MÉTODOS NUMÉRICOS SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES POR EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON.

INTEGRANTES:NNNNKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

K

BAEZ JIMENEZ JOSE ARTURO

BELLO SANCHEZ ERICK

MARCIAL NOYOLA MIGUEL

1

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1)

como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.

2

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

u(x, y)

v(x, y)

x

y

i 1 i i

i 1 i i

x u * (x ,y )

y v * (x ,y )

x1

y1

3

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como

aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.

2. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con

las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1,

y), u(x, y1) y v(x, y1).

4

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

u(x, y)

v(x, y)

x

y

i 1 i i

i 1 i i

x u * (x ,y )

y v * (x ,y )

x1

y1v(x, y1)

v(x1, y)

u(x, y1)

u(x1, y)

5

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como

aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.

2. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con

las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1,

y), u(x, y1) y v(x, y1).

3. Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los

puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante

que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)

6

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

u(x, y)

v(x, y)

x

y

i 1 i i

i 1 i i

x u * (x ,y )

y v * (x ,y )

x1

y1v(x, y1)

v(x1, y)

u(x, y1)

u(x1, y)

7

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como

aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.

2. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con

las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1,

y), u(x, y1) y v(x, y1).

3. Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los

puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante

que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)

4. El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una

segunda aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las

dos funciones

8

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

u(x, y)

v(x, y)

x

y

i 1 i i

i 1 i i

x u * (x ,y )

y v * (x ,y )

x1

y1

x2

y2

9

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como

aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.

2. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con

las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y),

v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).

3. Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los

puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante

que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)

4. El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una

segunda aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las

dos funciones

5. El proceso se repite n veces hasta que las coordenadas del punto

de intersección (xn, yn) coincida prácticamente con el valor

exacto de la intersección entre las dos curvas.

10

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

u(x, y)

v(x, y)

x

y

i 1 i i

i 1 i i

x u * (x ,y )

y v * (x ,y )

x1

y1

x2

y2

11

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos funciones no lineales.

Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples variables, para considerar la contribución de más de una variable independiente en la determinación de la raíz.

Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, para cada ecuación no lineal:

i ii 1 i i 1 i i 1 i

i ii 1 i i 1 i i 1 i

u uu u (x x ) (y y )

x y

v vv v (x x ) (y y )

x y

12

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Pero ui+1 = vi+1 = 0 :

Que reescribiendo en el orden conveniente:

i ii 1

i ii

ii 1

i

i i i

i ii

1

i

1 ii

u

y

v

x

v vv x y

x

u uu x y

u

x

v

yx

yy

x

y

x

y

i ii 1 i

i ii i

1i i

i ii

ii

ii 1 i 1

v vv

u uu ux yu x 0

x y

v vx y 0

x y

x

yx y

y

x

y

13

Solucion del sistema por determinantes

i

ii

iu u

y

v

y

v

y

D x i i ii∂v ∂u

∂y ∂

∂u ∂v

∂ x-

x y ∂JACOBIANO

1i

2i

C

v

y

D

u

y

C

x i i ii

i ii i

∂v ∂ux

∂v ∂v+ y

∂

∂u-u +

∂ yy ∂ ∂ ∂yy x

i i ii

i ii i

u u u vvv

y xx y

y yy

i 1 i

ii

ii

ii

u vu

yx x

J

uv v

y yii i

i

ii

ii

ii i

x

-

∂

∂v ∂u

∂

u ∂v-

∂

∂v ∂u ∂vu

∂y∂u ∂v

∂y ∂xy ∂

∂x ∂yy

x

∂x

ii 1 i 1 1

i 1

i

i

i

i ii

ii

i

i

i

i

i i1 2

u

y

v

x

v vv x y

x y

u uu x y

xx y C

x y

u

x

v

yC

y

14

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

La solución del sistema es:

Donde J es el determinante jacobiano del sistema

i ii i

i 1 i

v uu v

y yx x

J

i ii i

i 1 i

u vv u

x xy yJ

15

Ejemplo 1:Calcule las raíces con xi=1.5,yi=3.5

2 2

u V

0 10 57y 3 yx x 0yx

2 i

i

2

2 2( ) 6.5 1y 3.5

y

.5

3 3 3

ux 1

.5( ) 36.75 1 6 1

.5 xx

x 16( )( ) 3.5 2v

yy 3 .5.5i

i∂u

∂y

∂v

∂

1.5000

x

i ix = y =3.5000

21

12

u

36.75

10

5

6.5

1.5

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

3( )( )

3.5

3J 156.125

1.5

1.

2 1

5

2

v 1.

.5

3.5 3.5 7

. .5

625

5i ii i∂u

∂x

∂u∂

∂-

∂y

∂v

y

v

∂x

i

ii

ii

i

1

i

i

1

i

i

ii

x x 1.5

u( ) (

y y 3.

u

1.v

1.625

v1.625

u6.5

J 156.125

J 156.12

2.5

v

3

u2.

2

5

. )

( ) ( )v

36.

5

5y

7xx 5( 5)

5y2.

2.

0360

8438

ITERACION 1

16

iteración xi yi ui vi ¶ui/¶x ¶ui/¶y ¶vi/¶x ¶vi/¶y Jacobiano

1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.125

2 2.0360 2.8438

x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0

xi = 2.0360

yi = 2.8438

Tabla iteración 1

17

2 2

u V

0 10 57y 3 yx x 0yx

i

2 i2

2 2( ) 6.9158

3 3( ) 24.2616 1 6 1 6( )( ) 35.

ux xy

7

x

x 9y 3y 9v

y

i ix = y =

i

i

2.0360

2.0360 2.0360

2.0360

2.8438

2.8438

2.8438 2.843

∂u

∂

x8

y

∂v

∂

1

21

2

6.9158

2.0360 2.036 2.8

35.

438

2.8438 2.843v 4

( 24.26

.7596

16

10

57

)( ) (

u 0.

J 197.7

064

734)( )

( ) ( )( )

3( )(

2.

8

7

7

)

39

0

2.

09 360

0360

ii i i ∂v

∂

∂v

∂y-

∂u

∂ xx

∂u

∂y

i

ii

i

i

i 1 i

ii

i

1 i

iv35.7399y

y y 2.8438

u2.

x x 2.0

v4.7596

v4.

( ) ( )

(

360

u6.9158

u0.0647

Jv

) (u

197.7734

J 197.7

0.064 )(27 4.2616x 596

0360y

7

7 )x34

1.9987

3.0023

ITERACION 2

18

iteración xi yi ui vi ¶ui/¶x ¶ui/¶y ¶vi/¶x ¶vi/¶y Jacobiano

1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.125

2 2.0360 2.8438 -0.0647 -4.7596 6.9158 2.0360 24.2616 35.7399 197.77

3 1.9987 3.0023

x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0

xi = 1.9987

yi = 3.0023

Tabla iteración 2

19

i

2 i2

2 2( ) 6.9997

3 3( ) 21.0414 1 6 1 6( )( ) 35.

ux xy

0

x

x 4y 0y 2v

y

i ix = y =

i

i

1.9987

1.9987 1.9987

1.9987

3.0023

3.0023

3.0023 3.002

∂u

∂

x3

y

∂v

∂

12

21

( )( ) ( )J 20437 .9.004 707

u

6.999 ( )

(

1.998

) ( )( )

3( )

27.0414

v 0.0

7 7

0.0045

4997

2

5( )

10

ii i i∂u

∂x

1.9987 1.9987

1.9

-

3.0023

3.0023 3.

∂∂u

∂y

00298

v

∂x

37

∂v

∂y

ii

i 1 i

i 1 i

i

i

i ii

i

y

uv35

J 204.9707

J

.9987y 7.00v

v21.041

0.049942y

v0.0

u0.

499

x x 1.9987

u6.9997

( ) (1 )

( )

0045

u0.004 45

20

( )(x4.

y)x

97073.0023

2

3.

.0000

0000

ITERACION 3

20

21

21

u ( ) ( )( ) 10 0.0000

v 3( )( ) 57 0.0000

i ix = 2

2

y

3

2

2

=3

3

3

ITERACION 4

Tabla de iteraciones y gráfica de la solucion

iteración xi yi ui vi ¶ui/¶x ¶ui/¶y ¶vi/¶x ¶vi/¶y Jacobiano

1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.125

2 2.0360 2.8438 -0.0647 -4.7596 6.9158 2.0360 24.2616 35.7399 197.77

3 1.9987 3.0023 -0.0045 0.0499 6.9997 1.9987 27.0414 37.0042 204.9707

4 2.0000 3.0000 0 0

x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0

El proceso se para debido a que los valores de u i y de vi son cero, lo cual indica que se ha llegado a la raíz.

21

Ejemplo 2:Calcule las raíces de

2 22 2

u V

16 0 4 0y4x4yx

ITERACION 1

i

i

2 2( ) 4 2 2 7

2 4 2 4 4

yu

x 2

2 4 2 4 1v

xy

x

y2

i ix = 3.5000

3

.5

3.5

y =

i

i

2

y

∂v∂

∂

x

∂u

2 2

1

1

2 2

( )( ) ( )( )

( ) (3

1

.

v 0.25

5

3.

u

4

16

5

)

4 4 (

2

J

.

4

4

7

2

)

5

24

2

ii ii ∂u∂x

∂∂v∂y ∂y

∂u∂x

-v

i

i

i 1 i

i 1 i

i i

i

i

i i

y

v4x

J 24

Jy 3.5

xv

0.25

v 0.2

(

5

u0.25

x 2

u4x

) ( )

u 0.( ) (

24

u7y

2 ( )

v1y

5)

2.0625

3.5

22

ITERACION 2

i

i 2 2( ) 4.125 2 2 7

2 4 2 4 3.875 2 4 2 4

y

1

x

v

u

y

x

x y

i i 3.5000

3.

x = y =

5

3.5

i

i

2.0625

2.062

∂v∂x

∂u5

2

∂y

.0625

2 2

2

1

21

4.125

2.

3.875

16u 0.5

(

0

1

3

)( ) ( )( )

( ) ( )

4 4 ( 4)

9

v 0.00

0625 3.5

3.5 392

J 237

.0625

ii i i∂u∂

∂v∂y

∂vxx

∂∂

u∂y

-

i 1

i

i

i

i

i

i

i 1

i

ii

i

v

y y 3.

u0.50

v0.0039

v 0.0039

u7

x x 2.0625

u4

( ) ( )

( ).12

39

u

J 23

J 2

0

v1

.55

05x 39 3.875x ( )( )

yy

3

2.0

3.

856

4144

23

ITERACION 3

i

i 2 2( ) 4.1712 2 2 6.8288

2 4 2 4 3.8288 v

ux

x

2 4 2 4 1.171

y

y2y

i i 3.4144

3.4

x =

144

3.4

1

=

4

y

4i

i

2.0856

2.0856

2.0856 2.08∂

56v

∂x

∂u∂y

12 2

2

12

( )( ) ( )( ) 21.2608

( )

1

3.

6

4

.8

14

4.1712 3.888

16

.1712

u 0.2 0.0 0785

v 0.007

9

2

( )

8

4

3.414

6

2. 40 984

J

(

8

)56 4 4

ii ii ∂u∂y

∂ ∂u ∂vv∂ xy ∂x

-∂

i

i

i 1

i 1

i

i

ii

i

i

ii

y

v3.8288xy 3.414

u6.82

v

J 2

0.0079

v 0.007

( ) ( )

(

x x 2.0856

u4.

v

) (

u

12

1.

5

0 1..0079

u 0

2

.

608

J 21.260

)(x

1712y

007

8

8

94

8y

)9

2.

3.

08857

4114

24

Iteración 4

2 2

1

2 2

1

u 16 0.0002

v 4 4 4 0.0000

2.08857 3.4114

2.08857 3.4114

iteración

xi yi ui vi ¶ui/¶x ¶ui/¶y ¶vi/¶x ¶vi/¶y Jacobiano

1 2 3.5 0,25 -0,25 -4 -7 4 1 24

2 2,0625 3,5 --0,5039 --0,0039 -4,125 -7 3,875 1 23

3 2,0856 3,4144 -0,0079 -0,0079 -4,1712 -6,8288 3,8288 1,1712 21,2608

4 2,08857 3,4114 0,0002 0,0000

25

Ejemplo 3:Calcule las raíces aproximadas con tres iteraciones

2 2

u V

x x 3y .2 .y

ITERACION 1

i

i

i

i

v

2 2( ) 2.8 1

1

1.4

2 2

ux

v

yy 1

x( ) .. 8

u

yx

4 2

i ix = y =1.4 1.4

1

2

2

i

1

i iiJ 6.8v

1x

.2

( )( )

u .36

v

( )( )u

( ) ( )

(

1.4

1.

u2.8

x

) (

1.4

1.4)

v2.8

y

.3

y

4

1 4

.26

i

i 1 i

i

i

ii

1

i

i

i

ii

x x 1.4 1.2146

u2.8x

. ( ) ( )

. (

J 6.

v2

84

)

uu

36

(.

v.

u 36)y y 1.

2

v1( )

J 6.

.

8

1

44

y 6

v 261.x

8y

240926

ITERACION 2

i i

i iv

x

2 2( ) 2.4292 1

1

ux 1.2146

x

y 1.22 2( ) 2.481

u

84y

y

9v

0

i i1.21x = 1.24 y46 = 09

i i

2

21

1

iiu2.4292

x

1.

( )( ) ( )( )

( ) ( ) .u 0343

v2.4818

1.2

214

409

v1

x

1.240 2 .

( ) (

6

1.2146v )

J 5.028

.3

u

.

71y

9

y

0252

i

i

i

1 i

i

i 1 i

i ii

ii

x x 1.2146 1.1927

u2.4292x

. ( ) . ( )

.

u0343

u 025

v2

J 5.028

( )

u1

(v

1)x 2 .0343

y

)

v0

(y

.4

y 1

252

v

7

J 5.0287.2409 1.

818y

2220

27

ITERACION 3

i i

i iv

x

2 2( ) 2.3854 1

1 y 1.22v

2 2( ) 2.444

ux 1.1927

y

y

x

u

20 0

i i1.1927x = 1.22 20y =

i i

2

21

1

iiu2.3854

x

1.

( )( ) ( )( )

( ) ( ) .u .0025

v2.4440

1.2220

1.2220

v1

x

2

( ) (

1927

1.1927)

J 4.8299u

1

.3 .

y

v

y

0006

i

i

i

1 i

i

i 1 i

i ii

ii

x x 1.1927 1.1914

u2.3854x

. ( ) . ( )

.

v0006

v 000

v2

J 4.829

( )

u00

(.v

1x

25

u 0025)(6

.444

)

u1y

9

J 4.829y y 1.2220 1.

y

9

0

2212

28

2 2

u V

x y .2 y x .3

2

2

( ) ( ) .2 .0017

(

1.1914

1.191) ( )

1.2

.3

212

1.2 .01 42 2 0007

iteración xi Yi ui Vi ¶ui/¶x ¶ui/¶y ¶vi/¶x ¶vi/¶y Jacobiano

1 1.4 1.4 .26 .36 2.8 -1 -1 2.8 6.84

2 1.2146 1.2409 .0343 .0252 2.4292 -1 -1 2.4818 5.0287

3 1.1927 1.2220 .0025 .0006 2.3854 -1 -1 2.4440 2.4289

4 1.1914 1.2212 -0.0017 -0.00007

29