
48(3− e)2 − (e − 1)2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 2
En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt , encontrar baseortonormal de
S =[1, t ,et]
w1 = 1 (tiene norma 1)
u2 = t − 〈t ,1〉1 = t −∫ 1
0 t dt = t − 12
w2 = u2‖u2‖ = 1
2√
3(t − 1
2)
u3 = et − 112〈e
t , t − 12〉(t −
12)− 〈et ,1〉 =
et − 124(3− e)(t − 1
2)− (e − 1)
w3 = u3‖u3‖ ,
con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1
48(3− e)2 − (e − 1)2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
ejemplos
ejemplo 2
En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt , encontrar baseortonormal de
S =[1, t ,et]
w1 = 1 (tiene norma 1)
u2 = t − 〈t ,1〉1 = t −∫ 1
0 t dt = t − 12
w2 = u2‖u2‖ = 1
2√
3(t − 1
2)
u3 = et − 112〈e
t , t − 12〉(t −
12)− 〈et ,1〉 =
et − 124(3− e)(t − 1
2)− (e − 1)
w3 = u3‖u3‖ , con ‖u3‖2 = 1
2(e2 − 1)− 148(3− e)2 − (e − 1)2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
propiedades
propiedades de bases ortonormalesV e.v. con producto interno, {v1, . . . , vn} base ortonormal,v ∈ V
1 v = 〈v , v1〉v1 + · · ·+ 〈v , vn〉vn
2 ‖v‖2 =∑n
i=1 |〈v , vi〉|23 v =
∑ni=1 αivi , w =
∑ni=1 βivi , entonces
〈v ,w〉 =n∑
i=1
αiβi
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
propiedades
propiedades de bases ortonormalesV e.v. con producto interno, {v1, . . . , vn} base ortonormal,v ∈ V
1 v = 〈v , v1〉v1 + · · ·+ 〈v , vn〉vn
2 ‖v‖2 =∑n
i=1 |〈v , vi〉|23 v =
∑ni=1 αivi , w =
∑ni=1 βivi , entonces
〈v ,w〉 =n∑
i=1
αiβi
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
propiedades
propiedades de bases ortonormalesV e.v. con producto interno, {v1, . . . , vn} base ortonormal,v ∈ V
1 v = 〈v , v1〉v1 + · · ·+ 〈v , vn〉vn
2 ‖v‖2 =∑n
i=1 |〈v , vi〉|2
3 v =∑n
i=1 αivi , w =∑n
i=1 βivi , entonces
〈v ,w〉 =n∑
i=1
αiβi
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
propiedades
propiedades de bases ortonormalesV e.v. con producto interno, {v1, . . . , vn} base ortonormal,v ∈ V
1 v = 〈v , v1〉v1 + · · ·+ 〈v , vn〉vn
2 ‖v‖2 =∑n
i=1 |〈v , vi〉|23 v =
∑ni=1 αivi , w =
∑ni=1 βivi , entonces
〈v ,w〉 =n∑
i=1
αiβi
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
propiedades
propiedades de bases ortonormalesV e.v. con producto interno, {v1, . . . , vn} base ortonormal,v ∈ V
1 v = 〈v , v1〉v1 + · · ·+ 〈v , vn〉vn
2 ‖v‖2 =∑n
i=1 |〈v , vi〉|23 v =
∑ni=1 αivi , w =
∑ni=1 βivi , entonces
〈v ,w〉 =n∑
i=1
αiβi
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
demostración
1 Sea v ∈ V ,
entonces, v = α1v1 + · · ·+ αnvn
Ahora
〈v , vj〉 =
⟨n∑
i=1
αivi , vj
⟩
=n∑
i=1
αi〈vi , vj〉
= αj
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
demostración
1 Sea v ∈ V , entonces, v = α1v1 + · · ·+ αnvn
Ahora
〈v , vj〉 =
⟨n∑
i=1
αivi , vj
⟩
=n∑
i=1
αi〈vi , vj〉
= αj
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
demostración
1 Sea v ∈ V , entonces, v = α1v1 + · · ·+ αnvn
Ahora
〈v , vj〉 =
⟨n∑
i=1
αivi , vj
⟩
=n∑
i=1
αi〈vi , vj〉
= αj
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
demostración
1 Sea v ∈ V , entonces, v = α1v1 + · · ·+ αnvn
Ahora
〈v , vj〉 =
⟨n∑
i=1
αivi , vj
⟩
=n∑
i=1
αi〈vi , vj〉
= αj
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
demostración
1 Sea v ∈ V , entonces, v = α1v1 + · · ·+ αnvn
Ahora
〈v , vj〉 =
⟨n∑
i=1
αivi , vj
⟩
=n∑
i=1
αi〈vi , vj〉 = αj
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
demostración
2 tenemos:
‖v‖2 =
∥∥∥∥∥n∑
i=1
〈v , vi〉vi
∥∥∥∥∥2
(parte(1))
=n∑
i=1
‖〈v , vi〉vi‖2 (teo.Pitgoras)
=n∑
i=1
|〈v , vi〉|2‖vi‖2
=n∑
1=1
|〈v , vi〉|2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
demostración
2 tenemos:
‖v‖2 =
∥∥∥∥∥n∑
i=1
〈v , vi〉vi
∥∥∥∥∥2
(parte(1))
=n∑
i=1
‖〈v , vi〉vi‖2 (teo.Pitgoras)
=n∑
i=1
|〈v , vi〉|2‖vi‖2
=n∑
1=1
|〈v , vi〉|2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
demostración
2 tenemos:
‖v‖2 =
∥∥∥∥∥n∑
i=1
〈v , vi〉vi
∥∥∥∥∥2
(parte(1))
=n∑
i=1
‖〈v , vi〉vi‖2 (teo.Pitgoras)
=n∑
i=1
|〈v , vi〉|2‖vi‖2
=n∑
1=1
|〈v , vi〉|2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
demostración
2 tenemos:
‖v‖2 =
∥∥∥∥∥n∑
i=1
〈v , vi〉vi
∥∥∥∥∥2
(parte(1))
=n∑
i=1
‖〈v , vi〉vi‖2 (teo.Pitgoras)
=n∑
i=1
|〈v , vi〉|2‖vi‖2
=n∑
1=1
|〈v , vi〉|2
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
demostración
3 sale usando linealidad (ejercicio)
ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt
propiedades
demostración
3 sale usando linealidad (ejercicio)