Modalidad Presencial · 2018. 10. 25. · de lo aprendido las cuales según la laboratorios. Casos...

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CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

UTEPSA – Guía MAAP

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Versión: 3 Edición: 1 Año: 2018

Modalidad Presencial


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Misión de UTEPSA:

“Lograr que cada estudiante desarrolle una

experiencia académica de calidad, excelencia,

con valores, responsabilidad social, innovación,

competitividad, y habilidades emprendedoras

durante su formación integral para satisfacer las

demandas de un mercado globalizado.”

Esto se sintetiza en:

“Educar para emprender y servir”

Visión de UTEPSA: “Ser una universidad referente y reconocida por su calidad académica, investigación y compromiso con la comunidad, en la formación de profesionales íntegros, emprendedores e innovadores, según parámetros y normativas nacionales e internacionales”.”


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¿Qué es la Guía MAAP?

Es un documento que marca los objetivos de cada asignatura y que a través de actividades y otros contenidos,

orienta los esfuerzos del estudiante para garantizar un exitoso desempeño y el máximo aprovechamiento.

Esta herramienta, otorga autoestudio y autoaprendizaje mediante trabajos, lecturas, casos, y otras actividades

que son monitoreadas por el profesor permitiendo a los participantes de la clase desarrollar diferentes

competencias.

I. Recordatorios y Recomendaciones

A su servicio Aunque las normas generales están claramente

establecidas, si a usted se le presenta una situación

particular o si tiene algún problema en el aula, o en

otra instancia de la Universidad, el Gabinete

Psicopedagógico y su Jefatura de Carrera, están para

ayudarlo.

Asistencia y puntualidad

Su asistencia es importante en TODAS las clases.

Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en el

Reglamento de la Universidad se contemplan tres

faltas por módulo (Art. 13 Inc. b y c del

Reglamento Estudiantil UPTESA). Si usted

sobrepasa esta cantidad de faltas REPROBARÁ LA

ASIGNATURA.

Se considera “asistencia” estar al inicio, durante

y al final de la clase. Si llega más de 10 minutos

tarde o si se retira de la clase antes de que esta

termine, no se considera que haya asistido a

clases. Tenga especial cuidado con la asistencia y

la puntualidad los días de evaluación.

Comportamiento en clases

Los estudiantes y los docentes, bajo ninguna

circunstancia comen o beben dentro

el aula y tampoco organizan festejos

u otro tipo de agasajos en estos espacios,

para este fin está el Patio de Comidas.

Toda la comunidad estudiantil, debe respetar los

espacios identificados para fumadores.

También se debe evitar la desconcentración o

interrupciones molestas por el uso indebido de

equipos electrónicos como teléfonos y tablets.

Cualquier falta de respeto a los compañeros, al

docente, al personal de apoyo o al personal

administrativo, será sancionada de acuerdo al

Reglamento de la Universidad.


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II. Orientaciones para el aprendizaje

La Guía MAAP, contiene diferentes actividades de aprendizaje que han sido clasificadas y marcadas con algunos

símbolos.

La tabla a continuación, le permitirá comprender y familiarizarse con cada una de estas actividades:

Símbolo Actividad Descripción

Preguntas A través de cuestionarios, se repasan las bases teóricas generales para una mejor comprensión de los temas.

Prácticos y/o Laboratorios

Los prácticos permiten una experiencia activa; a través, de la puesta en práctica de lo aprendido las cuales según la carrera, pueden desarrollarse en laboratorios.

Casos de Estudio y ABP

Son planteamientos de situaciones reales, en los que se aplica los conocimientos adquiridos de manera analítica y propositiva.

Investigación Las actividades de investigación, generan nuevos conocimientos y aportes a lo aprendido.

Innovación y/o Emprendimiento

A través de esta actividad, se agrega una novedad a lo aprendido, con el fin de desarrollar habilidades emprendedoras.

Aplicación

Al final de cada unidad y después de haber concluido con todas las actividades, se debe indicar, cómo los nuevos conocimientos se pueden aplicar y utilizar a la vida profesional y a las actividades cotidianas.

Ética Responsabilidad Social

Formación Internacional Idioma Ingles

Serán actividades transversales que pueden ser definidas en cualquiera de las anteriores actividades.

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III. Datos Generales

ASIGNATURA: Probabilidad y Estadística SIGLA: BMA-303 PRERREQUISITO: Ninguno

OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA:

El estudiante adquiere herramientas que le brindaran la capacidad de recolectar, organizar y

analizar datos, para poder determinar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables

basadas en tal análisis. Valora los métodos y técnicas estadísticas generales y propias del

campo de la especialidad en el aprendizaje del profesional en formación. Resume e interpreta

la información contenida en un conjunto de datos observados.

TEMA CONTENIDO DE LA MATERIA Horas Teóricas

Horas Prácticas

# de Clases

Unidad I Introducción a la ciencia estadística 4 1 2

Unidad II Procesamientos datos 1 7 3

Unidad III

Medidas de tendencia central

Medidas de dispersión

Medidas de forma

2

10

4

Unidad IV Análisis de regresión y correlación 1 4 2

Unidad V Introducción a las probabilidades 2 6 3

Unidad VI Distribuciones de probabilidad 1 7 3

Unidad VII Teoría del muestreo 2 4 2

ESTRUCTURA TEMÁTICA

Unidad Temas

I

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD Y

ESTADISTICA

1.1. Presentación de la materia y sus actividades

1.2. Conceptos Básicos.

1.2.1. Definiciones Estadística Descriptiva

1.2.2. Definiciones Estadística Inferencial

1.2.3. Tipos de variables

1.3. Pasos para realizar una investigación estadística

descriptiva

1.4. Muestreo y tipos de muestreo

1.5. La encuesta y el diseño de cuestionarios

II

PROCESAMIENTOS DATOS (Variables

2.1. Procesamiento de datos de variables Cualitativas

2.1.1. Cuadro de distribución de frecuencias

2.1.2. Gráficos e interpretaciones

6



Cualitativas – Variables Cuantitativas)

2.2. Procesamiento de datos de variables Cuantitativas

2.2.1. Cuadro de distribución de frecuencias

2.2.2. Gráficos e interpretaciones

III

MEDIDAS DE

TENDENCIA

CENTRAL

MEDIDAS DE

DISPERSION

MEDIDAS DE

FORMA

3.1. Definición de Medidas de Tendencia Central

3.2. Clasificación

3.2.1. Media

3.2.2. Mediana

3.2.3. Moda

3.2.4. Fractiles

3.2.4.1. Cuartiles

3.2.4.2. Deciles

3.2.4.3. Percentiles

3.2.5. Diagrama de Caja o boxplots

3.3. Definición de Medidas de Dispersión

3.4. Clasificación

3.4.1. Rango

3.4.2. Desviación media

3.4.3. Rango semi Intercuartil

3.4.4. Desviación Típica

3.4.5. Varianza

3.4.6. Coeficiente de Variación

3.5. Definición de Medidas de Forma

3.5.1. Sesgo o Asimetría

3.5.2. Kurtosis o Apuntamiento

IV

ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACION

4.1. Definición

4.2. Calculo a través de mínimos cuadrados de la

Regresión y Correlación

4.3. Usos del análisis de Regresión

V

INTRODUCCION A LAS

PROBABILIDADES

5.1. Concepto de Probabilidad.

5.1.1. Experimento

5.1.2. Espacio Muestral

5.1.3. Evento

5.2. Modelos de Probabilidad.

5.3. Reglas de Probabilidad.

5.3.1. Suma

5.3.2. Multiplicación

5.4. Teorema de Bayes.

5.5. Aplicaciones de Probabilidad y Aplicaciones del

Teorema de Bayes.

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VI

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

6.1. Tipos de distribuciones probabilísticas

6.1.1. Distribución Binomial de Probabilidades.

6.1.2. Distribución de Poisson.

6.1.3. Distribución Normal de Probabilidades.

6.2. Aplicaciones de las distribuciones probabilísticas

VII

TEORÍA DEL MUESTREO

6.1. Tipos de Muestreo.

6.2. Cálculos para determinar el tamaño de la muestra

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Mínimo tres libros COMPLEMENTARIA ….

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4. Sistema de Evaluación

A continuación, se presenta el sistema de evaluación sugerido para la asignatura:

NÚM. TIPO DE

EVALUACIÓN UNIDADES A EVALUAR PUNTOS SOBRE 100

1 PRUEBA PARCIAL Unidades 1 a 3 15

2 PRUEBA PARCIAL Unidades 4 a 7 15

3 TRABAJOS PRÁCTICOS (CASOS-EJERCICIOS –

TRABAJO FINAL)

Problemas ABP y solución de casos realizados en clases y en su domicilio

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4 EVALUACIÓN FINAL Todos los temas de forma

integral Unidades 1 a 7 60

Descripción de las características generales de las evaluaciones:

PRUEBA PARCIAL 1

La primera evaluación está referida a conceptos generales de la asignatura y a problemas ABP de aplicación de estadística Descriptiva.

PRUEBA PARCIAL 2

La segunda evaluación está referida a la aplicación en problemas ABP de estadística Inferencial.

TRABAJOS PRÁCTICOS

Esta evaluación corresponde a las actividades de aprendizaje como el Trabajo Final de aplicación de Estadística Descriptiva, que los estudiantes realizarán durante la materia, ya sea en forma individual o grupal.

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EVALUACIÓN FINAL

El trabajo tiene como objetivo la aplicación de todos los contenidos aprendidos en clases. Se realizará en grupos de alumnos no mayores a 4 estudiantes.

Entrega del Trabajo: El trabajo debe ser avanzado durante el desarrollo de la materia. Se valorará la estructura, el contenido, la redacción y ortografía. De los 60 puntos de la casilla Examen Final: 40 corresponden al avance, contenido y entrega del informe escrito y 20 para la presentación y defensa del mismo.

Defensa del trabajo: Los grupos defenderán sus trabajos en las clases 19 y 20 del módulo. Los alumnos podrán decidir el orden de exposición de cada uno de sus integrantes, pero el docente podrá hacer preguntas de verificación a cada uno de los miembros del grupo.

5. Guía para el Trabajo Final

INSTRUCCIONES

Se indica los pasos y procedimientos a seguir para la realización del trabajo final.

El trabajo deberá presentarse impreso con las siguientes características:

Hoja de papel boom tamaño carta.

Margen superior de 3 cm. Inferior de 3 cm. derecho de 4 cm. e inferior 2.5 cm.

Letra Arial 12, Interlineado de 1,5.

OBJETIVOS DEL TRABAJO FINAL:

Llevar a la práctica los conocimientos adquiridos en la materia de probabilidad y estadística referente

a la Estadística Descriptiva en un caso real.

ESTRUCTURA DEL TRABAJO FINAL:

i) CARÁTULA

Nombre de la Universidad

Nombre de la Facultad a la que pertenece

Nombre de la Carrera

Nombre de la Materia

Nombre del Docente

Nombre de los Integrantes del grupo

Fecha y año

ii) CONTENIDO INTERNO

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ÍNDICE

I. INTRODUCCIÓN

Antecedentes. Breve descripción de la organización objeto de estudio: Años de

funcionamiento, tipo de empresa, ubicación, tamaño de la empresa,

II. OBJETIVOS

2.1. Objetivo general Que se quiere lograr o donde se quiere llegar con la realización del trabajo

2.2. Objetivos específicos Pasos a seguir para llegar al objetivo general

III. FUNDAMENTOS TEORICOS

Realizar mínimo 15 conceptos teóricos de las unidades de donde se realiza el trabajo.

IV. TABULACION DE DATOS

4.1. Recolección de Información a través de las encuestas ( mínimo 150 encuestas)

4.2. Cálculos

4.3. Tabla de datos (Realizar para cada una de las preguntas)

4.4. Gráficos e interpretaciones (Realizar para cada una de las preguntas)

V. CONCLUSIONES

Conclusión general del grupo sobre resultados obtenidos en cada una de las interpretaciones

realizadas en el trabajo.

VI. RECOMENDACIONES

Propuestas de mejora sobre las actividades realizadas que se han analizado en el trabajo.

ANEXOS

Encuestas, tablas, gráfico, foto o elemento que no sea texto y que se refiera al trabajo.

6. Objetivos y Actividades de cada Unidad

Unidad No 1

Introducción a la Probabilidad y Estadística

OBJETIVOS:

Lograr que el estudiante comprenda la importancia y uso de la ciencia Estadística en las

actividades cotidianas.

Motivar a los estudiantes a la investigación y la comprensión de los diferentes términos

usados en la estadística

Lograr que el estudiante identifique con claridad cuando nos referimos a un estudio de

estadística descriptiva y cuando a un estudio de estadística inferencial.

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Lograr que el estudiante identifique sin problemas entre variables estadísticas cualitativas,

cuantitativas continuas y cuantitativas discretas que se utilizan en Estadística

Reconocer la necesidad de tomar muestras y valorar la representatividad de éstas.

Comprender el concepto de encuestas e identificar sus fases.

Actividades:

Realizar un cuestionario tomando diferentes conceptos relativos a la materia de Probabilidad y

Estadística.

a) Origenes y desarrollo de la ciencia estadistica b) Estadistica descriptiva c) Estadistica Inferencial d) Poblacion en terminos de estadistica e) Muestra en terminos de estadistica f) Cual es la finalidad de una encuesta g) Que es un cuestionario y como se lo elabora h) Pasos para realizar una encuesta i) Elaborar un cuestionario conpreguntas cerrdas de selección multiples con variables

Cualitativas y Cuantitativas.

Unidad No 2

Tabulación de variables cualitativas y cuantitativas

OBJETIVO:

Recordar los conceptos básicos y distinguir entre variable cualitativa ordinal y nominal

Construir e interpretar tablas estadísticas de frecuencias

Expresar en forma de gráfico la información contenida en tablas de frecuencias

Realizar los gráficos de la tabla de frecuencias e interpretarlos.

Reconocer la importancia del trabajo en equipo como medio para obtener datos de un estudio estadístico y apreciar la colaboración del compañero, mostrando una actitud

flexible y abierta ante sus opiniones

Identificar los diferentes tipos de variables cuantitativas ( discreta y continua)

Valorar la utilidad de las herramientas matemáticas para interpretar correctamente informaciones presentes en los medios de comunicación y que utilizan conceptos

estadísticos.

Problema ABP resuelto - Tbulación de Variables Cualitativas:

Usted y sus compañeros son el equipo de Ventas del Súper Mercado “Hipermaxi”, uno de los

líderes en este rubro dentro de Santa Cruz. En esta institución específicamente en la Sucursal

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Norte hay un descenso en las ventas muy significativo, el administrador está muy preocupado

y les ha encargado hacer un estudio. La primera decisión que ustedes tomaron fue realizar una

encuesta a todos los clientes que vienen con cierta regularidad. La pregunta realizada fue la

siguiente:

¿En qué cree que podemos mejorar para satisfacer mejor sus necesidades?

Opciones de las preguntas Frecuencia

(A) Poner precios más accesibles. 6

(B) Preparar mejor a los vendedores 4

(C) Distribuir mejor los productos. 2

(D) Atender más rápido en las cajas. 8

Total de encuestados = 20

TABLA I

¿En qué cree que podemos mejorar para satisfacer mejor sus necesidades?

OPCIONES RECUENTO f fr fr%

frec.abs frec relativa frec rel %

Poner precios mas accesibles 6 6 0,3 30

Preparar mejor a los vendedores 4 4 0,2 20

Distribuir mejor los productos 2 2 0,1 10

Atender mas rápido en cajas 8 8 0,4 40

TOTALES 20 20 1 100

Fuente: Elaboración propia (10/2/2015)

Gráfico I

OPCIONES PARA MEJORAR LAS NECESIDADES DE LOS CLIENTES

FINALES

Poner precios mas accesibles;

30

Preparar mejor a los vendedores;

20

Distribuir mejor los productos;

10

Atender mas rapido en cajas;

40 ¿En que cree que

podemos mejorar?

13



Fuente: Elaboración propia (10/2/2015)

Interpretación: A través del Grafico de Barras observamos que el 40% de los clientes

encuestados de Hipermaxi Sur opinan que para mejorar deben atender más rápido en cajas y

un 10% opina que se deben distribuir mejor los productos.

Problema ABP resuelto - Tabulación de Variables Cuantitativas

INDUSTRIAS FINO, analiza las ventas de un nuevo aceite Fino

Vitaminas, correspondientes al mes de Junio de 2013. Se ha recopilado

información acerca de las ventas en miles de dólares de una sucursal.

Resuma la información en un cuadro de distribución de frecuencias.

Se pide:

a) Histograma y polígono de frecuencias

b) Interprete cada uno de los datos

c) Grafica histograma, polígono, grafico porcentual y ojivas.

Paso 1.- Ordenamos los datos en forma ascendente.

Paso 2.- Determinar el Mínimo y el Máximo.

Mínimo: 3 Máximo: 18

Paso 3.- Calculo del Rango

R = MAX - MIN

R = 18 – 3

R = 15

Paso 4.- Calculo del Numero de Filas o Intervalos

7 4 18 5 15 5 9 3 11 7

12 12 5 4 7 4 6 17 9 12

15 5 11 4 10 7 11 7 12 9

3 4 4 4 4 5 5 5 5 6

7 7 7 7 7 9 9 9 10 11

11 11 12 12 12 12 15 15 17 18

http://www.exclusivamenteboliviano.com/fotos_productos/fino_bolivia_fino_vitaminas_g.jpg

14



I = 1 + 3,32 x log(n)

I = 1 + 3,32 x log(30)

I = 5,90

I 6

Paso 5.-Calculo de Amplitud

C = 𝑹

𝑰

C =15 / 6

C = 2,5

C 3

Paso 6.- Calculo del Rango Ideal

RI = I * C

RI = 6 x 3

RI = 18

Paso 7.- Calculo del margen de desplazamiento

MD = RI - R MD = 18 – 15 =3

MD 3 (1, 2)

MD = 1

Margen de desplazamiento:

2 (arriba)

2

RRidealMD

31518 MD

1 (abajo)

“ojo” Si la diferencia en el numerador es par dividimos entre dos, pero si es impar solo compartimos en la

forma más equitativa en dos Números enteros.

Tomamos el número más pequeño. MD = 1 Condición: MD < C

Paso 7.- Calculamos el limites Inferior de la primera clase.

Li₁ = Min - MD Li₁ = 3 – 1

Li₁ = 2

Paso 8.- Calculamos los demás limites inferiores

NOTA.-cuando el resultado de MD = RI –

R; es par se divide en 2 y se toma ese dato

como resultado, y si es impar también se

divide en dos partes una máxima y otra

mínima y se toma la mínima como

resultado.

15



Li₂ = Li₁ + C = 5

Li₃ = Li₂ + C = 8

Li₄ = Li₃ + C = 11

Li₅ = Li₄ + C = 14

Li₆ = Li₅ + C = 17

CUADRO DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

TABLA I

VENTAS DEL ACEITE FINO VITAMINAS

Fuente: Aceite Fino S.A (Junio/2015)

GRAFICOS REPRESENTATIVOS DE LAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

Unidad No 3



Medidas de forma

VENTAS (Fronteras)

16,5 - 19,5

13,5 - 16,5

10,5 - 13,5

7,5 - 10,5

4,5 - 7,5

1,5 - 4,5

Histograma de Frec. Absolutas

Fre

cue

nci

a A

bso

luta 12

10

8

6

4

2

0

22

7

4

10

5

VENTAS (Marcas de clase)

18,015,012,09,06,03,0

Poligono de Frec. Absolutas

Fre

cue

nci

a A

bso

luta 12

10

8

6

4

2

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Acum Menor que Acum Mayor que

# I

INTERV Limites Li Ls

FRONTERAS

Fi Fs

HOJA DE

REC

FREC. Absoluta

f

Marcas De clase

MC

Frec. Rel. fr

Frec. Rel. %

fr%

f. acum Fi (-)

fr. Acum Fr(-)

Fr. % Acum Fr%(-)

Fi Acum Fi(+)

Fr. Acum Fr(+)

Fr% Acum Fr%(+)

1 2 - 4 1.5 - 4.5 lIIII 5 3 0.167 16.7 5 0.167 16.7 30 1 100

2 5 - 7 4.5 - 7.5 lllllllllI 10 6 0.333 33.3 15 0.50 50 25 0.833 83.3

3 8 - 10 7.5 - 10.5 Illl 4 9 0.133 13.3 19 0.633 63.3 15 0.50 50

4 11 - 13 10.5 - 13.5 Illllll 7 12 0.233 23.3 26 0.867 86.7 11 0.367 36.7

5 14 - 16 13.5 - 16.5 Il 2 15 0.067 6.7 28 0.933 93.3 4 0.133 13.3

6 17 - 19 16.5 - 19.5 Il 2 18 0.067 6.7 30 1 100 2 0.067 6.7

n = 30 1 100%

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OBJETIVOS:

Calcular las medidas de tendencia central, para datos no agrupados y para datos

agrupados y su interpretación y su aplicación.

Calcular las medidas de Dispersión, para datos no agrupados y para datos agrupados

su interpretación y su utilidad.

Calcular las Medidas de Forma, su utilidad.


MEDIA

Para datos agrupados Para datos no agrupados

𝑥 =∑ 𝑀𝐶. 𝑓

𝑛

Calcular el promedio, como se hace normalmente.

MEDIANA


𝑴𝒆 = 𝑭𝒊 + [

𝒏𝟐 − 𝒇(𝑰 − 𝟏)

𝒇] ∗ 𝑪

Ordenar los datos de menor a mayor y ubicar el valor o los valores, según

corresponda, a la mitad de los datos.

MODA


CFiMo

21

1

∆𝟏=𝒇−𝒇(𝒊−𝟏)∆𝟐= 𝒇−𝒇(𝒊+𝟏)

Buscar dentro de los datos el número que se repite mayor cantidad de

veces.

FRACTILES

C

f

1)-i fa(4

r.n

FiQr C

ifa

f

)1(10

r.n

FiDr C

iFa

f

)1(100

r.n

FiPr

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Ejemplos para datos no Agrupados:

MEDIA:

Ejemplo: Obtener la media de los siguientes datos: 4, 7, 1, 9, 2, 5, 6.

Solución: La sumatoria es = 34 y la cantidad de datos = 7

La media o Promedio = 34/7 = 4,85

MEDIANA:

Número impar de datos ordenados de menor a mayor o de mayor a menor

Ejemplo impar: Obtener la mediana de los siguientes datos: 4, 7, 1, 9, 2, 5, 6.

Solución: Ordenando de forma ascendente: 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9.

El valor que queda al centro es el 5

Ejemplo par: Obtener la mediana de los siguientes datos: -3, 5, 18, 4, 11, -6, 9, 10, -1, 2.

Solución: Ordenando de forma ascendente: -6, -3, -1, 2, 4, 5, 9, 10, 11, 18.

Los valores centrales son 4 y 5. Su media aritmética es: (4 + 5)/2 = 4.5

MODA:

Ejemplo: Obtener la moda de los siguientes datos: -3, 3, -2, 0, 3, -1, -2, 4, 5, -2, 0, 1.

Solución: Ordenando de forma ascendente: -3, -2, -2, -2, -1, 0, 0, 1, 3, 3, 4, 5. El valor que

más se repite es el -2, por lo tanto ese valor es su moda.

Ejemplos para datos agrupados:

Determine la media aritmética, la mediana y la moda correspondientes a las ventas de aceite

FINO VITAMINAS de INDUSTRIAS FINO:

# l Límites Fronteras

MC f fa(-) fr % fra (-) % Li Ls Fi Fs

1 2 4 1.5 4.5 3 5 5 16.67 16.67

2 5 7 4.5 7.5 6 10 15 33.33 50.00

3 8 10 7.5 10.5 9 4 19 13.33 63.33

4 11 13 10.5 13.5 12 7 26 23.33 86.66

5 14 16 13.5 16.5 15 2 28 6.67 93.33

6 17 19 16.5 19.5 18 2 30 6.67 100

18



Calculo de la Media o Promedio:

�̅� =∑ 𝑀𝐶∙𝑓

𝑛 =

261

30= 8.70

Interpretación:

Las ventas diarias de aceite alcanzan un promedio de 8,700 dólares

2. CALCULAR LA MEDIANA.

Me = Fi + 𝑛

2 −𝑓(𝑖−1)

𝑓∗ 𝐶

Me = 4.5 +

30

2 −5

10∗ 3

Me = 7.5

Interpretación:

50% de las ventas diarias de aceite están por debajo de los 7.500 dólares y el 50% se

encuentran por encima de dicha cantidad.

3. CALCULAR LA MODA

CFiMo

21

1

∆𝟏 =𝒇−𝒇(𝒊−𝟏)

∆𝟐 = 𝒇−𝒇(𝒊+𝟏)

Mo = 4.5 + 5

5+6 * 3

Mo = 5.86

MC 𝑓 𝑀𝐶 ∙ 𝑓 3 6 9 12 15 18

5 10 4 7 2 2

15 60 36 84 30 36

30 261

Fi 𝑓 𝑓𝑎 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5

5 10 4 7 2 2

5 15 19 26 28 30

30

Fi 𝑓 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5

5 10 4 7 2 2

30

19



Interpretación: Lo más frecuente (lo más común) es que se venda diariamente 5,860 dólares

4. CALCULAR EL CUARTIL Q1.

Q1= Fi + 𝑛

4 − 𝑓𝑎(𝑖−1)

𝑓 * C

Q1= 4.5 + 7.5−5

10∗ 3

Q1= 5.25

Interpretación: 25% de las ventas diarias de aceite son iguales o están por debajo de los 5.25 miles de dólares.

5. CALCULAR CUARTIL Q3.

Q3= Fi +

3𝑛

4 − 𝑓𝑎(𝑖−1)

𝑓 * C

Q3 = 10.5 + 22.5−19

1 * 3

Q3 = 12 Interpretación: 75% de las ventas diarias de aceite están por debajo de los 12 mil dólares.

6. CALCULAR PORCENTIL P10.

P10= Fi +

10𝑛

100 − 𝑓𝑎(𝑖−1)

𝑓 * C

P10= 1.5 + 3−0

5 * 3

P10= 3.3

Interpretación: 10% de las ventas diarias de aceite están por debajo de los 3.3 miles de dólares.

7. CALCULAR PORCENTIL P90.

20



P90= Fi +

90𝑛

100 − 𝑓𝑎(𝑖−1)

𝑓 * C

P90= 13.5+ 27−26

2 * 3

P90= 15 Interpretación: 90% de las ventas diarias de aceite están por debajo de los 15 mil dólares.


3.1. RANGO

RANGO= MAX – MIN Para datos agrupados y no agrupados

3.2. DESVIACION MEDIA

𝐷𝑀 =∑|𝑥−�̅�|

𝑛 Para datos NO agrupados

𝐷𝑀 =∑|𝑥−�̅�|∙𝑓

𝑛 Para datos agrupados

3.3. RANGO SEMI-INTERCUARTIL

𝑅𝑆𝐼 = 𝑄3−𝑄1

2 Pa datos agrupados y no agrupados

3.4. DESVIACION TIPICA

𝑠 = √∑(𝑥−�̅�)2∙𝑓

𝑛 o 𝑠 = √

∑(𝑥−�̅�)2∙𝑓

𝑛−1 para datos agrupados

𝑠 = √∑(𝑥−�̅�)2

𝑛 o 𝑠 = √

∑(𝑥−�̅�)2

𝑛−1 para datos no agrupados

3.5. VARIANZA

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑠2 para datos agrupados y no agrupados

3.6. COEFICIENTE DE VARIACION

Nota. A. Si n < 30 se usa la formula

con el termino n-1. B. Si n ≥ 30 se usa la formula

con el termino n.

21



𝐶𝑉 =𝑠

�̅�𝑥100 para datos agrupados y no agrupados

Ejemplo (Para datos no agrupados)

Burger King-Santa Cruz analiza los tiempos de servicio, desea determinar

el cuál de la dos sucursales, el Cristo o la Blacutt, los tiempos de servicio

Están mejor controlados, esto debido a quejas de los clientes.

Para este efecto, se hace un pequeño estudio y se determinan los siguientes tiempos, en

minutos: SUC. EL CRISTO 12 15 14 15 9 8 7

SUC. BLACUTT 12 15 10 6 7 5 13

SUC. EL CRISTO

�̅� =∑ 𝑥

𝑛= 11.43 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

𝑠 = √∑(𝑥 − �̅�)2

𝑛 − 1= 3.41 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

𝐶𝑉 =𝑠

�̅�∙ 100 =

3.41

11.43∙ 100 = 29.83%

SUC. PLAZUELA BLACUTT

�̅� =∑ 𝑥

𝑛= 9.71 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

𝑠 = √∑(𝑥 − �̅�)2

𝑛 − 1= 3.82 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

𝐶𝑉 =𝑠

�̅�∙ 100 =

3.82

9.71∙ 100 = 39.30%

Como conclusión diremos que como el coeficiente de variación de la sucursal EL CRISTO es

el más pequeño los tiempos de servicio están mejor controlados o son más homogéneos en

22



esta sucursal. Note que la variación se produce por la existencia de valores bajos y altos y que

esta no se puede evitar, pero si controlar.

Ejemplo (Para datos agrupados)

Calcular: La desviación media, el rango semi – inter cuartil, la desviación estándar y la

varianza correspondientes para laventa de aceite FINO VITAMINAS.

DESVIACION MEDIA

�̅� =∑ 𝑥∙𝑓

𝑛 =

261

30= 8.70

𝐷𝑀 =∑|𝑥−�̅�|∙𝑓

𝑛=

111

30= 3.70

RANGO SEMI-INTERCUARTIL

𝑄1 = 𝐹𝑖 +𝑛

4−𝑓𝑎

𝑓∙ 𝑐 = 4.5 +

7.5−5

10∙ 3 = 5.25

𝑄3 = 𝐹𝑖 +3𝑛

4−𝑓𝑎

𝑓∙ 𝑐 = 10.5 +

22.5−19

7∙ 3 = 12

𝑅𝑆𝐼 = 𝑄3 − 𝑄1

2=

12 − 5.25

2= 3.38

DESVIACION ESTANDAR

�̅� =∑ 𝑥∙𝑓

𝑛 =

261

30= 8.70

𝑠 = √∑(𝑥−�̅�)2∙𝑓

𝑛= √

564.3

30 = 4.34

𝑥 𝑓 𝑥 ∙ 𝑓 |𝑥 − �̅�| ∙ 𝑓 3

6

9

12

15

18

5

10

4

7

2

2

15

60

36

84

30

36

28.5

27.0

1.2

23.1

12.6

18.6

261 111

𝑭𝒊 𝒇 𝒇𝒂 1.5

4.5

7.5

10.5

13.5

16.5

5

10

4

7

2

2

5

15

19

26

28

30

𝑥 𝑓 𝑥 ∙ 𝑓 (𝑥 − �̅�)2 ∙ 𝑓 3

6

9

12

15

18

5

10

4

7

2

2

15

60

36

84

30

36

162.45

72.9

0.36

76.23

79.38

172.98

261 564.3

23



VARIANZA

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑠2 = 3.342 = 18.84

3.7. DIAGRAMA BOX PLOT (DIAGRAMA DE CAJA)

Este es un diagrama muy usado para observar la dispersión de los datos.

Ejemplo: AT&T multinacional norteamericana, diseña un componente electrónico

para una nueva tarjeta de red. La empresa ha recopilado información acerca del tiempo de vida

útil de este componente en años. Resuma la información en un cuadro de distribución de

frecuencias. Grafique el BOX PLOT.

3 4 4 4 4 5 5 5 5 6

7 7 7 7 7 9 9 9 1

0

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

5

1

5

1

7 1

8

MIN=3

MAX=18

𝑄1 = 𝐹𝑖 +

𝑛4 − 𝑓𝑎

(𝑎𝑛𝑡. )

𝑓∙ 𝐶 = 4.5 +

7.5 − 5

10∙ 3 = 5.25

𝑄2 = 𝐹𝑖 +

2 ∙ 𝑛4 − 𝑓𝑎

(𝑎𝑛𝑡. )

𝑓∙ 𝐶 = 4.5 +

15 − 5

10∙ 3 = 7.50

𝑄3 = 𝐹𝑖 +

3 ∙ 𝑛4 − 𝑓𝑎

(𝑎𝑛𝑡. )

𝑓∙ 𝐶 = 4.5 +

22.5 − 19

7∙ 3 = 12

Ventas diarias

24



Ventas diarias

Densidad y concentración de datos (medidas de forma) SESGO O ASIMETRIA (Cas)

s

Moda)-

_

x( Cas

s

Me)-

_

x3( Cas

Kurtosis o apuntamiento Coeficiente de Kurtosis (K)

10P

90P

RSI K

Interpretación:

K = 0.263 La curva es Mesocúrtica K > 0.263 La curva es Leptocúrtica K < 0.263 La curva es Platicúrtica Gráficamente:

AS = (+) AS = 0 AS = (-)

25



8.7030

261

n

f*MCx

Ejemplo resuelto: Las Ventas de Aceite en dólares de la INDUSTRIAS de ACEITE FINO, Determinar el Coeficiente de Asimetría (Cas) y el coeficiente de Kurtosis (K)

CUADRO DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

# I Limites Fronteras

MC fi Fi (-) fr%

Fr% (-)

Li Ls Fi Fs

1 2 4 1.5 4.5 3 5 5 16.67 16.67

2 5 7 4.5 7.5 6 10 15 33.33 50.00

3 8 10 7.5 10.5 9 4 19 13.33 63.33

4 11 13 10.5 13.5 12 7 26 23.33 86.66

5 14 16 13.5 16.5 15 2 28 6.67 93.33

6 17 19 16.5 19.5 18 2 30 6.67 100

Determinar el coeficiente de Asimetría (Cas)

MC fi MC*fi fxMC 2

3 5 15 162.45

6 10 60 72.9

9 4 36 0.36

12 7 84 76.23

15 2 30 79.38

18 2 36 172.98

261 564.3

Fi F fa

1,5 5 5

4,5 10 15

7,5 4 19

dólares de miles 34.4

30

564.3

n

.f2

xMCs

26



dólares de miles .507310

515.54iMe

f

1)-i fa(2

n

CF

Reemplazando se tendrá:

s

Me)-

_

x3( Cas Cas = 83.0

34.4

)50.770.8(3

El coeficiente es positivo, por lo tanto la distribución es sesgada a la derecha. Determinar el Coeficiente de Kurtosis (K)

78.32

25.512

2

13

QQ

RSI

3.335

03.51

1)-fa(i100

10.n

Fi10

Pf

C

Reemplazando se tendrá:

10,5 7 26

13,5 2 28

16,5 2 30

Li fi FI

1.5 5 5

4.5 10 15

7.5 4 19

10.5 7 26

13.5 2 28

16.5 2 30 1237

1922.55.10

)1fa(4

3.n

Fi3

Qf

C

i

1532

26-2713,5

1)-fa(i100

90.n

Fi90

Pf

C

ca.Leptocurti esón distribuci la 0,32313.315

3.78

10P

90P

RSI K

25.5310

57.55.4

)1fa(4

1n

Fi1

Qf

C

i

27



Problemas ABP propuestos de medidas de dispersión

1. Dos obreros del mismo trabajo muestran los siguientes resultados en un periodo

determinado en minutos.

Medidas Obreros

A B

Tiempo promedio para el desarrollo de su trabajo 42 35

Desviación típica 8 6

Calcular:

a) ¿Cuál es el más regular en el desarrollo de su trabajo?

b) ¿Cuál es el más rápido en terminar el trabajo?

2. Supongamos que en acucioso empleado de SAGUAPAC, realiza una muestra de 60

usuarios del servicio, sobre los reclamos en los 2 últimos años por esas personas, con

los siguientes resultados:

Número de reclamos Números de usuarios

0

1

2

3

4

5

6

7

26

10

8

6

4

3

2

1

Se pide hallar:

a) El promedio de reclamos

b) La varianza y su desviación típica

c) El coeficiente de variación

1. Industria PIL, realiza diariamente un control de la calidad de temperatura en ºC con

que llega la leche a la planta procesadora, las mediciones de las últimas tres horas, ya

tabuladas, se muestran a continuación:

Intervalos de

temperatura Frecuencia

28



A. Complete la tabla de distribución de frecuencias.

B. Determine la desviación típica, la varianza y el coeficiente de variación.

2. BANCO BISA, ha sacado al mercado un nuevo tipo de préstamo a una tasa de interés

accesible. La cantidad de dinero prestada, en miles de dólares, así como la cantidad de

clientes que han hecho los préstamos se detallan a continuación:

A. Complete la tabla de distribución de frecuencias.

B. Determine la desviación típica, la varianza y el coeficiente de variación.

3. En dos empresas petroleras se realizó un estudio del número de accidentes que se dan

por no usar ropa y accesorios de seguridad. Se quiere saber en cuál de ellas está mejor

controlada la seguridad y por qué.

4. El gerente de marketing de TIENDAS LEVI`S – SANTA CRUZ, analiza las ventas en

dos de sus sucursales. Indíquele Ud. en cuál de ellas las ventas son más homogéneas y

permiten hacer una planificación a futuro con objeto de ampliar la tienda. (Los datos

representan las ventas en cientos de dólares mensuales)

05 – 09 4

10 – 14 12

15 – 19 25

20 – 24 32

25 – 29 11

30 - 34 12

Monto de

los

préstamos

Nº de

clientes

01 – 30 95

31 – 60 114

61 – 90 10

91 - 120 1

BOLINTER 8 7 6 5 9 9 6 4 7 5

PETBOL 12 5 12 6 9 6 4 5 3 4

SUCURSAL1 42 40 46 45 39 39 38 44 51

SUCURSAL2 42 53 52 37 51 46 44 53 52

29



5. A continuación presentamos los datos de una muestra de la tasa de producción diaria

de escobas de una empresa en el TORNO:

17, 21, 18, 27, 17, 21, 20, 22, 18, 23

El gerente de producción de la empresa siente que una desviación estándar de más de 4

escobas diarias indica variaciones de tasas de producción inaceptables. ¿Deberá preocuparse el

gerente por las tasas de producción de la empresa?

6. El número de cheque cobrados diariamente en una sucursal del BANCO NACIONAL

DE BOLIVIA durante el mes anterior tuvo la siguiente distribución de frecuencias:

El director de operaciones del banco, sabe que una desviación media en el cobro de cheques

mayor a 200 ocasiona problemas de personal y organización en la sucursal. ¿Deberá

preocuparse por la cantidad de empleados que va ha ocupar el siguiente mes?

7. FERROTODO analiza el desempeño de 3 de sus vendedores, se ha calificado la

coherencia en torno a los objetivos de venta establecidos. La calificaciones mostradas

son las de los últimos 5 meses:

LINDA KYLIE ANN

88 76 104

68 88 88

89 90 118

92 86 88

103 79 123

Cuál de las vendedoras ha sido más coherente.

8. Un encargado de compras ha obtenido muestras de lámparas incandescentes de 2

proveedores. Envía estas muestras a un laboratorio donde se realizan pruebas respecto

a la vida útil, con los siguientes resultados:

Duración de la vida útil (En

horas)

Muestra de:

Proveedor A Proveedor B

700 – 899 10 3

900 – 1099 16 42

1100 – 1299 26 12

CLASE f

0 – 199 10

200 – 399 13

400 – 599 17

600 – 799 42

800 - 999 18

30



1300 - 1499 8 3

A. Las lámparas de qué proveedor tienen mayor promedio de duración.

B. Las lámparas de qué proveedor tienen mayor uniformidad, respecto a su vida útil.

Practico de cálculo del coeficiente de Asimetria Cas y el coeficiente de Kurtosis K

1. FABRICA DE BOMBAS DE COMBUSTIBLE

TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIA

Li Ls M*C Fi Fr Fp FI + FI - FR + FR -

31 36 33,5 8 0,2 20% 8 40 0,2 1

36 41 38,5 9 0,225 22,50% 17 32 0,425 0,8

41 46 43,5 10 0,25 25% 27 23 0,675 0,575

46 51 48,5 7 0,175 17,50% 34 13 0,85 0,325

51 56 53,5 2 0,05 5% 36 6 0,9 0,15

56 61 58,5 1 0,025 2,50% 37 4 0,925 0,1

61 66 63,5 3 0,075 7,50% 40 1 1 0,075

40 1 100%

3. PESOS DE LINGOTES DE ORO

TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

Li Ls MC fi fr fp FI+ FI- FR+ FR-

119 131 125 5 0,0833 8% 5 60 0,0833 1

131 143 137 7 0,1167 12% 12 55 0,2 0,9167

143 155 149 8 0,1333 13% 20 48 0,3333 0,8

155 167 161 10 0,1667 17% 30 40 0,5 0,6667

167 179 173 11 0,1833 20% 41 30 0,6833 0,5

179 191 185 10 0,1667 17% 51 19 0,85 0,3167

191 203 197 9 0,15 13% 60 9 1 0,15

60 1 100%

0

0

31



4. FABRICA DE LLANTAS PIRELLY

Unidad No 4

Análisis de regresión y correlación

OBJETIVO:

Identificar los diferentes métodos de ajuste.

Aplicar método de mínimos cuadrado

Determinar pronósticos en base a datos históricos.

Interpretar el grado de correlación entre dos variables.

Analizar los resultados mediante el coeficiente de correlación y sus aplicaciones

METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS:

Y=A + BX

Calculo de A y B:

𝐴 = ∑ 𝑦 ∑ 𝑥2 − ∑ 𝑥 ∑ 𝑥𝑦

𝑁 ∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥)2 𝐵 =

𝑁 ∑ 𝑋𝑌 − ∑ 𝑋 ∑ 𝑌

𝑁 ∑ 𝑋2 − (∑ 𝑋)2

Li Ls MC fi fr fp FI+ FI- FR+ FR-

91,55 92,25 91,9 2 0,04 4% 2 50 0,04 1

92,25 92,95 92,6 7 0,14 14% 9 48 0,18 0,96

92,95 93,65 93,3 6 0,12 12% 15 41 0,3 0,82

93,65 94,35 94 16 0,32 32% 31 35 0,62 0,7

94,35 95,05 94,7 10 0,2 20% 41 19 0,82 0,38

95,05 95,75 95,4 5 0,1 10% 46 9 0,92 0,18

95,75 96,45 96,1 4 0,08 8% 50 4 1 0,08

32



Fórmula para determinar el coeficiente de correlación R.

𝑅2 = 𝑁 ∑ 𝑋𝑌 − ∑ 𝑋 ∑ 𝑌

√[𝑁 ∑ 𝑋2 − (∑ 𝑥)2] ∗ [𝑁 ∑ 𝑌2 − (∑ 𝑌)2]

Problema ABP resuelto:

1. Una Organización de estudio de consumidores desea determinar la relación entre el precio de una

pila para radio de transmisores en función al número de duración de horas de la pila. Se compró

una muestra de 11 pilas con los resultados dados en la siguiente tabla:

“Y” Precio 24 32 49 49 39 69 69 89 119 79 35

“X” Duración 5.4 4.8 6.3 7.2 6.3 6.8 6.8 10.2 13.1 9.2 6.0

a) Encuentre el diagrama de dispersión.

b) En el supuesto de una relación lineal, encontrar los coeficientes de la regresión A y B.

c) Prediga el precio por fila si la duración de esta última es de 10 Hr.

d) Calcule el coeficiente de determinación 𝑅2 e interprete su significado en este problema.

Operación auxiliar:

X Y X × Y 𝐗𝟐 𝐘𝟐

5.4 24 129.6 29.16 576

4.8 32 153.6 23.04 1024

6.3 49 308.7 39.69 2401

7.2 49 352.8 51.84 2401

6.3 39 245.7 39.69 1521

7.4 69 510.6 54.76 4761

6.8 69 469.2 46.24 4761

10.2 89 907.8 104.04 7921

13.1 119 1558.9 171.61 14161

9.2 79 726.8 84.64 6241

6.0 35 210 36 1225

∑X= 82.7 ∑Y= 653 ∑X×Y= 5573.7 ∑𝐗𝟐 ∑𝐘𝟐

33



a) Encuentre el diagrama de dispersión.

b) En el supuesto de una relación lineal, encontrar los coeficientes de la regresión A y B.

𝑨 =∑𝐘 × ∑𝑿𝟐 − ∑𝐗 × ∑𝐗 ∗ 𝒀

𝑵 × ∑𝑿𝟐 − (∑𝑿)𝟐

𝐴 =653 × 680.71 − 82.7 × 5573.7

11 × 680.71 − (82.7)2

𝐴 = −25.352

𝑩 =𝐍 × ∑𝐗 ∗ 𝒀 − ∑𝐗 × ∑𝒀

𝑵 × ∑𝑿𝟐 − (∑𝑿)𝟐

𝐵 =11 × 5573.7 − 82.7 × 653

11 × 680.71 − (82.7)2

𝐵 = 11.268

c) Prediga el precio por fila si la duración de esta última es de 10 Hr.

𝐘 = 𝐀 + 𝐁𝐗

Y = (−25.352) + (11.268) × 10

Y = 87.328

d) Calcule el coeficiente de determinación 𝑹𝟐 e interprete su significado en este problema.

34



𝐑𝟐 =(𝐍 × ∑𝐗 ∗ 𝐘 − ∑𝐗 × ∑𝐘 )𝟐

[(𝐍 × ∑𝐗𝟐 − (∑𝐗)𝟐 ][[(𝐍 × ∑𝐘𝟐 − (∑𝐘)𝟐 ]

R2 =(11 × 5573.7 − 82.7 × 653 )2

[(11 × 680.71 − (82.7)2 ][[(11 × 46993 − (653)2 ]

R2 = 0.9097 ⇨ 90.97 % , de la variación del precio de la pilas se debe a la variación a las horas de duración de cierta marca de pila.

Problemas ABP propuestos

1. EL gerente de una cadena de heladerías SAVORY quiere estudiar el efecto de la

temperatura ambiente sobre las ventas de la temporada de calor. Se selecciona una muestra

aleatoria de 10 días y los resultados se dan en la siguiente tabla:

Temperatura(C

o) 17 21 23 24 27 28 29 31 32 33

Ventas por heladería(en cientos de

dólares )

15 17 18 20 24 22 27 29 31 31

a) En la supuesto de una relación lineal encontrar los coeficientes de la regresión A y B

b) Prediga las ventas por heladería, por día cuanto la temperatura es de 21o; 38o y 36o c) Calcule el coeficiente de determinación r e interprete su significado en este problema

2. Una economista que trabaja en el rubro de automóviles desea medir la relación del precio

de compra de los automóviles nuevos en función al ingreso familiar. Se selecciona una

muestra aleatoria de 9 personas que compraron autos nuevos con los resultados de la

siguiente tabla:

Ingreso familiar(miles de dólares) 10.2 14.4 16.3 20.0 24.3 11.6 32.8 9.4 26.7

Precio de compra (miles de dólares) 3.6 4.1 3.9 5.2 5.1 3.9 7.8 3.4 9.1

3. Realizar la proyección de la oferta de Leche (Lt.), para los próximos 5 años de acuerdo a

los siguientes datos.

Datos Históricos de la oferta de Leche “Pil “

(en miles)

Año 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Oferta (Lts.) 150 180 220 235 255 265

4. Encuentre la proyección de abastecimiento de frutilla de los valles cruceños para los

próximos 5 años a partir de la siguiente información.

35



año Producción de Frutilla (kilos)

2011 875

2012 905

2013 947

2014 972

2015 1007

5. Se sabe que la producción de naranja en la zona norte del departamento de Santa cruz, en

los últimos dos años fue de:

año Producción de Naranja

(kilos)

2014 975

2015 1005

Determinar la proyección para los siguientes 5 años siguientes

6. Una organización de estudio de consumidores desea determinar la relación entre el precio

de una pila para radio de transmisores en función al número de horas de duración de la pila.

Se compró una muestra de 11 pilas con los resultados dados en la siguiente tabla:

Precio(dólar) 24 32 49 39 69 69 89 119 79 35

Duración(horas) 5.4 4.8 6.3 7.2 6.3 7.4 6.8 13.1 9.2 6.0

a) Encuentre la curva de ajuste lineal b) Calcule el coeficiente de correlación r.

c) Cuando la vida útil es de 4 horas; 7 horas; 10 horas cuanto será su precio

7. En un estudio técnico económico se dispone de la siguiente información histórica de ventas

de BATERIAS TOYO, en miles de unidades, de fabricación Boliviana:

Año 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Ventas 12 14 15 13 16 19 18 20 22

Se desea efectuar la proyección de las ventas para los próximos tres años siguientes.

8. El gerente de personal de la CRE considera que puede haber una relación entre el

ausentismo y la edad y querría usar la edad de un empleado para predecir el número de días

de ausencia durante un año calendario. Se selecciona una muestra aleatoria de 11

empleados, con los resultados en la siguiente tabla:

Ausencia 15 13 6 10 18 9 7 14 11 5 8

edad 27 24 61 37 23 46 54 39 36 64 40

a) Encuentre la curva de ajuste lineal b) Si un trabajador ha faltado durante 10 días. Qué edad podría tener

36



c) Cuantos días de ausencia se pronosticara un trabajador de 54 años

9. Un análisis toma una muestra aleatoria de 19 embarques recientes por camión realizados

por una empresa y registra la distancia en kilómetros y el tiempo de entrega al medio día

más cercano a partir del momento en que el embarque estuvo listo para su carga. Las

observaciones muéstreles de distancia de acarreo y tiempo de entrega de 10 embarques

aleatoriamente seleccionados se muestra en la siguiente tabla.

Embarque muestreado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Distancia(en KM) 825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 1215

Tiempo de entrega en días 3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0

Se pide:

a. En el supuesto de una relación lineal utilice el método de los mínimos

cuadrados para calcular los coeficientes de regresión de A y B

b. ¿Cuántos días estimaría la entrega a partir del momento en que el embarque

está listo para su carga de un embarque de 1000 kilómetros?

c. Determine e interprete el coeficiente de correlación y determinación

Unidad No 5

Introducción a las probabilidades

OBJETIVOS:

El estudiante analiza información estadística utilizando la teoría de probabilidades.

Interpretar las definiciones básicas de los elementos de probabilidad.

Identifica el tipo de evento definido en el mismo espacio muestral.

Reconocer la importancia de la aplicación del Teorema de Bayes.

Desarrollar habilidades para resolver problemas de probabilidades.

Preguntas

a) Orígenes de la Estadística Inferencial

b) Aplicaciones de la estadística Inferencial

c) En un ejemplo real explique la aplicación de la Estadística Inferencial

d) ¿A que se denomina inferencia estadística?

e) ¿A que se denomina inducción estadística?

f) Que es probabilidad

g) Definición de Evento; Espacio muestral; Experimento.

h) Leyes de la Probabilidad

37



PROBABILIDADES

Ejemplo: Según el enfoque de probabilidad clásica cuál es la probabilidad de que usted gane

un sorteo que tiene 100 números y compró 3 cupones.

𝑃(𝑔𝑎𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒𝑜) =3

100= 0,03 = 3%

Usted tiene un 3% de probabilidades de ganar el sorteo.

Calculo de la probabilidad de la Adición para eventos independientes

Ejemplo: Se tiene una baraja de cartas (52 cartas sin jokers), ¿ Cuál es la probabilidad de

sacar una Reina ó un As? Sea A = sacar una reina y sea B = sacar un as, entonces:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A) =4

52 ; P(B) =

4

52

P(A ∪ B) =4

52+

4

52=

8

52

Calculo de la probabilidad de la Adición para eventos dependientes

Ejemplo: Se lanzan un dado. Usted gana $ 3000 pesos si el resultado es par ó divisible por

tres ¿Cuál es la probabilidad de ganar? Lo que primero hacemos es definir los sucesos:

Sea A = resultado par: A = {2, 4, 6}

Sea B = resultado divisible por 3: B = {3, 6} .

Ambos sucesos tienen intersección? (A ∩ B) = {3}

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) =3

6+

2

6−

1

6=

4

6

38



Cálculo de una probabilidad Condicional.

Se tiene un grupo de 10 estudiantes, 4 son hombres y 6 damas, de los 4 hombres 1 estudia

economía y de las mujeres 3. Si se toma una persona al azar y es economista.

a) ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer?

P (A/B) =𝑷 (𝑨∩𝑩)

𝑷 (𝑩)

En nuestro caso sería:

P (mujer/economista) =𝑃 (𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟∩𝑒𝑐𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎)

𝑃 (𝑒𝑐𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎) =

3

4 = 0,75 ---- 75%

Calculo de la probabilidad de la Multiplicación para eventos independientes

Ejemplo: La cafetería de la Universidad tiene un 20% de probabilidad de vender pizza y un

30% de probabilidad de vender refresco de piña. ¿Cuál es la probabilidad que un cliente venga

y pida un pollo y un refresco de piña?

Como notamos no tienen relación el pollo y la piña, bien la persona puede pedir una

hamburguesa y una soda. Este ejercicio se resuelve muy fácil.

El Evento A es la compra de la Pizza.

El Evento B es la compra del Refresco de Piña.

La probabilidad de dos eventos independientes:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

P(A ∩ B) = (0,2 x 0,3) = 0,06 ------ 6%

Se tiene un 6% de probabilidad que la persona compre una pizza y un refresco de piña.

Calculo de la probabilidad de la Multiplicación para eventos dependientes

Ejemplo: El gerente de crédito de la Cooperativa Jesús Nazareno recolecta datos de 100 de sus

clientes. De los 60 hombres, 40 tienen tarjetas. De las 40 mujeres, 30 tienen tarjetas. Diez de

los hombres tiene saldos vencidos, mi entras que 15 de las mujeres tienen saldos vencidos. El

gerente quiere determinar la probabilidad que un cliente seleccionado al azar sea.

39



a) Una mujer con tarjeta.

La probabilidad de dos eventos dependientes:

P (A ∩ B) = P(A) x P (B/A) En nuestro caso:

P (Mujer ∩ Tarjeta) = P (Mujer) x P (Tarjeta dado que es mujer)

P (Tarjeta dado que es mujer) = (𝑇𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡𝑎 ∩ 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)

𝑃(𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)=

30

40= 0,75

P (Mujer ∩ Tarjeta) = 0,4 x 0,75 = 0,3------30%

Tenemos un 30% de probabilidades de seleccionar una persona al azar y sea una mujer con

tarjeta.

b) Una mujer con saldo.

P (Mujer ∩ Saldo) = P (Mujer) x P (Saldo dado que es mujer)

P (Saldo dado que es mujer) = (𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 ∩ 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)

𝑃(𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)=

15

40= 0,375

P (Mujer ∩ Saldo) = 0,4 x 0,375 = 0,15------15%

Tenemos un 15% de probabilidades de seleccionar un encuestado al azar y sea una Mujer con

saldo.

Ejemplo 2: Usted es gerente comercial de la nueva soda “Guaraná Conti” teniendo en cuenta

que el producto no ha entrado al mercado local usted realizó una degustación masiva en

ciertos sectores estratégicos de la Ciudad preguntando ¿Qué le parecía el sabor de esta nueva

soda? Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia.

Sector Regular Buena Excelente Total

Centro 20 40 100 160

Urubó 30 60 120 210

Urbarí 25 80 80 185

Equipetrol 0 20 50 70

Plan 3000 15 20 40 75

Polanco 15 30 100 145

Banzer 30 45 80 155

Total 135 295 570 1000

40



Si se selecciona un encuestado al azar ¿Cuál es la probabilidad?

a) ¿Qué opine que el sabor es Excelente?

P(J) =570

1000= 0,57→ 57%

El 57% opinan que el sabor es excelente

b) ¿Qué sea de Equipetrol?

P(D) =70

1000= 0,07→ 7%

El 7% de los degustadores son de equipetrol

c) ¿Qué sea de Urbarí y crea que el sabor de la soda es bueno?

𝑃(𝐶 ∩ 𝐼) =80

1000= 0,08→8%

El 8% de los degustadores son de Urbari y creen que el sabor de la soda es bueno.

d) ¿Qué sea de la Banzer y piense que el sabor es Regular?

𝑃(𝐺 ∩ 𝐻) =30

1000= 0,03→ 3%

El 3% de los degustadores son de la Banzer y piensan que el sabor es regular.

e) ¿Qué sea del centro ó del Plan 3000?

P(A ∪ E) = P(A) + P(E) =160

1000+

75

1000=

235

1000= 0,235→23,5%

El 23,5% de los degustadores son del centro o del plan 3000.

f) ¿Qué sea de Polanco ó del Urubó?

P(F ∪ B) = P(F) + P(B) =145

1000+

210

1000=

355

1000= 0,355→35,5%

El 35,5% de los degustadores son de polanco o del urubo.

g) ¿Qué sea de la Banzer ó tenga una opinión Buena del Sabor?

P(G ∪ I) = P(G) + P(F) − P(G ∩ I)

P(G ∪ I) =155

1000+

295

1000−

45

1000=

405

1000= 0,4050→40,5%

El 40,5% de los degustadores son de la Banzer y piensan que el sabor es bueno.

h) ¿Qué tenga una opinión excelente ó sea de Equipetrol?

𝑃(𝐽 ∪ 𝐷) = 𝑃(𝐽) + 𝑃(𝐷) − 𝑃(𝐽 ∩ 𝐷)

𝑃(𝐽 ∪ 𝐷) =570

1000+

70

1000−

50

1000=

590

1000= 0,59→ 59%

El 59% de los degustadores tienen una opinión excelente o son de Equipetrol.

i) ¿Qué sea del centro dado que dice que el sabor es Regular?

𝑃 (𝐴

𝐻) =

𝑃(𝐴∩𝐻)

𝑃(𝐻)=

20

135= 0,1481→14,84%

El 14,81% son del centro dado que dicen que el sabor es regular.

j) ¿Qué diga que el sabor es regular dado que es del Centro de la Ciudad?

P (H

A) =

P(H∩A)

P(A)=

20

160= 0,125→12,5%

El 12,5% de los degustadores dicen que el sabor es regular dado que son del centro de la

ciudad.

41



Teorema de Bayes:

Ejemplo: La planta de cerveza Real está en Warnes, cuenta con 5 máquinas para

producirla, la primera produce 1000 latas por hora y solo 50 salen con desperfectos, la

segunda produce 1500 latas solo el 2% salen en muy mal estado, la tercera produce el doble

que la primera y 200 salen en condiciones no muy buenas, mientras que la cuarta produce lo

mismo que la segunda y el mismo porcentaje defectuoso que la primera. La quinta es una

maquina nueva y de tecnología de punta, esta produce 1000 latas por hora y todas salen en

buen estado. La primera trabaja 5 horas al día, la segunda 3, la tercera 10, y la cuarta y la

quinta 8. Ayer llego un cliente protestando porque tomo una lata con desperfectos.

Producción √ x Hrs.*día Producción

Total Proporción

Maquina 1 1000 0,95 0,05 5 5000 0,1010

Maquina 2 1500 0,98 0,02 3 4500 0,0909

Maquina 3 2000 0,90 0,10 10 20000 0,4040

Maquina 4 1500 0,95 0,05 8 12000 0,2424

Maquina 5 1000 1 0 8 8000 0,1616

Ʃ49500 Ʃ1

Arbol de Probabilidades

0,1010 maq 1

0,95 √

Ʃ=1

0,05 x

0,0909 maq 2

0,98 √

Ʃ=1

0,02 x

Ʃ = 1 0,4040 maq 3

0,90 √

Ʃ=1

0,10 x

0,2424 maq 4

0,95 √

Ʃ=1

0,05 x

0,1616 maq 5

1 √

Ʃ=1

0 x

42



a) ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la segunda maquina? (0,02)(0,9090)

(0,02)(0,0909)+(0,05)(0,1010)+(0,10)(0,4040)+(0,05)(0,2424) =

0,001818

0,059388 = 0,0306 →3,06%

Existe un 3,06% de probabilidad que la lata defectuosa la haya producido la maquina 2.

b) Pedro tiene en la mano una lata en buen estado ¿Cuál es la probabilidad que haya

sido producida por la tercera o la quinta maquina? (0,90)(0,4040)

(0,90)(0,4040)+(0,95)(0,1010)+(0,98)(0,0909)+(0,95)(0,2424)+(1)(0,1616)=

0,3636

0,940512 → 38,65%

(1)(0,1616)

(1)(0,1616)+(0,95)(0,1010)+(0,98)(0,0909)+(0,90)(0,4040)+(0,95)(0,2424)+(1)(0,1616)=

0,1616

0,940512 →17,18%

Se tiene un 55,83% de probabilidad que la lata en buen estado haya sido producida por la

tercera o la quinta máquina

Problemas ABP propuestos:

1. Si se saca una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuáles de las siguientes parejas de

eventos son mutuamente excluyentes o no?

A = Que sea una carta roja

B = Que sea una carta de corazón

C = Que sea un numero par

D = Que sea un 3 de espadas

A y B…………….. B y C……………….

A y C……………. B y D………………..

A y D…………….. C y D……………….

2. Si se lanzan dos dados a la vez y se quiere analizar la suma de los dos resultados.

Determinar si los siguientes eventos son ME o NME.

A=La suma de los dos resultados sea un numero par

B=La suma es un número cinco

3. Se sacan dos cartas con restitución una baraja de 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que

ambas sean corazones?

43



4. El mes pasado en la Universidad UTEPSA se aplicó una encuesta para conocer a profundidad.

¿Cuántas personas utilizaban facebook y con qué objetivo lo hacían?, los resultados fueron

escalofriantes. De los 380 encuestados, 370 tenían una cuenta, 300 admitieron que lo usan todos

los días, y 230 admiten estar conectados más de 2 horas diarias, 103 alumnos ingresan por el mero

hecho de solo estar informado de la vida de otros y 68 comentan que lo utilizan con fines

académicos. De todos los que ingresan solo para socializar el 40% es de sexo masculino y de los

que están más de 2 horas diarias el 74% son mujeres.

También se realizó una encuesta en la UDABOL. En dicha institución se entrevistaron a

360 estudiantes y 302 de ellos admitió tener una cuenta en el facebook, lo curioso es que

el 90% de los que tienen cuenta admiten entrar todos los días y de estos el 80% más de 2

horas.

Teniendo en cuenta esta información conteste las siguientes preguntas.

a) Del total de los encuestados. ¿Qué porcentaje utiliza facebook.com? b) Del total de usuarios del facebook. ¿Qué porcentaje lo utiliza todos los días? c) Del total de usuarios diarios de UTEPSA. ¿Qué porcentaje permanece conectado más de 2

horas?

d) Del total de usuarios del facebook de UTEPSA. ¿Qué porcentaje ingresan con fines académicos?

e) ¿Qué cantidad de hombres representan el 40% de los usuarios que ingresan al facebook solo para socializar en la UTEPSA?

f) ¿Qué cantidad de mujeres representa el 74% de las personas que se conectan más de 2 horas por día en UTEPSA?

g) ¿Qué Universidad tiene más porcentaje de estudiantes que utilizan el facebook? h) ¿Qué Universidad tiene más porcentaje de estudiantes que ingresan al facebook todos los

días?

i) De todos los encuestados en ambas universidades. ¿Qué cantidad de estudiantes representa el porcentaje de estudiantes que están conectados más de 2 horas por día?

5. La Universidad Tecnológica Privada de Santa Cruz (UTEPSA) cuenta con una población de

10.000 estudiantes, cada uno con sueños y metas diferentes pero con una misma misión, aprender a

formar un negocio propio. Usted como analista de información de la Universidad necesita conocer

las proporciones por sexo de las Facultades y el departamento de Sistemas le muestra el siguiente

cuadro. Teniendo en cuenta la información que en este se encuentra y que usted se encontró un

estudiante en la calle. Responda las siguientes preguntas.

Facultades. Hombres Mujeres

Facultad. Ciencias Empresariales. 1500 2500

Facultad. Ciencias Tecnológicas. 2500 1000

Facultad. Ciencias Jurídicas. 500 1000

Facultad. Relaciones Internacionales. 500 500

44



Preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad que este estudiante sea mujer?

b) ¿Cuál es la probabilidad que este estudiante sea de la Facultad de Ciencias

Tecnológicas?

c) ¿Cuál es la probabilidad que sea hombre y de la Facultad de Relaciones

Internacionales?

d) ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer y estudie en la Facultad de Tecnología?

e) Bajo el supuesto que el estudiante fue hombre. ¿Cuál es la probabilidad que estudie

en la facultad de Ciencias Empresariales?

f) Bajo el supuesto que el estudiante pertenece a la Facultad de Tecnología. ¿Cuál es la

probabilidad que sea Mujer?

g) ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer ó de la Facultad de Relaciones

Internacionales?

h) ¿Cuál es la probabilidad que sea Hombre ó de la Facultad de Tecnología?

i) ¿Cuál es la probabilidad que sea de la Facultad de Ciencias Empresariales ó

Tecnológicas?

j) ¿Cuál es la probabilidad que sea de cualquier Facultad menos la de Ciencias

Jurídicas?

6. Usted es gerente comercial de la nueva soda “Guaraná Conti” teniendo en cuenta que el

producto no ha entrado al mercado local usted realizó una degustación masiva en ciertos

sectores estratégicos de la Ciudad preguntando ¿Qué le parecía el sabor de esta nueva

soda? Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia.

Sector Regular Buena Excelente

Centro 20 40 100

Urubó 30 60 120

Urbarí 25 75 83

Equipetrol 10 23 50

Plan 3000 15 25 40

Polanco 35 35 110

Banzer 36 45 80

Si se selecciona un encuestado al azar ¿Cuál es la probabilidad?

b) ¿Qué opine que el sabor es Excelente?

c) ¿Qué sea de Equipetrol?

C. ¿Qué sea de Urbarí y crea que el sabor de la soda es bueno?

D. ¿Qué sea de la Banzer y piense que el sabor es Regular?

45



E. ¿Qué sea del centro ó del Plan 3000?

F. ¿Qué sea de Polanco ó del Urubó?

G. ¿Qué sea de la Banzer ó tenga una opinión Buena del Sabor?

H. ¿Qué tenga una opinión excelente ó sea de Equipetrol?

I. ¿Qué sea del centro dado que dice que el sabor es Regular?

J. ¿Qué diga que el sabor es regular dado que es del Centro de la Ciudad?

7. Usted es el nuevo gerente Comercial del taller mecánico “Páez”, al mismo asisten muchos

clientes con autos de tres clases. Nissan, Toyota y Ford. A cada uno de los clientes que

vino el mes pasado se le hizo una encuesta preguntándole por la calidad del servicio del

taller. Los resultados se muestran a continuación en una tabla de contingencia.

Toyota Nissan Ford

Pésima 18 32 25

Regular 30 15 10

Buena 35 25 20

Excelente 23 17 60

a) ¿Qué porcentaje de los clientes vino con un auto Ford?

b) ¿Qué porcentaje de los clientes opina que la atención es Regular y vino en Nissan.

c) ¿Qué porcentaje de los clientes vino en Nissan ó Toyota?

d) ¿Qué porcentaje de los clientes vino en Ford ó el servicio le pareció excelente?

e) ¿A qué porcentaje de los clientes que vinieron en Toyota y la atención les pareció

excelente?

f) Qué porcentaje de cliente trajeron vehículos Nissan y Ford?

g) ¿A qué porcentaje de los clientes la atención le pareció Regular?

h) Teniendo el criterio de Excelente. ¿Cuál es la marca de auto que más satisfecha salió

del taller?

i) ¿Qué porcentaje de los clientes vinieron con Ford dado que la atención les pareció

pésima?

8. Usted es el gerente Comercial de la empresa de Investigación de Mercados

“Mercadeando”, su último cliente “VIVA” tiene algunas preguntas acerca del estudio que

se hizo de su marca.

Insatisfecho Indiferente Satisfecho

Norte 50 120 200

Sur 150 85 60

este 60 115 70

Oeste 40 30 20

46



Preguntas:

a) ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Sur de la Ciudad?

b) ¿Qué porcentaje de los encuestados son del este ó el oeste?

c) ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Norte y están insatisfechos?

d) ¿Qué porcentaje de los encuestados están insatisfechos ó son del sur?

e) ¿Qué porcentaje de los encuestados creen tiene una opinión por lo menos indiferente?

f) ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Norte dado que están satisfechos?

g) ¿Qué porcentaje de los encuestados están insatisfechos y son del este?

9. Usted es el Gerente Comercial del Café 24, local de distracción del centro de la Ciudad, el mismo

es frecuentado por cruceños, pero está enfocado en ser el lugar de pasada por excelencia de los

extranjeros y visitantes de otros departamentos. Usted está preocupado por la atención que reciben

los clientes y decide hacer una encuesta a las diversas personas que asisten al boliche

preguntándole. ¿Qué le ha parecido la atención? Los resultados se muestran a continuación.

Cruceños Turistas

Nacionales

Turistas

Extranjeros.

Pésima 20 3 23

Regular 12 13 0

Buena 8 24 14

Muy buena 15 12 12

Excelente 15 13 16

a) ¿Qué porcentaje de los encuestados son Cruceños?

b) ¿Qué porcentaje del total de encuestados son Extranjeros y la atención les pareció Buena?

c) ¿Qué porcentaje de los Cruceños la atención le pareció excelente?

d) ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas (nacionales y extranjeros)

e) ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas Nacionales ó la atención le pareció Muy

Buena?

f) ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas Nacionales dado que la atención les pareció

Regular?

g) ¿A qué porcentaje de los encuestados el trato le pareció Bueno?

10. Usted es el gerente comercial de la empresa distribuidora de Bebidas “Bodegas El

buen gusto”, uno de los tantos productos con que cuenta la empresa es la Soda que se

importa de Brasil. Para penetrar el mercado usted debe hacer degustación en diversos

puntos de la Ciudad y recoger opiniones. Los siguientes datos muestran las opiniones

del sabor de los encuestados.

Opinión Regular Buena Excelente

Zona Norte 20 30 10

47



Zona Sur 15 45 30

Zona Este 20 25 50

Zona Oeste 10 15 30

a) Si usted debe comenzar por la zona que más aceptación tuvo el producto. ¿Por qué

zona comenzaría la distribución?

b) ¿Qué porcentaje de los encuestados son de la zona Sur y la soda le parece Buena?

c) ¿Qué porcentaje de los encuestados son de la zona Este ó la soda le pareció

Excelente?

d) ¿Qué porcentaje de los encuestados el producto le pareció por le menos buena?

e) ¿Cuál es la probabilidad que un encuestado sea de la zona oeste dado que tiene una

opinión Regular?

Problemas ABP propuestos del Teorema de bayes

1. La materia de Investigación de Mercados la dictan 4 profesores, Ana, Evelio, Carlos y

Juan, de los 15 grupos que se van a abrir Ana tiene asignado 2, Evelio 3, Carlos 4 y

Juan 6 , los comentarios la han llegado que con Ana el 80% aprueba, con Evelio un

75%, con Carlos un 60% y con Juan un 90%.

Responda las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante haya cursado con Evelio sabiendo que

reprobó?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante halla pasado con Juan si se sabe que

reprobó?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante halla pasado con Juan si se sabe que

aprobó?

2. Usted es propietario de la imprenta “Sirena”, por carnavales la producción de volantes

ha aumentado muchísimo, las dos máquinas que tiene son muy buenas pero cada 1000

impresiones la primera saca 40 con fallas y la segunda de cada 2000 impresiones la

pasa lo mismo. Un cliente vino ayer a quejarse que sus volantes estaban mal hechos,

¿Cuál es la probabilidad que lo haya impreso la segunda máquina?

3. Una constructora está considerando la posibilidad de construir un condominio en la zona

de la carretera a Porongo. Si el consejo municipal aprueba la construcción del nuevo

puente a Porongo, hay posibilidad de 0.90 de que la compañía construya el condominio

en tanto, que, si no es aprobado la construcción del nuevo puente al Piray, la probabilidad

48



es de solo 0.20 que construya el condominio. Basándose en la información disponible, el

gerente de la constructora estima que hay probabilidad de 0.60 que la construcción del

puente sea aprobada, por parte del Consejo Municipal.

a) Cuál es la probabilidad de que la compañía al aprobarse la construcción del puente,

construya el condominio?

b) Cuál es la probabilidad de que la compañía no construya el condominio dado que se

aprueba la construcción del puente?

4. La fábrica de tasas del oriente boliviano tiene 3 máquinas, la primera produce 230

unidades por día y una décima parte son defectuosos, la segunda produce el doble que

la primera y 3 unidades más que la primera máquina tienen algún tipo de desperfecto,

la tercera máquina produce 290 unidades por día y el 99% de los mismos salen en buen

estado. Se toma una tasa al azar y está en buen estado.

a) ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido por la segunda máquina? b) ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido por la tercera maquina dado que salió

con algún defecto?

5. Una compañía petrolera, debe decidir, si taladra o no un lugar determinado que tiene bajo

contrato. Por investigaciones geológicas practicadas, se sabe que existe una probabilidad de

0.45 que una formación tipo I se extiende debajo del lugar prefijado para taladrar, y de 0.30 de

probabilidad que existe una formación de tipo II para taladrar, finalmente se tiene una

probabilidad de 0.25 para que sea una formación de tipo III, para realizar la taladrada.

Estudios anteriores indican que el petróleo se encuentra en un 30% de las veces en las

formaciones tipo I, un 40% en las de tipo II y aseguran que en un 80% no se encuentra

petróleo en las formaciones de tipo III.

a) Determinar la probabilidad que si no se encontró petróleo, la perforación fue hecha en la formación del tipo I?

b) Cuál es la probabilidad que la perforación haya sido realizada por la formación tipo III dado que si encontraron petróleo?

6. La fábrica de vasos “La Estrella” tiene 3 líneas de producción, la primera produce 150


la primera y 18 de ellos tienen algún tipo de desperfecto, la tercera línea de producción

produce 300 unidades por día y el 18% de los mismos salen rotos. Se toma un vaso al

azar y está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido en la

tercera línea de producción?

49



7. La fábrica de tasas del oriente boliviano tiene 4 máquinas, la primera produce 120


la primera y 15 de ellos tienen algún tipo de desperfecto, la tercera máquina produce

310 unidades por día y el 20% de los mismos salen rotas y la cuarta maquina produce

lo mismo que la segunda pero con un 5% de defectuosos. Se toma una tasa al azar y

está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido por la cuarta

máquina?

8. Los datos de producción de la Guaraná Conti la empresa se los mandó de Brasil, en sí

son cinco las máquinas que producen dicha soda. La primera produce 1000 cajas por

día y 50 salen en mal estado, la segunda produce el doble que la primera y la misma

proporción de desperfectos que la cuarta. La tercera produce la mitad que la quinta y

el 2% sale en mal estado, la cuarta produce el triple que la primera y la misma

proporción de desperfectos que la tercera, mientras que la quinta produce el cuádruple

que la primera y ninguna en mal estado. El lote que la fábrica envió a Bolivia fue la

producción total del mes pasado. La máquina uno trabajó los 30 días, la dos y la tres 25

días, la cuatro 20 días y la cinco 22 días. Preguntas:

a) Si un cliente se quejó porque una caja estaba en mal estado ¿Cuál es la

probabilidad que haya sido producida por la cuarta máquina?

b) Si una caja está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producida

por la tercera máquina?

Unidad No 6

Distribuciones de probabilidades importantes

OBJETIVOS:

Identificar los componentes de la teoría combinatoria.

Identificar las distribuciones de probabilidades más importantes.

Resolver las distribuciones de probabilidades más importantes (Probabilidad Binomial,

Probabilidad de Poisson y Probabilidad Normal).

DISTRIBUCIONES BINOMINAL:

Las probabilidades se calculan a través de la siguiente formula:

50



n! x n-x

P(X =x)=____ ___ p q

X!(n-x)!

Problema ABP resuelto de Probabilidad Binomial:

1. Un examen consta de diez preguntas, cada pregunta es de solución múltiple con tres opciones de las

cuales solo una es correcta. Un estudiante que desconoce la materia intenta resolver el examen

respondiendo las preguntas al azar:

a) Si necesita responder como mínimo 5 preguntas correctas para aprobar el examen. Cuál es

la probabilidad de que el estudiante apruebe?

n! x n-x

P(X = x) =________ p q

X!(n-x)!

Datos: n=10 p = 0,33 q = 0,67

x = 5, 6, 7, 8, 9, 10

10! 5 10-5

P(X =5)=________ 0,33 0,67

5!(10-5)!

P (x = 5) = 0.1332 = 13.32%

10! 6 10-6

P(X =6)=________ 0,33 0,67

6!(10-6)!

P (x = 6) = 0.0547 = 5.7%

10! 7 10-7

P(X =7)=________ 0,33 0,67

7!(10-7)!

= 0.0154 = 1.54%

10! 8 10-8

P(X =8)=________ 0,33 0,67

8!(10-8)!

= 0.028 = 0.28%

10! 9 10-9

P(X =9)=________ 0,33 0,67

9!(10-9)!

51



= 0.0003 = 0.03%

10! 10 10-10

P(X =10) =________ 0,33 0,67

10!(10-10)!

= 0 .0000 = 0%

P (X ≥ 5) = P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10)

P (X ≥ 5) = 0.1332 + 0.0547 + 0.0154 + 0.0028 + 0.0003 + 0.0000

P (X ≥ 5) = 0.2064 = 20.64%

La probabilidad de que un estudiante apruebe es de 20.64%

b) Cuál es la probabilidad de que conste al menos 3 preguntas correctas?

X = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Utilizando la tabla se puede determinar directamente la probabilidad para cada uno

P (X =3) = 0.02614; P (X = 4) = 0.2253; ………… P(X=10) = 0.0000

P (X ≥ 3) = P (X =3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) + P (X=9) +

P(X=10)

P (X ≥ 3) = 0.02614 + 0.2253 + 0.1332 + 0.0547 + 0.0154 + 0.0028 + 0.0003 + 0.0000

P (X ≥ 3) = 0.6931 = 69.31%

La probabilidad de que conste al menos 3 preguntas correctas es de 69.39%

Distribución de Poisson:

Formula de la distribución de Poissson:

Problema ABP resuelto de la Distribución de Poisson:

!x

xλ

λ-e

x)P(X

52



1. Un gerente comercial está interesado en la probabilidad de que exactamente 5 clientes lleguen

durante la siguiente hora (ó en cualquier hora del día) laboral. La observación simple de las últimas

80 horas ha demostrado que 800 clientes han entrado a la tienda. Por tanto “u” es 10 por hora.

El mismo ejercicio se lo puede resolver utilizando la Tabla que está al final de la Guía.

Como vemos el resultado es el mismo. 3,78%

Distribución Normal:

Fórmula de Aplicación de la Distribución Normal de Probabilidades.

Para entender mejor este tema veamos un ejercicio de Aplicación.

Problema ABP resuelto de la Distribución Normal:

1. En una carrera pedestre de estudiantes se tiene los siguientes datos la media de llegada es de 35

min. Con una desviación de 14 min. Determinar:

a) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 20 a 35 minutos?

σ

μ-xz

Datos: u= 10 x= 5 e= 2.71828

P(5) =

P(5) = 0.0378 --------3.78%

Existe un 3.78% de probabilidad de que exactamente 5 clientes ingresen en la tienda durante la siguiente hora.

53



Z =20−35

14= −1,07→P = 0.85769 = 85.77 %

b) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 15 a 53 minutos?

Z =15−35

14= −1,42→1- 0.92220 →P = 0.0778

Z =53−35

14= 1,28→P = 0.89973

P = 82,19%

c) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega en más de 41 minutos?

Z =41−35

14= 0,42→0.66275

P = 1 – 0.66275 = 33,72%

d) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega en más de 19 minutos?

20 35

15 35 53

35 41

54

CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER:

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