Post on 23-Nov-2015
Problemas de optimizacin 1
PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIN
Ejercicio 1
Un banco lanza al mercado un plan de inversin cuya rentabilidad R(x), en euros, viene dada en funcin de la cantidad invertida, x en euros, por medio de la expresin:
3,5 0,4x 0,001x- R(x) 2 ++=
Deducir qu cantidad de dinero convendr invertir en dicho plan.
Qu rentabilidad se obtuvo en el caso anterior?
Solucin:
Obviamente, convendr invertir la cantidad que mayor rentabilidad produzca:
0,4 0,002x- (x)'R +=
2000,0020,4
x00,4 0,002x- 0 (x)'R ===+=
00,002- (x)''R
Problemas de optimizacin 2
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )323
22
33
22
22
2
2
22
2
2
22
2
222
x1
x3x2
x1x1
x2xx4x4
x1x1
x21xx1x4
x1x1
x21xx21x4
x1x1
x21xx1x4
x1x12
x2x21x1x4
xf
=
=
++=
+=
+
=
=
+
=
=)(''
22
0
21
223
22
42
1
22
3822
2
22
1
22
322
2
22
f3332
3
=)('' , 30x = es un mnimo
Con esto, los tres trozos son:
5090140x3140z60x2y
30x
===
==
=
Ejercicio 8
La concentracin de ozono contaminante, en microgramos por metro cbico, en una
ciudad viene dada por la funcin 2x60x1590xC ,)( += , donde x es el tiempo transcurrido desde 1 de enero de 1990 contado en aos.
Hasta que ao est creciendo la concentracin de ozono?
Cul es la concentracin mxima de ozono que se alcanza en esa ciudad?
Solucin:
2x60x1590xC ,)( +=
x2115xC ,)(' =
51221
15x0x21150xC ,
,
,)(' ====
021xC
Problemas de optimizacin 7
x4y8x2y2 ==+
Por otro lado, por el teorema de Pitgoras:
( ) x242x816xxx816xx4xyh 222222 ==+===
La superficie ser: x24x2x242x221
xf ==)(
( )x24x68
x24x2x48
x24x2x242
x24x2
x242x242
2x2x242xf
=
=
=
=
=
+=)('
34
68
x0x680x24x680xf ====
=)('
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( ) x24x2
x38x24x22
x382
x24x24x616
x24x24x68x246
x24x24x68
x24x246
x24x24x68
x246
x24x242
2x68x246
xf
+=
+=
=
+=
+=
+
=
=
+
=
=)(''
0
34
2
12
38
432
4
34
2434
2
3438
34
f =+=+='' ; 3100x = es un mnimo
Las dimensiones del depsito sern:
3100x = cm
( ) 2100
10010050
100
50y
33
23=
== cm
Ejercicio 16
La funcin de coste total de produccin de x unidades de un determinado producto
es: 20x8100x
xC3
++=)(
Se define la funcin de coste medio por unidad comox
xCxQ )()( =
Cuntas unidades x0 son necesarias producir para que sea mnimo el coste medio por unidad?
Qu relacin existe entre ( )0xQ y ( )0xC' ? Solucin:
a) x
208100x
x
20x8100x
x
xCxQ
2
3
++=++
==
)()(
2x
2050x
xQ =)('
10x1000xx
2050x0
x
2050x0xQ 3
22=====)('
3x
40501
xQ +=)(''
Problemas de optimizacin 12
01040
501
10Q 3 >+=)('' ; 10x0 = es un mnimo
Es necesario producir 10 unidades para que el coste medio por unidad sea mnimo.
20x8100x
xC3
++=)(
8100x3
xC2
+=)('
( ) 118100103
10CxC2
0 =+
== )(''
( ) ( ) 1128100100
10208
10010
10QxQ2
0 =++=++== (
( ) ( )00 xCyxQ ' son iguales.
Ejercicio 17
Un barco B y dos ciudades costeras A y C forman un tringulo rectngulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 Km y 5 Km, respectivamente. Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3 Km/h y caminar a 5 Km/h, a qu distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible?
Solucin:
Sea D el punto donde el nadador abandona la costa y continua a nado.
yBD
zDC
xAD
=
=
=
Por el teorema de Pitgoras:
12144
25169513AC 22
==
===
Entonces:
2z25yBD
z12xAD
zDC
+==
==
=
El tiempo que emplea en ir caminando desde A hasta D es:
5z12
t
z12t51
KmLongitudhTiempo
1
1
=
)()(
El tiempo que emplea en ir nadando desde D hasta B es:
Problemas de optimizacin 13
3z25
t
z25t31
KmLongitudhTiempo 22
22
+=
+
)()(
El tiempo total empleado ser: 3
z255
z12zT
2++
=)(
22z253
z
51
z252
z231
51
zT+
+
=
++
=)('
( )415
16225
z0z16225
0z25z9225z259z25z253z5
51
z253
z
510
z253
z
510zT
2
22222
22
===
=++=+=
=+
+
=+
+
=)('
( ) ( ) 222222
2
22
2
2
22
z25z25
2531
z25z25
zz2531
z25z25
zz
z25
z25
31
z25z25
zzz25
31
zT
++=
++
+=
=
+
+
+
+
=
+
++
=)(''
Obviamente:
0415
T >
'' ,
415
z = es un mnimo:
El hombre deber abandonar la costa a 8,25433
415
12z12x ==== Km de
la ciudad A.
Ejercicio 18
Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados
por la funcin: x36000x28xI 2 +=)( , mientras que sus gastos (tambin en euros) pueden calcularse mediante la funcin 700000x12000x44xG 2 ++=)( , donde x representa la cantidad de unidades vendidas.
Determinar:
La funcin que define el beneficio anual en euros.
La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea mximo. Justificar que es mximo.
El beneficio mximo.
Solucin:
a) el beneficio es:
Problemas de optimizacin 14
( ) ( )700000x24000x16
700000x12000x44x36000x28xGxIxB2
22
+=
=+++== )()()(
b) 24000x32xB +=)('
75032
24000x024000x320xB ===+=)('
750x032xB ===)('' ; 0z = es un mnimo
012020121200f
Problemas de optimizacin 15
siendo x el nmero de das transcurridos desde que se detect la enfermedad.
Determinar:
El nmero de das que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.
El nmero mximo de personas afectadas.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad.
Justificar las respuestas.
Solucin:
A ) La enfermedad desaparece cuando no hay ningn enfermo:
( )
=
+=
=
=
=
=
=
+=
=
==++=
36-
0972x
276-
0972x
6-0972
6-810072
6-2916518472
6243347272
x0243x72x30xf
2
1
22)(
Obviamente, no tiene sentido que hayan transcurrido -3 das
Por tanto, han de transcurrir 27 das para que desaparezca la enfermedad.
B ) 72x6xf +=)('
12672
x072x60xf 0 ===+=)('
06xf
Problemas de optimizacin 16
La funcin a maximizar es 2x1x21
xf
=)(
2
2
2
22
2
22
22
x12
x21
x1
xx121
x1
x
21
x121
x12
x2x
21
x121
xf
=
=
=
=
+=)('
22
21
x0x21
0x12
x210xf
2
2
2
===
=
=)('
( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) 22
3
22
33
22
22
2
2
2
2
2
2
222
x1x1
x3x221
x1x1
x2xx4x421
x1x1
x21xx1x421
x1x1
x21x
x1
x1x4
21
x1x12
x2x21x1x4
21
xf
=
++=
=
+=
+
=
=
=)(''
0
21
21
221
42
142
1
223
822
2
21
22
122
1
223
22
2
21
22
f22
3