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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
Complemento ortogonal. Proyección ortogonal
Jana Rodriguez HertzGAL2
IMERL
7 de setiembre de 2010
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
definición
complemento ortogonal
definición (complemento ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉
S ⊂ V subconjunto cualquierallamamos complemento ortogonal de S al conjunto
S⊥ = {v ∈ V : v⊥s ∀s ∈ S}
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
definición
complemento ortogonal
definición (complemento ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉S ⊂ V subconjunto cualquiera
llamamos complemento ortogonal de S al conjunto
S⊥ = {v ∈ V : v⊥s ∀s ∈ S}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
definición
complemento ortogonal
definición (complemento ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉S ⊂ V subconjunto cualquierallamamos complemento ortogonal de S al conjunto
S⊥ = {v ∈ V : v⊥s ∀s ∈ S}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
definición
complemento ortogonal
definición (complemento ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉S ⊂ V subconjunto cualquierallamamos complemento ortogonal de S al conjunto
S⊥ = {v ∈ V : v⊥s ∀s ∈ S}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usual
S = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}= {(x , y , z) : x + y + z = 0}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}= {(x , y , z) : x + y + z = 0}= {(x , y ,−x − y) : x , y ∈ R}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}= {(x , y , z) : x + y + z = 0}= {(x , y ,−x − y) : x , y ∈ R}= {x(1,0,−1) + y(0,1,−1) : x , y ∈ R}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}= {(x , y , z) : x + y + z = 0}= {(x , y ,−x − y) : x , y ∈ R}= {x(1,0,−1) + y(0,1,−1) : x , y ∈ R}
S⊥ = [(1,0,−1), (0,1,−1)]
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
V = C0[0,1] con el producto 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt
S = {1} donde 1(t) ≡ 1 para todo t
S⊥ = {g : 〈1,g〉 = 0}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
V = C0[0,1] con el producto 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dtS = {1} donde 1(t) ≡ 1 para todo t
S⊥ = {g : 〈1,g〉 = 0}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
V = C0[0,1] con el producto 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dtS = {1} donde 1(t) ≡ 1 para todo t
S⊥ = {g : 〈1,g〉 = 0}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
V = C0[0,1] con el producto 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dtS = {1} donde 1(t) ≡ 1 para todo t
S⊥ = {g : 〈1,g〉 = 0}= {g :
∫ 10 g(t) dt = 0}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
complemento ortogonal es subespacio
proposiciónV e.v. con producto interno
S ⊂ V subconjunto cualquiera⇒ S⊥ subespacio vectorial de V
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
complemento ortogonal es subespacio
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subconjunto cualquiera
⇒ S⊥ subespacio vectorial de V
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
complemento ortogonal es subespacio
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subconjunto cualquiera⇒ S⊥ subespacio vectorial de V
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥
⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅
√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =α〈v , s〉+ β〈w , s〉 =
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =α〈v , s〉+ β〈w , s〉 =α.0 + β.0 = 0
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =α〈v , s〉+ β〈w , s〉 =α.0 + β.0 = 0
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto interno
S ⊂ V subespacio vectorialB = {s1, . . . , sk} base de Sentonces
v ∈ S⊥ ⇔ v⊥si ∀i = 1, . . . , k
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subespacio vectorial
B = {s1, . . . , sk} base de Sentonces
v ∈ S⊥ ⇔ v⊥si ∀i = 1, . . . , k
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subespacio vectorialB = {s1, . . . , sk} base de S
entonces
v ∈ S⊥ ⇔ v⊥si ∀i = 1, . . . , k
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subespacio vectorialB = {s1, . . . , sk} base de Sentonces
v ∈ S⊥ ⇔ v⊥si ∀i = 1, . . . , k
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proposición
demostración
⇒) obvio
√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 =
〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
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proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 =
〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
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proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k
⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 =
〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
-
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proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 =
〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
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proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 =
〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
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proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 =
〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 = 〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉
= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
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proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 = 〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
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proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 = 〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉 = 0
⇒ v ∈ S⊥
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 = 〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉 = 0
⇒ v ∈ S⊥
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 = 〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉 = 0
⇒ v ∈ S⊥
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usual
S = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)
B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}={(x , y , z) : x − z = 0 y y − z = 0}
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}={(x , y , z) : x − z = 0 y y − z = 0}={(z, z, z) : z ∈ R}
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}={(x , y , z) : x − z = 0 y y − z = 0}={(z, z, z) : z ∈ R}
S⊥=[(1,1,1)]
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto interno
S ⊂ V s.e.v. de dimensión finita⇒ V = S ⊕ S⊥
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V s.e.v. de dimensión finita
⇒ V = S ⊕ S⊥
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V s.e.v. de dimensión finita⇒ V = S ⊕ S⊥
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
Vamos a probar:1 V = S + S⊥
2 S ∩ S⊥ = {~0}empezamos por
1 V = S + S⊥:
vS =∑k
i=1〈v , si〉si ∈ Sveamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
Vamos a probar:1 V = S + S⊥2 S ∩ S⊥ = {~0}
empezamos por1 V = S + S⊥:
vS =∑k
i=1〈v , si〉si ∈ Sveamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
Vamos a probar:1 V = S + S⊥2 S ∩ S⊥ = {~0}
empezamos por1 V = S + S⊥:
vS =∑k
i=1〈v , si〉si ∈ Sveamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,
vS =∑k
i=1〈v , si〉si ∈ Sveamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:
vS =∑k
i=1〈v , si〉si ∈ Sveamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
queremos probar que v − vS ∈ S⊥
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
queremos probar que v − vS ∈ S⊥porque entonces tenemos que:
v = vS + v − vS
↑ ↑∈ S ∈ S⊥
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
queremos probar que v − vS ∈ S⊥porque entonces tenemos que:
v = vS + v − vS↑ ↑∈ S ∈ S⊥
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
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complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
queremos probar que v − vS ∈ S⊥porque entonces tenemos que:
v = vS + v − vS↑ ↑∈ S ∈ S⊥
y eso probaría que V = S + S⊥
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
porque entonces tenemos que:
v = vS + v − vS↑ ↑∈ S ∈ S⊥
y eso probaría que V = S + S⊥
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)
= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 (〈si , sj〉 = δij)
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ S
también para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v
⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v
⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =〈
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj〉
(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:supongamos v ∈ S ∩ S⊥⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
observación
observaciónV e.v. con producto interno
S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (S⊥)⊥ = S(ejercicio)
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
observación
observaciónV e.v. con producto internoS s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (S⊥)⊥ = S(ejercicio)
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
observación
observaciónV e.v. con producto internoS s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (S⊥)⊥ = S
(ejercicio)
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
observación
observaciónV e.v. con producto internoS s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (S⊥)⊥ = S(ejercicio)
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.
S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)
proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)
proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)
proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :
PS(v) := vS
dim V
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
observaciones
observación
1 PS(v) no depende de la base B
2 V = S ⊕ S⊥
⇒ v = PS(v) + PS⊥(v)
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
observaciones
observación
1 PS(v) no depende de la base B2 V = S ⊕ S⊥
⇒ v = PS(v) + PS⊥(v)
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
observaciones
observación
1 PS(v) no depende de la base B2 V = S ⊕ S⊥
⇒ v = PS(v) + PS⊥(v)
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
teorema
teoremaV e.v. con producto interno
S s.e.v. de dimensión finita⇒ ∀s ∈ S
‖v − PS(v)‖ ≤ ‖v − s‖
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
teorema
teoremaV e.v. con producto internoS s.e.v. de dimensión finita
⇒ ∀s ∈ S
‖v − PS(v)‖ ≤ ‖v − s‖
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
teorema
teoremaV e.v. con producto internoS s.e.v. de dimensión finita⇒ ∀s ∈ S
‖v − PS(v)‖ ≤ ‖v − s‖
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
teorema
teoremaV e.v. con producto internoS s.e.v. de dimensión finita⇒ ∀s ∈ S
‖v − PS(v)‖ ≤ ‖v − s‖
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉
= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉
= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2
-
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2