MÓDULO DE MATEMÁTICA

• LAS PROPOSICIONES, LOS CONJUNTOS Y LAS

RELACIONES CONSTRUÍDAS DESDE LA COTIDIANIDAD Y EL

USO DE MATERIALES EDUCATIVOS.

PRESENTACIÓNDirigido a los docentes que laboran en Educación Básica, como una alternativa de mejoramiento del ejercicio pedagógico en el área de matemática considerado en el plan de estudio de la reforma curricular.

Busca dar una acción formativa que impulse a los docentes a mejorar la calidad de la enseñanza y como propuesta de transformación de la práctica diaria en el aula.

PROPOSICIONES

Por la naturaleza de la matemática , en cuanto al lenguaje con características propias, el aprendizaje de las proposiciones a de conducir hacia el empleo de éste lenguaje en la elaboración y comunicación de conocimientos.

Proposiciones , conjuntos y relaciones

construidas desde la cotidianidad y

el uso de materiales educativos

Proposiciones

Gramaticales

Numèricas

Notación

Clases

Simples

Compuestas

Conectivos Lógicos

Tabla de verdad Operacio

nes lógicas

Cuantificadores

Conjuntos

Nociones

Notación

Simbólica

Gráfica

Determinación

Tabulación

Comprensión

Fórmula

Unitario

Clases

Finito

Infinito

Vacío

Universo

Relaciones

Pertenece y no pertenece

Disyunciòn

Iguualdad

Inclusiòn

Intersecancia

Cordinabilidad

Par o Triadas Ordenada

Intersec.

Uniòn

Diferencia

Dif. Sim.

Operaciones

Relaciones

FuncionesPropiedades

Relac. Binarias

Pro.Cartesiano.

Representaciòn

OBJETIVOS1. Utilizar el conocimiento matemático como herramienta

de apoyo para otras disciplinas, y su lenguaje para comunicarse con presición.

2. Desarrollar las estructuras intlectuales indispensables para la construcción de esquemas de pensamiento lógico formal, por medio de procesos matemáticos.

3. Comprender lo que son las proposiciones para crear ambientes de predilección y generación de trabajo productivo y cooperativo.

4. Aplicar los conocimientos matemáticos para contribuir al desarrollo del entorno natural y social.

PROPOSICIONES

LAS PROPOSICIONES SON EXPRESIONES VERBALES O ESCRITAS CUYO VALOR DE VERDAD PUEDE SER VERDADERO O FALSO.

PROPOSICIONES* LAS PROPOSICIONES SON VERDADERAS O FALSAS SIN NINGUNA DUDA.

* CUANDO NO SE PUEDE DAR SU VALOR DE VERDAD EN FORMA CATEGÓRICA, ENTONCES NO ES PROPOSICIÓN.

* NO ESTARÁ CON SIGNOS DE INTERROGACIÓN, TAMPOCO DE ADMIRACIÓN.

* SON GRAMATICALES CUANDO TIENEN SENTIDO COMPLETO Y CONSTAN DE SUJETO Y PREDICADO.

* SON NUMÉRICAS, TIENEN SUJETO Y PREDICADO: EL VERBO PUEDE ESTAR REPRESENTADO POR LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN.

PROPOSICIONES• CATEGORICAMENTE, V o F SIN LUGAR A DUDAS.

•NO SON PREGUNTAS.

•NO SON EXCLAMACIONES.

•SON AFIRMACIONES

ESQUEMA DE LA PROPOSICIONES

Proposiciones

GramaticalesNumèricas

Notación

Clases

Simples o atómicas

Compuestas omoleculares

Conectivos Lógicos

Tabla de

verdad

Operaciones lógicas

Cuantificadores

Conectivos Lógicos Denominación Representación. Lectura. Y Conjunción p y q o incluyente Disyunción p o q o excluyente Disyunción exclusiva p o q ;Pero no ambas No Negación no p; es falso que p

Sí..., entonces Implicación. P implica a q Sí p entonces q... Sí y solo sí Doble implicación, equivalencia p si y solo sí q p es equivalente a q

PROPOSICIÓN SIMPLE O ATOMICA

• Mera es cantón de Pastaza.

• El perro ladra

• La culebra es ovípara.

• Son simples porque no se puede descomponer en oraciones parciales.

PROPOSICIÓN COMPUESTA O MOLECULAR

• Mera es cantón de Pastaza y Baños es canton de Tungurahua.

• El perro ladra entonces la rana croa.

• La culebra es ovípara o el burro mamífero.

• Son compuestas porque se puede descomponer en oraciones parciales.

LA DISYUNCIÓN. (V) Permite unir 2 proposiciones p y q para obtener otra, que se construye

en el lenguaje usual como:

p o q ( o p o q o ambas cosas)

p V q

TABLA DE LOS VALORES DE VERDAD. 

p q p q

 

V V F F 

 

V F V F

 

V V V F

TABLA DE LOS VALORES . digital 

p q p q

 1 1 0 0 

 1 0 1 0

 1 1 1 0

REFERENCIAS PARA LOS FOCOS

PRENDIDO

APAGADO

V v V = V

V v F = V

F v V = V

F v F = F

DISYUNCIÓN

V v V = V

DISYUNCIÓN

V v F = V

DISYUNCIÓN

F v V = V

DISYUNCIÓN

F v F = F

LA CONJUNCIÓN.

Permite unir 2 proposiciones p y q para obtener otra, que se construye en

el lenguaje usual como:p y q

p ^ q

TABLA DE LOS VALORES DE VERDAD.  

p q p q

 V V F F 

 V F V F

 V F F F

TABLA DE LOS VALORES DE VERDAD.  

p q p q

 1 1 0 0 

 1 0 1 0

 1 0 0 0

V ^ V = V

V ^ F = F

F ^ V = F

F ^ F= F

CONJUNCIÓN

V ^ V = V

CONJUNCIÓN

V ^ F = F

CONJUNCIÓN

F ^ V = F

CONJUNCIÓN

F ^ F = F

TABLA DE LOS VALORES DE VERDAD.  

p q p V q

 V V F F 

 V F V F

 F V V F

COMO SUMA UN COMPUTADOR

LA TABLA DE SUMAR EN EL SISTEMA BINARIO ES:

1 + 1 = 0 y lleva 1

1 + 0 = 1 y lleva 0

0 + 1 = 1 y lleva 0

0 + 0 = 0 y lleva 0

p q p XOR q

 1 1 0 0 

 1 0 1 0

 0 1 1 0

COMO SUMA UN COMPUTADOR

LA TABLA DE SUMAR EN EL SISTEMA BINARIO ES:

1 + 1 = 0 y lleva 1

1 + 0 = 1 y lleva 0

0 + 1 = 1 y lleva 0

0 + 0 = 0 y lleva 0

p q

 1 1 0 0 

 1 0 1 0

 1 0 0 0

lleva^

TABLA DE LOS VALORES DE VERDAD.  

p q p => q

 V V F F 

 V F V F

 V F V V

TABLA DE LOS VALORES DE VERDAD.  

p q p < => q

 V V F F 

 V F V F

 V F F V

P Q p q p q p q p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

ORGANIZADOR GRAFICO DE CONJUNTOS

CONJUNTOS

Nociones

Notación

Simbólica

Gráfica

Determinación

Tabulación

Comprensión

FórmulaUnitario

Clases

Finito

Infinito

Vacío

Universo

Relaciones

Pertenece y nopertenece

Disyunciòn

Iguualdad

Inclusiòn

Intersecancia

Cordinabilidad

Intersec.

Uniòn

Diferencia

Dif. Simétrica

Operaciones

CONJUNTOS

INTRODUCCIÓN

.

La teoría de conjuntos se asocia con los desarrollos modernos de la matemática, pero la idea de conjunto no tiene nada de nuevo. Tuvo su origen en la segunda mitad del siglo XIX con el trabajo del matemático alemán Georg Cantor(1845-1918).Las nociones elementales de la moderna teoría de conjuntos están implícitas en la mayoría de los argumentos clásicos

OBJETIVOS:Facilitar al maestr@s, la comprensión de los fundamentos de la lógica matemática y se familiarice con un conjunto de conceptos básicos necesario para la solución de problemas.

Establecer relaciones entre los conjuntos y sus elementos

Realizar operaciones entre los conjuntos.

Demostrar las propiedades de los conjuntos usando diagramas de Venn - Euler.

IDEA DE CONJUNTO.

.

La idea de conjunto que desarrollamos es intuitiva , pues la definición formal está fuera de nuestro alcance. Las agrupaciones se llaman conjuntos y las partes que las integran son los elementos.

NOTA

.

Un conjunto está correctamente definido , si y solo si, se puede establecer categóricamente, que un elemento pertenece o no a un conjunto

NOTACION Y REPRESENTACIÓN.Los conjuntos se los nota con letras mayúsculas, los elementos con letras minúsculas.

La representación es mediante diagrama de VEEN, se usan cuadrados, rectángulos, círculos u óvalos.

Se puede también representar en forma lineal.

AB

0 1 2

PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA.A

B

1. 2. 3.

7. 9.

0

1 A

2 A

7 B

9 B

0 A

0 B

3 B

10 A

8 B

DETERMINACIÓN

Por Extensión o Tabulación.- Cuando se nombra a cada uno de los elementos.

B = { 2,3,4,5,6}

C = { Mera, Arajuno, Santa Clara, Pastaza}

DETERMINACIÓN

Por Comprensión o Descripción.- Cuando se dice la característica común que tienen todos los elementos.

B = { números naturales mayores que uno y menores que siete}

C = { cantones de la provincia de Pastaza}

DETERMINACIÓN

Por Fórmula Estandar.- Cuando explicamos los elementos que forman un conjunto mediante operadores y símbolos matemáticos.

B = { x x ε N; 1 < x < 7 }

C = { x x є cantones; x є cantones de Pastaza}

CLASES DE CONJUNTOS.

Los conjuntos se clasifican considerando los siguientes aspectos.

POR EL NÚMERO DE ELEMENTOS.

-VACÍO.

-UNIVERSO.

-UNITARIO.

-FINITO.

-INFINITO.

POR LA RELACIÓN ENTRE LOS CONJUNTOS.

-INTERSECANTES.

- DISJUNTOS.

-IGUALES.

-COORDINABLES.

CONJUNTO VACÍO.Φ

Es aquel conjunto que no tiene elementos; o sea no se puede tabular o dejar correctamente determinados sus elementos.

CA= { }

B= Φ

CONJUNTO UNIVERSO.

Es llamado también conjunto referencial, está construído por todos los elementos en estudio que tienen la misma propiedad. Se puede denotar con las siguientes letras mayúsculas R o U.

R =U = { a,e, i,o,u }

R= { abecedario}

0.1.2.3.4.5.6.7.

8.9

Conjunto de las partes.

Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto. Se expresa mediante el símbolo que se lee:

P(A) partes de A

A = { a,e, i }

{{ },{ a}, { e},{ i } ,{ a, e },{ a,i },{ e,i },{ a,e,i } }P(A) =

CONJUNTOS IGUALES.

Cuando los dos conjuntos tienen los mismos elementos, aunque estén en otro orden

L = B

L= { a,e, i,o,u }

B= { e,o,u,a,i}

A B

a.e.i.o. u

CONJUNTOS DISJUNTOS.

Cuando entre dos conjuntos no tienen elementos en común. (repetidos)

K = M

K= { a,e, i,o,u }

M= {c,d, h, f }

K M

c.d. h. fa.e. i.o.u.

CONJUNTOS INTERSECANTES.

Cuando entre dos conjuntos tienen elementos en común. (repetidos)

N INTERSECANTE P

N= {a,e, i,o,u }

P= {c,d, e, f }

N P

a. .io. u c. d. fe

CONJUNTOS COORDINABLES.

Cuando a cada elemento del conjunto A le corresponde uno y sólo uno del elemento del conjunto B y recíprocamente.

N= { }

P= { }

OPERACIONES ENTRE

CONJUNTOS

OPERACIÓN UNIÓN ( U )

UNION.- La unión es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a los conjuntos dados.

Iguales

Unión entre conjuntos iguales

A B

OPERACIÓN UNIÓN ( U )

Unión entre conjuntos DISJUNTOS

A B

OPERACIÓN UNIÓN ( U )

Unión entre conjuntos INTERSECANTES

A B

OPERACIÓN UNIÓN ( U )

Unión entre CONJUNTO Y SUBCONJUNTO

A

B

OPERACIÓN INTERSECCIÓN ( )

INTERSECCIÓN.- La intersección es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos a la vez. (elementos comunes)

Intersección entre conjuntos IGUALES

A B

OPERACIÓN INTERSECCIÓN ( )

Intersección entre conjuntos DISJUNTOS

A B

OPERACIÓN INTERSECCIÓN ( )

Intersección entre conjuntos INTERSECANTES

A B

OPERACIÓN INTERSECCIÓN ( )

Intersección entre CONJUNTO Y SUBCONJUNTO

A

B

PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS.

PROPIEDAD REFLEXIVA: A U A = A

A= { a,b,c,d,e }

A U A = { a,b,c,d,e}

a.b.c.d.e

A U A = A

A

PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS.

PROPIEDAD IDENTIDAD: A UΦ = A

A= { a,b,c,d,e }

B = { }

A UB = { a,b,c,d,e}

a.b.c.d.e

A U Φ = A

A

PROPIEDAD ASOCIATIVA

AU ( BUC) = ( AUB ) U C

Sean: A = { 1,2,3}; B = { 3,4,5}; C= { 1,3,5, 8}

{ 1,2,3,4,5}{ 1,2,3} { 3,4,5,1,8 }

{ 1,2,3,4,5, 8}

{ 1,3,5, 8}U = U

= { 1,2,3,4,5, 8}

31

A B

C

2 4

5

8

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.

PROPIEDAD REFLEXIVA: A A = A

A= { a,b,c,d,e }

A A = { a,b,c,d,e}

a.b.c.d.e

A A = A

A

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.

PROPIEDAD DE LA IDENTIDAD: A Φ = Φ

A= { a,b,c,d,e }

B = Φ

A B = Φ

a.b.c.d.e

A Φ = Φ

A

PROPIEDAD ASOCIATIVA

A ( B C) = ( A B ) C

Sean: A = { 1,2,3}; B = { 3,4,5}; C= { 1,3,5, 8}

{ 3 }{ 1,2,3} { 3, 5 }

{ 3 }

{ 1,3,5, 8}=

= { 3 }

31

A B

C

2 4

5

8

3

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

a) A ( B U C) = ( A B ) U ( A C )

Sean: A = { 1,2,3}; B = { 3,4,5}; C= { 1,3,5, 8}

DEMOSTRAR LA OPRACIÓN CON LOS CONJUNTOS DADOS.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

b) A U ( B C) = ( A U B ) ( A U C )

Sean: A = { 1,2,3}; B = { 3,4,5}; C= { 1,3,5, 8}

DEMOSTRAR LA OPRACIÓN CON LOS CONJUNTOS DADOS.

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Sean los conjuntos A = { 1,2,3,4,5,6,7 } y B = { 2, 4, 6, 8, 9} la diferencia A- B = { 1, 3, 5, 7 }

La diferencia A - B está formado por los elementos que pertenecen A pero no a B

1. 3. 5. 7.

2. 4. 6.

8.

9.

A B

A - B

DIFERENCIA SIMÉTRICA ( )

Sean los conjuntos A = { 1,2,3,4,5,6,7 } y B = { 2, 4, 6, 8, 9} la diferencia A B = { 1,3,5,7,8,9 }

La diferencia A B está formado por los elementos que pertenecen A pero no a B

1. 3. 5. 7.

2. 4. 6.

8.

9.

A B

A B

PRÁCTICA

Sean los conjuntos:

U = { a,b,c,d,e,f,g,h,i }

A = { a,b,c,e }

B = { b,c,d,f}

C = { c,e,f,g,h }

a b

cd

ef

.g h.

U

A B

Ci

Analice la siguiente estructura y escriba conjuntos que cumpla con la relación.

AB

C

D

EF

U

Proposiciones , conjuntos y relaciones

construidas desde la cotidianidad y el uso de materiales

educativos

Par o Triadas Ordenada

RelacionesFunciones

Propiedades

Relac. BinariasRepresentaciòn

INTRODUCCIÓN

.

Esta unidad está dirigida a los docentes que laboran en Educación Básica, como una alternativa de mejoramiento del ejercicio pedagógico del área de matemática considerado en el plan de estudio de la Reforma Curricular vigente y responder a los requerimientos básico.

Esta actualización tiene en matemática una característica muy particular ya que se consideran dos puntos de vista: la actualización metodológica y la académica.

En ésta unidad se consideran procesos que orientan el desarrollo de las acepciones teóricas de las relaciones, producto cartesiano y funciones,detallando algunos elementos por considerar fundamental el tratamiento de ésta temática.

OBJETIVOS:• Lograr que el maestro encuentre ideas, sugerencias y modelos que le resulten útiles para una práctica docente creadora e inmediata.

• Representar asociaciones entre elementos de conjuntos como relaciones o correspondencias.

• Realizar todas las posibilidades de combinación, relación conjuntos mediante la operación matemática: producto cartesiano.

• Identificar funciones en diversas combinaciones.

PRODUCTO CARTESIANO.

.

El producto cartesiano de los conjuntos A y B, se denota por AxB, en la que a cada elemento del primer conjunto se lo hace corresponder un elemento del segundo conjunto.

}/),{( BbAabaAxB

PAR ORDENADO.

.

Se llama par ordenado al ente (a,b ) si a A , b B .

( a, b )

abscisa ordenada

Dos pares son iguales si y sólo sí sus componentes del mismo orden son iguales.

REPRESENTACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO.

Y

4

3 (4,3)

2

1

X1 2 3 4 5

NOTACIÓN Y REPRESENTACIÓN.

B

)},2(),,2(),,2(),,1(),,1(),,1{(

},,{

}2,1{

cbacbaAxB

cbaB

A

1.

2.

.a

.b

.c

A

TABLA DE DOBLE ENTRADA

A B a b c1 (1,a) (1,b) (1,c)2 (2,a) (2,b) (2,c)

A= { 1,2} B= { a,b,c}

CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS

A B

Correspondencia de uno a varios ( uno para todos)

p.

.j

.m

.c

.b

CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS

A B

Correspondencia de varios a uno ( todos para uno)

.fj.

m.

c.

b.

CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS

A B

Correspondencia unívoca ( condición uno a uno)

.sopa

.jugo

.café

niña.

vaso

tasa

CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS

A B

Correspondencia biunívoca ( condición uno a uno y viceversa)

.sopa

.jugo

.té

plato.

vaso.

tasa

RELACIONES

Se llama relación en R entre dos conjuntos A y B a todo subconjunto del producto cartesiano AxB, en donde R es una condición.

)}8,2(),6,2(),3,2(),8,1(),6,1(),3,1{(

}8,6,3{

}2,1{

AxB

B

A

AXBR

R

xy

)}6,2(),3,1{(

3Establecer La Relación

; entonces se tiene

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

P. REFELEXIVA.- Una relació R es reflexiva, sí para cualquier elemento a que pertenece al conjunto A donde está definida tenemos a R a. Se escribe.

xRxAx :

1

4 6

5A

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES P. SIMÉTRICA.- Es simétrica si cada vez que a y b están en relación, entonces y también están en relación; es decir a R b b R a

A

yRxxRyAyAx :,

Juana

Daniel

Paty. .

.

“ Ser hermano de”

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES P. NO SIMÉTRICA.- Es no simétrica si y sólo sí ;

A

Juana Paty. .

“ Ser madre de”

yxyRxxRyAyAx :,

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

P. TRANSITIVA.- Una relación R dada en un conjunto A, se dice que tiene la propiedad transitiva o que es transitiva, si y sólo sí :

A

5 10. .“ Ser DIVISOR DER”

xRzyRZ

xRzAZAyAx

xRzyRzxRyAzAyAx

:,,

:,,

50.

FUNCIONES

Condiciones para que sea una función.

1. Deben ser considerados todos los elementos del conjunto de partida.

2. A cada elemento del conjunto de partida o dominio le corresponde uno y sólo uno de los elementos del codominio.

3. Cuando está graficado, se traza una recta paralela al eje de las ordenadas (y), si corta en un solo punto entonces es función caso contrario es una relación.

FUNCIONES

NOTA IMPORTANTE

“TODA FUNCIÓN ES UNA RELACIÓN, PERO NO TODA RELACIÓN ES UNA FUNCIÓN”

CLASES DE FUNCIONES.

1. FUNCION CONSTANTE.

2. FUNCION INYECTIVA

3. FUNCIÓN SOBREYECTIVA.

4. FUNCIÓN BIYECTIVA

FUNCIÓN CONSTANTE

A B

A → B es constante si y sólo si si para todo x A es f(x) =a∈

.121.

2.

3.

4.

FUNCIÓN INYECTIVA.

A B

Se dice que f es función inyectiva, si y sólo si a elementos diferentes de A corresponden imágenes distintas en B

.a

.b

.c

.d

e

1.

2.

3.

4.

FUNCIÓN SURYECTIVA O SOBREYECTIVA.

A B

Una función es suryectiva o sobreyectiva , es una función de A sobre B si y sólo si el codominio de f es igual a B .

.10

.9

.49

5.

2.

3.

7.

FUNCIÓN BIYECTIVA.

A B

Si y sólo si Es inyectiva y sobreyectiva, es decir que cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen y una sola. El codominio es igual al rango de la función.

.25

.10

.9

.49

5.

2.

3.

7.

Mensaje

Los obstáculos son esas cosas que las personas ven cuando dejan de mirar sus metas.

Luis Lluglla Luna.